In questa appendice intendiamo ottenere le equazioni che descrivono il percorso seguito su un piano orizzontale dall'estremo di un'asta disposta verticalmente al variare della posizione solare durante il dì. Poiché il termine che individua tale asta o stilo è lo gnomone, intendiamo qui sviluppare, parzialmente ma con deduzioni matematiche, quanto sta alla base della gnomonica intesa quale studio delle posizioni apparenti solari rilevate attraverso le ombre. In sostanza vorremmo descrivere con considerazioni matematiche il funzionamento di una meridiana.
La situazione iniziale da cui partire è rappresentata schematicamente in figura A.1 dove riportiamo la traiettoria seguita dal Sole nell'intervallo tra alba e tramonto e supponendo, evidentemente, che durante tale intervallo la sua declinazione rimanga costante. Come già discusso nel capitolo 5 tale approssimazione si dimostra del tutto adeguata ai nostri obiettivi didattici.
Nella figura A.1 e in quelle che seguiranno, la sfera celeste è centrata sull'estremità superiore dello gnomone, punto origine \(O(0,0,0)\) della terna destrorsa composta dai versori \(\mathbf{i}\) con direzione Sud, \(\mathbf{j}\) rivolto verso Est, \(\mathbf{k}\) rivolto allo Zenit e colori, rispettivamente, rosso, blu, verde. Il piano orizzontale \(\pi\) è tangente alla sfera nel punto di innesto al suolo dello gnomone di coordinate \((0,0,-1)\). La sfera ha pertanto raggio unitario come la lunghezza dello gnomone. La linea che collega il Sole con il punto \(P\) del piano \(\pi\) rappresenta un raggio solare per cui \(P\) è la proiezione sul piano orizzontale di \(O\). In realtà \(P\) è anche la proiezione di un secondo punto definito dall'intersezione del segmento \(OP\) con la sfera celeste e ciò mette in luce come non sia possibile, con tale costruzione, stabilire una corrispondenza biunivoca tra i punti di una sfera e i punti del piano. Nella proiezione gnomonica quindi si coinvolge un solo emisfero e, com'è ovvio nel nostro caso, quello con coordinata verticale \(z\) positiva.
Per determinare il legame tra la posizione solare e quella dell'ombra proiettata dallo gnomone basterà ricavare le coordinate del punto \(P\) in funzione dei parametri che definiscono la posizione solare che, per ora, indichiamo come \(S(x_S,y_S,z_S)\). Questa terna rappresenta le componenti del vettore \(\mathbf{v}\) che, a partire da \(O\), individua il Sole \(\mathbf{v}=(x_S,y_S,z_S)\) e con esso rappresentiamo anche la retta \(OP\): in termini del parametro \(t\) questa retta può essere scritta come
\[OP\,\colon (x,y,z)= t\,\mathbf{v}\qquad\Longrightarrow\qquad (x,y,z)= t\,(x_S, y_S, z_S)\tag{A.1}\label{eq:1}\]essendo \(P(x,y,z)\) le coordinate, ancora generiche, di \(P\). L'intersezione di questa retta con il piano \(\pi\) di equazione \(\pi\,\colon z=-1\) permette di determinare \(t\)
\[(x,y,-1)=t\,(x_S,y_S,z_S)\qquad\Longrightarrow\qquad -1=t\,z_S\qquad\Longrightarrow\qquad t=-{1\over z_S}\tag{A.2}\label{eq:2}\]per cui \(P\) possiede coordinate
\[P\left(-{x_S\over z_S},-{y_S\over z_S},-1\right) \tag{A.3}\label{eq:3}\]Indipendentemente dalle considerazioni precedenti, riprendiamo ora le relazioni che individuano un punto nel sistema equatoriale orario (GOE, Geocentrico Orario Equatoriale) e rappresentate nel primo capitolo dalle (1.22) \[ \cases{\eqalign{x &= \cos\delta\cos H\cr y &= \cos \delta\sin H\cr z &= \sin\delta.\cr}\tag{A.4}\label{eq:4}} \]
Per riportarle al sistema altazimutale TAA è necessario eseguire la rotazione \(R_y(90^\circ-\phi)\) attorno all'asse \(y\) di angolo \(90^\circ-\phi\), dove \(\phi\) è la latitudine geografica dell'osservatore (cap. 2). Questa rotazione è descritta dalla matrice (2.15)
\[ R_y(90°-\phi)=\begin{pmatrix} \sin\phi & 0& -\cos\phi \cr 0&1&0\cr \cos\phi &0& \sin\phi\cr \end{pmatrix}\!.\tag{A.5}\label{eq:5} \]per cui, per la (2.15), le coordinate cartesiane del Sole sono
\[ \begin{pmatrix}x_S\cr y_S\cr z_S\cr\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sin\phi & 0& -\cos\phi \cr 0&1&0\cr \cos\phi &0& \sin\phi\cr \end{pmatrix} \!\begin{pmatrix}x\cr y\cr z\cr\end{pmatrix} \tag{A.6}\label{eq:6} \]ovvero, utilizzando le \eqref{eq:4} ed esplicitando le componenti, abbiamo
\[ \cases{\eqalign{x_S &= \sin\phi\cos\delta\cos H - \cos\phi\sin\delta\cr y_S &= \cos\delta\sin H\cr z_S &= \cos\phi\cos\delta\cos H + \sin\phi\sin\delta.\cr}\tag{A.7}\label{eq:7}} \]La nostra scelta iniziale sul sistema di riferimento differisce comunque da quella del sistema TAA in quanto la terna da noi introdotta è destrorsa anziché sinistrorsa. Poiché i due sistemi differiscono solo per il verso dell'asse \(y\), inseriamo le espressioni \eqref{eq:7} nelle coordinate \eqref{eq:3} di \(P\) sostituendovi l'opposto di \(y_S\) cioè
\[P\!\left(-{x_S\over z_S},-{(-y_S)\over z_S},-1\right)\!:\]in tal modo otteniamo
\[ \bbox[border:1px solid red,15px,#ffffcc]{ P\!\left({\cos\phi\sin\delta-\sin\phi\cos\delta\cos H \over \cos\phi\cos\delta\cos H + \sin\phi\sin\delta},{\cos\delta\sin H\over \cos\phi\cos\delta\cos H + \sin\phi\sin\delta }, -1\right)\!.}\tag{A.8}\label{eq:8} \]Poiché la latitudine dell'osservatore è nota e nell'intervallo di tempo tra alba e tramonto possiamo assumere, come detto, la costanza della declinazione, lo studio della traccia dell'ombra dell'estremo dello gnomone sul piano \(\pi\), traccia che indichiamo come linea diurna dello gnomone, si riduce all'analisi della funzione parametrica bidimensionale
\[ P\!\left({\cos\phi\sin\delta-\sin\phi\cos\delta\cos H \over \cos\phi\cos\delta\cos H + \sin\phi\sin\delta},{\cos\delta\sin H\over \cos\phi\cos\delta\cos H + \sin\phi\sin\delta }\right)\tag{A.9}\label{eq:9} \]dove l'unica grandezza variabile, per ora, è l'angolo orario \(H\).
Agli equinozi, la declinazione del Sole è nulla, \(\delta=0^\circ\), per cui la funzione parametrica \eqref{eq:9} si semplifica notevolmente e assume la forma
\[ P\!\left({-\sin\phi\cos H \over \cos\phi\cos H }, {\sin H\over \cos\phi\cos H }\right)= P\!\left(-\tan\phi, {\tan H\over \cos\phi}\right) \tag{A.10}\label{eq:10} \]che riscriviamo come
\[P\,\colon\cases{\eqalign{x &= -\tan\phi\cr y &= {\tan H\over \cos\phi}.\cr}\tag{A.11}\label{eq:11}} \]L'ascissa \(x\) di \(P\) è evidentemente costante dipendendo dalla sola latitudine \(\phi\) dell'osservatore mentre l'ordinata varia con \(H\). Poiché l'angolo orario \(H\) al sorgere del Sole nell'equinozio è pari a \(270^\circ\) (oppure \(-90^\circ\)) e al tramonto è \(H=90^\circ\), la funzione \(\tan H\) varia tra \(-\infty\) e \(+\infty\) come, di conseguenza, l'ordinata \(y\).
La funzione \eqref{eq:11} rappresenta pertanto una retta e la traccia dell'ombra sul piano \(\pi\) è quindi una retta parallela all'asse delle ordinate e, al mezzogiorno quando \(H=0\) passa per il punto \(P_1(-\tan\phi,0)\) (e di conseguenza la direzione dell'ombra dello gnomone forma un angolo pari alla latitudine \(\phi\)).
Il grafico di tale funzione è riportato nella figura A.2 alla latitudine di \(45^\circ\) mentre nella successiva fig. A.3 lo rappresentiamo direttamente sul piano \(\pi\) assieme ai due versori di base del sistema tridimensionale scelto.
Se invece consideriamo un giorno qualsiasi, la declinazione del Sole sarà diversa da zero ma costante per cui, volendo ottenere la funzione che rappresenti la traccia, iniziamo riscrivendo la \eqref{eq:9} come
\[ P\colon\cases{\eqalign{x &= {\cos\phi\sin\delta-\sin\phi\cos\delta\cos H \over \cos\phi\cos\delta\cos H + \sin\phi\sin\delta }\cr y &= {\cos\delta\sin H\over \cos\phi\cos\delta\cos H + \sin\phi\sin\delta }.\cr}\tag{A.12}\label{eq:12}} \]Poiché l'espressione precedente non è immediatamente classificabile in questa sezione cercheremo con numerosi passaggi algebrici di riportarla ad una forma canonica adeguata. Intendiamo quindi dimostrare che la coppia di equazioni \eqref{eq:12} rappresenta una iperbole traslata.
Per fare ciò dovremo eliminare il parametro \(H\) sfruttando l'identità fondamentale
\[\sin^2 H + \cos^2 H = 1\tag{A.13}\label{eq:13}\]per ottenere un'equazione che coinvolga direttamente l'ascissa \(x\) con l'ordinata \(y\) di \(P\). Interpretiamo quindi la forma parametrica \eqref{eq:12} come un sistema di due equazioni nelle incognite \(\sin H \) e \(\cos H \). Volendo esplicitare \(\cos H\), dalla prima abbiamo
\[x(\cos\phi\cos\delta\cos H + \sin\phi\sin\delta )=\cos\phi\sin\delta-\sin\phi\cos\delta \cos H \tag{A.14}\label{eq:14}\]da cui con passaggi algebrici elementari otteniamo
\[\eqalign{x\cos\phi\cos\delta\cos H + x\sin\phi\sin\delta &= \cos\phi\sin\delta - \sin\phi\cos\delta \cos H \cr (x\cos\phi\cos\delta + \sin\phi\cos\delta)\cos H &=\cos\phi\sin\delta - x\sin\phi\sin\delta \cr}\tag{A.15}\label{eq:15}\]e quindi
\[\cos H = {\cos\phi\sin\delta - x\sin\phi\sin\delta \over x\cos\phi\cos\delta + \sin\phi\cos\delta } = { \sin\delta(\cos\phi - x\sin\phi) \over \cos\delta(x\cos\phi + \sin\phi)}={ \tan\delta(\cos\phi - x\sin\phi) \over x\cos\phi + \sin\phi}\tag{A.16}\label{eq:16}\]Dalla seconda delle \eqref{eq:12} abbiamo invece
\[y(\cos\phi\cos\delta\cos H + \sin\phi\sin\delta )=\cos\delta \sin H \tag{A.18}\label{eq:18}\]dalla quale, ancora con passaggi algebrici elementari, deriviamo
\[y\cos\phi\cos\delta\cos H + y\sin\phi\sin\delta = \cos\delta \sin H \tag{A.19}\label{eq:19}\]e quindi
\[\sin H = {y\cos\phi\cos\delta\cos H + y\sin\phi\sin\delta \over \cos\delta }={y\cos\phi} \cos H + y\sin\phi\tan\delta \tag{A.20}\label{eq:20} \]Per eliminare la dipendenza da \(\cos H\) sfruttiamo la \eqref{eq:16} inserendola nella \eqref{eq:20}
\[\sin H = y\cos\phi\! \left[{ \tan\delta(\cos\phi - x\sin\phi) \over x\cos\phi + \sin\phi}\right] + y\sin\phi \tan\delta, \tag{A.21}\label{eq:21}\]e, portando a fattore il termine \(\tan\delta\), otteniamo
\[\sin H = \tan\delta\!\left[{y\cos\phi(\cos\phi - x\sin\phi) \over x\cos\phi + \sin\phi} + y\sin\phi\right] \tag{A.22}\label{eq:22}\]dalla quale, con ulteriori passaggi algebrici, ne deriva
\[\eqalign{ \sin H &= \tan\delta\!\left({y\cos^2\phi- xy\sin\phi\cos\phi + xy\sin\phi\cos\phi + y\sin^2\phi \over x\cos\phi - \sin^2\phi}\right) \cr &= \tan\delta\!\left({y\cos^2\phi + y\sin^2\phi \over x\cos\phi + \sin\phi}\right) \cr &= {y\tan\delta \over x\cos\phi + \sin\phi}\cr} \tag{A.23}\label{eq:23}\]A questo punto le due funzioni goniometriche dell'angolo orario sono espresse entrambe in termini delle sole variabili \(x\) e \(y\) per cui inseriamo le espressioni \eqref{eq:16} e \eqref{eq:23} nella \eqref{eq:13}; ne deriva un'equazione priva della dipendenza da \(H\)
\[\left[{ \tan\delta (\cos\, \phi\, -\, x\, \sin\,\phi) \over x\,\cos\,\phi\, +\, \sin\,\phi}\right]^2\kern-3pt+\left[ {y\, \tan\delta \over x\,\cos\,\phi\, +\, \sin\,\phi}\right]^2\kern-3pt =1.\tag{A.24}\label{eq:24}\]Per riportare quest'ultima scrittura ad una forma che possa rientrare in ambiti noti standard dovremo applicare non solo le normali proprietà algebriche delle equazioni ma sfruttare pure diverse identità goniometriche.
Al fine di disporre le variabili al numeratore, moltiplichiamo entrambi i membri per il quadrato del denominatore comune
\[ \tan^2\delta(\cos\phi - x\sin\phi)^2 + y^2\tan^2\delta = (x\cos\phi + \sin\phi)^2 \tag{A.25}\label{eq:25}\]e svolgiamo i quadrati mantenendo a primo membro solo i termini dipendendi da \(x\) e \(y\). Ne deriva l'espressione
\[ (\sin^2\phi\tan^2\delta - \cos^2\phi)x^2- 2\sin\phi\cos\phi(\tan^2\delta + 1)x + y^2\tan^2\delta = \sin^2\phi - \cos^2\phi\tan^2\delta. \tag{A.26}\label{eq:26}\]Riscriviamo innanzitutto i coefficienti di \(x\) e \(y\) e termine noto utilizzando le usuali identità goniometriche nonché le formule di prostaferesi e di addizione così da far emergere il fattore comune \(\sec^2\delta\): otteniamo
\[\eqalign{\sin^2\phi\tan^2\delta-\cos^2\phi&=-{\sec^2\delta\over 2}(\cos2\delta+\cos2\phi)\cr \tan^2\delta + 1 &= {1\over \cos^2\delta}=\sec^2\delta\cr 2\sin\phi\cos\phi(\tan^2\delta + 1) &= \sin2\phi\,\sec^2\delta\cr}\tag{A.27}\label{eq:27}\]così come
\[\eqalign{ \tan^2\delta&={\sec^2\delta\over 2}(1-\cos2\delta)\cr \sin^2\phi - \cos^2\phi\tan^2\delta&={\sec^2\delta\over 2}(\cos2\delta-\cos 2\phi).\cr}\tag{A.28}\label{eq:28}\]La \eqref{eq:26} diventa ora
\[ -{\sec^2\delta\over 2}(\cos2\delta+\cos2\phi)x^2- (\sin2\phi\sec^2\delta) x+{\sec^2\delta\over 2}(1-\cos2\delta)y^2={\sec^2\delta\over 2}(\cos2\delta-\cos2\phi) \tag{A.29}\label{eq:29}\]e moltiplicando per \(-2/\sec^2\delta\) tutti i termini giungiamo alla
\[(\cos2\delta+\cos2\phi)x^2+ 2x\sin2\phi - (1-\cos2\delta)y^2 = \cos2\phi-\cos2\delta. \tag{A.30}\label{eq:30}\]Completiamo il quadrato per i termini in \(x\) sommando ad entrambi i membri la frazione
\[{\sin^2 2\phi\over \cos2\delta+\cos2\phi}\]per cui
\[\eqalign{(\cos2\delta+\cos2\phi)&\!\left[x^2 + {2x\sin2\phi \over \cos2\delta+\cos2\phi} + \left({\sin2\phi \over \cos2\delta+\cos2\phi}\right)^{\kern-2pt 2}\right] - (1-\cos2\delta)y^2 \cr &\hskip1.5cm = \cos2\phi-\cos2\delta + {\sin^2 2\phi \over \cos2\delta+\cos2\phi} \cr}\tag{A.31}\label{eq:31}\]e quindi
\[\eqalign{(\cos2\delta+\cos2\phi)\!\left[x + {\sin2\phi \over \cos2\delta+\cos2\phi}\right]^2 \kern-3pt - (1-\cos2\delta)y^2 &= {\cos^2 2\phi-\cos^2 2 \delta + \sin^2 2\phi \over \cos2\delta+\cos2\phi} \cr &= {\sin^2 2\delta \over \cos2\delta+\cos2\phi}. \cr}\tag{A.32}\label{eq:32}\]Se ora indichiamo i coefficienti come
\[A=\cos2\delta+\cos2\phi,\qquad B=1-\cos2\delta,\qquad C={\sin^2 2\delta \over \cos2\delta+\cos2\phi}, \tag{A.33}\label{eq:33}\]la \eqref{eq:32} può essere riscritta come
\[A\!\left[x + {\sin2\phi \over A}\right]^2 \kern-3pt - B\,y^2 = C \tag{A.34}\label{eq:34}\]oppure, riportandola alla forma canonica
\[ \bbox[border:1px solid red,15px,#ffffcc]{ \gamma:{\displaystyle\left(x + {\sin2\phi \over A}\right)^{\kern-2pt 2}\over C/A} - \frac{y^2}{C/B} = 1.} \tag{A.35}\label{eq:35}\]con i rapporti \(C/A\) e \(C/B\) dati dalle
\[\eqalign{{C\over A}&= {\sin^2 2\delta \over (\cos2\delta+\cos2\phi)(\cos2\delta+\cos2\phi)} ={\sin^2 2\delta \over (\cos2\delta+\cos2\phi)^2} \cr {C\over B} &= {\sin^2 2\delta \over (1-\cos2\delta)(\cos 2\delta+\cos 2\phi)} = {\sin^2 2\delta \over 2\sin^2\delta(\cos2\delta+\cos2\phi)} = {2\cos^2\delta \over \cos2\delta+\cos2\phi}.\cr} \tag{A.37}\label{eq:37}\]Supposto che sia
\[ A>0\qquad\Longrightarrow\qquad \cos2\delta + \cos2\phi > 0 \tag{A.38}\label{eq:38}\]l'equazione \eqref{eq:35} rappresenta un'iperbole traslata in quanto sia \(C/A\) che, soprattutto, \(C/B\) sono positivi per cui, tenendo conto che abbiamo quadrato le relazioni \eqref{eq:16} e \eqref{eq:23}, la linea diurna cercata è data da un solo ramo dell'iperbole \eqref{eq:35}.
Le sue principali proprietà sono rappresentate dagli asintoti espressi dalle equazioni
\[\hbox{asintoti}\colon\quad {y_1 = +\sqrt{B\over A}\left(x + {\sin2\phi \over A}\right),\qquad y_2 = -\sqrt{B\over A}\left(x + {\sin2\phi \over A}\right)}\tag{A.39}\label{eq:39}\]dal suo centro di simmetria \(C_S\)
\[\hbox{centro}\colon\quad C_{S}\left(-{\sin2\phi \over A},0\right) \tag{A.40}\label{eq:40}\]e dall'eccentricità
\[\hbox{eccentricità}\colon\quad e=\sqrt{1+{C/B\over C/A}}=\left|\cos\phi\over\sin\delta\right|.\]Inoltre, \(\gamma\) interseca l'asse \(x\) nei punti di ascissa
\[\hbox{intersezioni con l'asse }x\,\colon\quad x_{1,2} = -{\sin2\phi \over A} \pm \sqrt{C\over A} \tag{A.41}\label{eq:41}\]Le figure che seguono intendono evidenziare alcune caratteristiche delle linee diurne e la loro connessione con quelle estreme.
Nella figura A.4 riportiamo due tracce calcolate in due giorni caratterizzati da valori opposti della declinazione (circa il 20 gennaio e 20 maggio). Evidentemente, con le scelte operate sui versi degli assi (si vedano pure le figure precedenti), le linee che seguono temporalmente l'equinozio di primavera appartengono al semipiano con ascisse \(x>C_S\) cioè, per la \eqref{eq:40}, \(x>-(\sin 2\phi)/A\), mentre accade il contrario per quelle invernali.
Nella figura A.5 riportiamo in visione prospettica i percorsi altazimutali del Sole nei solstizi e negli equinozi e le corrispondenti linee sul piano \(\pi\).
Nella figura A.6 sinistra, tra le linee estreme dei solstizi rappresentiamo la linea dell'equinozio e le tracce intermedie ciascuna delle quali differisce in declinazione di \(4^\circ\) dalle due contigue mentre nella parte destra sono riportate, per alcuni mesi, le linee diurne di inizio mese.
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Concludiamo risolvendo la condizione \eqref{eq:38}: riscritta come
\[\cos 2\phi>-\cos 2\delta\qquad\Longrightarrow\qquad \cos 2\phi > \cos(2\delta+180^\circ),\tag{A.42}\label{eq:42}\]e ricordata la periodicità delle funzioni goniometriche, ne discende l'intervallo permesso per la latitudine \(\phi\)
\[2\delta - 180^\circ < 2\phi < 180^\circ -2\delta \qquad\Longrightarrow\qquad \delta -90^\circ < \phi < 90^\circ -\delta \tag{A.43}\label{eq:43}\]e poiché il valore massimo della declinazione dipende dall'obliquità \(\delta_{max}=\epsilon=23.44^\circ\), la funzione \(\gamma\) data dalla \eqref{eq:35} potrà rappresentare delle iperboli solo se
\[ \epsilon -90^\circ < \phi < 90^\circ-\epsilon \]ossia alle latitudini comprese tra i circoli polari.
Al di là di questi limiti, per esempio alla latitudine di \(\phi=80^\circ\), vi sono giorni nei quali il Sole non tramonta e la sua altezza sopra l'orizzonte oscilla tra due valori (si veda la figura 6.9 al capitolo 6). Per le latitudini polari la costante \(A\), \eqref{eq:33}, è quindi negativa così come il rapporto \(C/B\) dato dalla \eqref{eq:37}. Ne segue che le linee diurne rappresentate da \(\gamma\), \eqref{eq:35}, sono archi di ellisse e che, nei giorni in cui il Sole non tramonta, la traccia dello gnomone è un'intera ellisse (fig. A.7)
Infine, e solo per completezza, nel giorno del solstizio al circolo polare artico la linea (teorica!) proiettata dallo gnomone è una parabola. Poiché \(\delta=\epsilon\) e \( \phi = 90^\circ - \epsilon \), il coefficiente di \(x^2\) in \eqref{eq:30} si annulla
\[\cos2\delta + \cos2\phi = \cos2\epsilon + \cos(180^\circ - 2\epsilon) = \cos 2\delta-\cos2\delta=0\]per cui la stessa si riduce alla
\[ 2x\sin2\epsilon-(1-\cos2\epsilon)y^2=-2\cos2\epsilon \qquad\Longrightarrow\qquad x=\left({1-\cos 2\epsilon \over 2\sin2\epsilon}\right)\!y^2-{\cos2\epsilon\over\sin2\epsilon}\qquad\Longrightarrow\qquad x=\left({\tan\epsilon\over 2}\right) y^2-\cot2\epsilon \tag{A.44}\label{eq:44} \]che rappresenta una parabola con asse parallelo all'asse \(x\).
La precedente sezione ci ha permesso di riconoscere le linee giornaliere proiettate dall'estremità di uno gnomone, linee che ci indicano qual è il giorno dell'anno compreso tra le linee dei due solstizi. Non ci informano invece sull'ora del giorno cosa che invece, sulle meridiane, è evidentemente presente. Per comprendere quindi come si ottengono le linee che indicano l'ora cioè le linee orarie, affrontiamo il problema inverso ossia, data una certa ora del giorno, consideriamo il meridiano celeste (o cerchio orario), non necessariamente quello superiore, che passa per il Sole e il polo Nord celeste e determiniamo la curva seguita da un punto \(P\) sul piano \(\pi\) a seguito della variazione di un ipotetico Sole lungo questo stesso meridiano. In sostanza, diversamente da quanto fatto nella precedente sezione dove, per una data latitudine \(\phi\) e in un dato giorno dell'anno, si è considerata fissa la declinazione \(\delta\), in quest'altra sezione consideriamo assegnate latitudine e angolo orario mentre faremo variare la declinazione.
Partiamo pertanto ancora dalle coordinate parametriche \eqref{eq:12} del punto \(P\), proiezione del Sole sul piano \(\pi\)
\[ P\,\colon\cases{\eqalign{x &= {\cos\phi\sin\delta-\sin\phi\cos\delta\cos H \over \cos\phi\cos\delta\cos H + \sin\phi\sin\delta }\cr y &= {\cos\delta\sin H\over \cos\phi\cos\delta\cos H + \sin\phi\sin\delta }\cr}}\tag{A.45}\label{eq:45} \]e dividiamo numeratore e denominatore di entrambe le equazioni per \(\cos\delta\)
\[ P\,\colon\cases{\eqalign{x &= {\cos\phi\tan\delta-\sin\phi\cos H \over \cos\phi\cos H + \sin\phi\tan\delta }\cr y &= {\sin H\over \cos\phi\cos H + \sin\phi\tan\delta }.\cr}\tag{A.46}\label{eq:46}} \]Poiché nel sistema così ottenuto l'unica funzione dipendente dalla declinazione \(\delta\) è la \(\tan\delta\) e volendo determinare il legame diretto tra le coordinate \(x\) e \(y\) procediamo come nella precedente sezione: dalla seconda equazione la funzione tangente è data dalla
\[\tan\delta ={\sin H\over y \sin\phi}-{\cos H\over \tan\phi}, \]e sostituiamo questo risultato nella prima equazione della \eqref{eq:46}. Dopo alcuni passaggi algebrici e risolvendo in \(y\) giungiamo alla relazione lineare tra \(x\) e \(y\)
\[y=-(\sin\phi\tan H)x+\cos\phi\tan H,\qquad\Longrightarrow\qquad y=-\sin\phi\tan H(x-\cot\phi)\tag{A.47}\label{eq:47}\]che dimostra come le linee orarie siano delle semplici rette. Nella figura A.8 tracciamo in colore tre meridiani celesti tra cui quello locale (in rosso) e le rispettive proiezioni su \(\pi\).
In effetti quanto appena ottenuto dimostra una proprietà generale della proiezione stereografica: un qualsiasi cerchio massimo sulla sfera ha per proiezione sul piano e nell'ambito di questo tipo di trasformazione di coordinate, una retta.
Tracciamo pertanto un insieme di 24 meridiani celesti avente come origine il meridiano locale (che pure è un meridiano celeste) cosicché le linee orarie corrispondenti saranno associate ciascuna ad una ben precisa ora del giorno e il meridiano locale al mezzogiorno. La figura A.9 riporta questa scelta mentre nella successiva (fig. A.10) evidenziamo il meridiano locale e il meridiano celeste che individua il punto cardinale dell'Est.
Sul piano \(\pi\) le linee orarie formano un fascio proprio di rette ossia si intersecano tutte in un unico punto che risulta la proiezione del polo Nord celeste sul piano stesso (fig. A.11 sinistra). Le sue coordinate si ottengono ponendo \(y=0\) nella \eqref{eq:47} oppure da una semplice considerazione geometrica basata sul triangolo rettangolo evidenziato nella figura A.10. Ne discende
\[0=-\sin\phi\tan H(x-\cot\phi)\qquad\Longrightarrow\qquad x={\cos\phi\over \sin\phi}=\cot\phi \tag{A.48}\label{eq:48}\]cosicché l'angolo di base del triangolo evidenziato nella figura A.10 è pari alla latitudine del luogo. Ciò dà ragione dell'inclinazione dello gnomone che osserviamo nelle meridiane: questo è, di norma, uno stilo parallelo all'asse terrestre e quindi inclinato sul piano orizzontale di un angolo pari alla latitudine \(\phi\) e alla base del quale convergono le linee orarie.
Inoltre gli angoli che separano una linea oraria dalla successiva non sono tra loro uguali né, tantomeno, sono uguali all'angolo di \(15^\circ\) che separa due meridiani celesti contigui: nella tabella A.1 ne riportiamo i valori in funzione della latitudine \(\phi\).
| angolo meridiani | angolo proiezioni |
|---|---|
| \(0^\circ\) | \(0\) |
| \(15^\circ\) | \(\arctan[(2-\sqrt3)\sin\phi]\) |
| \(30^\circ\) | \(\arctan(\sin\phi/\sqrt3)\) |
| \(45^\circ\) | \(\arctan(\sin\phi)\) |
| \(60^\circ\) | \(\arctan(\sqrt3\sin\phi)\) |
| \(75^\circ\) | \(\arctan[(2+\sqrt3)\sin\phi]\) |
Ne segue una seconda proprietà della proiezione stereografica gnomonica: essa non è conforme in quanto non conserva gli angoli tra linee o piani sulla sfera e rispettive proiezioni.
Unendo le linee diurne con quelle orarie otteniamo l'immagine di destra di figura A.11: in una tale rappresentazione grafica le linee diurne intersecano quelle orarie in punti che permettono di cogliere visivamente l'ora e il giorno dell'anno in cui il Sole si trova in quella particolare posizione del sistema altazimutale.
Nelle sezioni precedenti abbiamo dedotto alcune caratteristiche della proiezione gnomonica stereografica considerando un piano orizzontale \(\pi\) passante per la base dello gnomone. In questa sezione estendiamo l'analisi ad un piano verticale \(\pi_V\) tangente alla sfera nel punto di coordinate \((-1,0,0)\) dove immaginiamo posta la base dello gnomone. Il piano è dunque perpendicolare al versore \(\mathbf{i}\) e quindi alla direzione Nord mentre può essere descritto dai soli due versori \(\mathbf{j}\) e \(\mathbf{k}\). L'estremità dello gnomone è posta ancora nel centro della proiezione \(O(0,0,0)\) (fig. A.12).
Procedendo allo stesso modo di quanto fatto nelle sezioni precedenti un punto \(P\) appartenente a \(\pi_V\) è descritto dalla terna di coordinate \[ \bbox[border:1px solid red,15px,#ffffcc]{ P\left(-1,{-\cos\delta\sin H\over \cos\phi\sin\delta - \cos H\cos\delta\sin\phi},{\cos H\cos\delta\cos\phi+\sin\delta\sin\phi\over \cos\phi\sin\delta - \cos H\cos\delta \sin\phi }\right)}\tag{A.49}\label{eq:49} \]
e riconducibile alla famiglia di iperboli \(\gamma_V\) di parametro \(\delta\) traslate lungo l'asse verticale \(z\) e di equazione
\[ \bbox[border:1px solid red,15px,#ffffcc]{ \gamma_V:{\displaystyle\left(z\,+\,{\sin 2\phi \over \cos 2\delta\,-\,\cos 2\phi}\right)^{\kern-2pt 2}\kern-5pt\cdot\kern-2pt\left(\cos 2\delta\,-\,\cos 2\phi\over \sin 2\delta\right)^{\kern-2pt 2} }\kern-3pt -y^2\!\left(\cos 2\delta\,-\,\cos 2\phi \over 2\cos^2\delta\right)\! = 1.} \tag{A.50}\label{eq:50}\]Nel piano verticale l'immagine proiettata del polo Nord celeste è il punto \(P_N(-1,0,\tan\phi)\) e le linee orarie, uscenti da questo sono ancora delle rette descritte dalla
\[z=-(\cot H\sec\phi)\,y+\tan\phi.\tag{A.51}\label{eq:51}\]La linea dell'equinozio si ottiene invece ponendo \(\delta=0^\circ\) nella \eqref{eq:49} e viene riassunta dalla coppia di equazioni dove solo la prima dipende da \(H\) mentre la seconda è una costante.
\[\cases{y=\displaystyle{{\tan H\over \sin\phi}}\cr z=-\cot\phi.\cr}\tag{A.52}\label{eq:52}\]Nella figura A.13 riportiamo le linee diurne e orarie che traducono graficamente le precedenti osservazioni.
Se nella precedente sezione si è trattato il caso di una proiezione gnomonica su un piano verticale disposto perpendicolarmente alla direzione Nord-Sud, in quest'ultima sezione trattiamo il caso generale nel quale la retta normale al piano forma un angolo \(\alpha\), detto declinazione, con la direzione Nord. La situazione è illustrata nella figura A.14 dove la disposizione della parete e piano verticale \(\pi_{\alpha}\) è individuata nel sistema \(O\mathbf{i}\mathbf{j}\mathbf{k}\) dal versore \(\mathbf{u_\alpha}\)
\[\mathbf{u_\alpha}=\cos\alpha\,\mathbf{i} + \sin\alpha\,\mathbf{j}.\tag{A.53}\label{eq:53}\]
Nelle sezioni precedenti la proiezione stereografica delle coordinate solari \(S(x_S,y_S,z_S)\) nel sistema \(O\mathbf{i}\mathbf{j}\mathbf{k}\) poteva risultare immediata in quanto immediate erano le equazioni \(z=-1\) e \(x=-1\) dei piani di proiezione orizzontale e verticale e immutati erano i rispettivi versori di base. Diversamente con la rotazione di un angolo \(\alpha\) del piano verticale dobbiamo ora procedere con metodi generali. I passi quindi che seguiremo sono i seguenti:
Nella figura A.15 rappresentiamo la sfera celeste in proiezione zenitale riportando il piano \(\pi_\alpha\), i versori del sistema iniziale \(O\mathbf{i}\mathbf{j}\mathbf{k}\) con \(\mathbf{k}\) perpendicolare al piano e rivolto verso il lettore e il versore \(\mathbf{u}_\alpha\) che rappresenta la declinazione della parete.
Osserviamo che la terna di versori con la quale descrivere i punti del piano \(\pi_\alpha\) è anzitutto costituita dal
Pertanto scelta come origine del nuovo sistema il punto \(Q(-\cos\alpha,-\sin\alpha,0)\) avente coordinate opposte alle componenti \eqref{eq:53} di \(\mathbf{u}_\alpha\), il versore \(\mathbf{j'}\) è dato dal prodotto matriciale
\[\mathbf{j'}=R(\alpha)\,\mathbf{j}=\begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha & 0 \cr \sin\alpha & \cos\alpha & 0 \cr 0 & 0 & 1\cr\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0\cr 1\cr 0\cr\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-\sin\alpha\cr \cos\alpha\cr 0\cr\end{pmatrix}\tag{A.54}\label{eq:54}\]essendo \(R(\alpha)\) la matrice di rotazione attorno a \(\mathbf{k}\) (la matrice (1.12) trasforma un vettore in un secondo vettore nel medesimo sistema di riferimento).
Per ottenere l'equazione del piano \(\pi_\alpha\) (punto 2), consideriamo un suo generico punto \(P(x,y,z)\) e sfruttiamo la perpendicolarità del versore \(\mathbf{i}'=\mathbf{u}_\alpha\) con il vettore \(\mathbf{QP}\)
\[\mathbf{QP}=(x,y,z)-(-\cos\alpha,-\sin\alpha,0)=(x+\cos\alpha,y+\sin\alpha,z).\] La condizione di perpendicolarità del prodotto scalare diventa dunque \[\pi_\alpha\colon\quad \mathbf{j'}\cdot \mathbf{QP}=0\quad\Longrightarrow\quad (\cos\alpha, \sin\alpha, z)\cdot (x+\cos\alpha,y+\sin\alpha,0)=0 \tag{A.55}\label{eq:55}\]dalla quale, sviluppando il prodotto scalare, otteniamo l'equazione del piano \(\pi_\alpha\) nel sistema \(O\mathbf{i}\mathbf{j}\mathbf{k}\)
\[\pi_\alpha\colon\quad x\cos\alpha+\cos^2\alpha+y\sin\alpha+\sin^2\alpha=0 \qquad\Longrightarrow\qquad x\cos\alpha+y\sin\alpha+1=0. \tag{A.56}\label{eq:56}\]Indicato con \(S(x_S,y_S,z_S)\) un qualsiasi punto del sistema originario e come già fatto nelle sezioni precedenti, l'equazione della retta \(r_{OS}\) è
\[r_{OS}\,\colon\quad {(x,y,z)}=t(x_S\,\mathbf{i}+y_S\,\mathbf{j}+z_S\,\mathbf{k})\tag{A.57}\label{eq:57}\]cosicché l'intersezione tra \(r_{OS}\) e \(\pi_\alpha\) produce il sistema di equazioni (punto 4)
\[r_{OS}\cap\pi_\alpha\colon\quad \cases{x\cos\alpha+y\sin\alpha+1=0\cr x=t\,x_S\cr y=t\,y_S\cr z=t\,z_S\cr}\tag{A.58}\label{eq:58} \]dalle quali, sostituendo la seconda e la terza nella prima, otteniamo il valore del parametro \(t\)
\[t=-{1\over x_S\cos\alpha+y_S\sin\alpha}\]e di conseguenza le coordinate del punto \(P\)
\[P\colon\quad \cases{x=-\displaystyle{x_S\over x_S\cos\alpha+y_S\sin\alpha}\cr y=-\displaystyle{y_S\over x_S\cos\alpha+y_S\sin\alpha}\cr z=-\displaystyle{z_S\over x_S\cos\alpha+y_S\sin\alpha}.\cr }\tag{A.59}\label{eq:59}\]Per dedurre le coordinate di \(P\) nel sistema \(Q\,\mathbf{i'}\mathbf{j'}\mathbf{k'}\) (punto 5), non ci rimane che applicare quanto già visto nel collegare due sistemi di riferimento riportando la terna iniziale su quella finale. Pertanto per sovrapporre la terna originaria \(O\mathbf{i}\mathbf{j}\mathbf{k}\) alla \(Q\,\mathbf{i'}\mathbf{j'}\mathbf{k'}\) è necessario eseguire la traslazione \(\tau\) che trasporta \(O\) su \(Q\) (fig. A.15) e di vettore \(-\mathbf{u}_\alpha\). Le coordinate nella terna intermedia quindi
\[\tau\,\colon\quad (x_1,y_1,z_1)=(x,y,z)-(-\mathbf{u}_\alpha)=(x,y,z)+(\cos\alpha,\sin\alpha,0)=(x+\cos\alpha, y+\sin\alpha,z).\]Applichiamo quindi la rotazione \(R(\alpha)\) di angolo \(\alpha\) attorno a \(\mathbf{k}\). Come già visto, questa è data dalla matrice (1.9) e non va confusa con la \eqref{eq:54} sebbene la simbologia sia la stessa. Se \(P(x',y',z')\) sono le coordinate nel nuovo sistema, la sua rotazione in forma matriciale è
\[\begin{pmatrix}x'\cr y'\cr z'\cr\end{pmatrix}=R(\alpha)\begin{pmatrix}x+\cos\alpha\cr y+\sin\alpha\cr z\cr\end{pmatrix}\qquad\Longrightarrow\qquad \begin{pmatrix}x'\cr y'\cr z'\cr\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\alpha & \sin\alpha & 0 \cr -\sin\alpha&\cos\alpha&0\cr 0&0&1\cr\end{pmatrix}\!\!\begin{pmatrix}x+\cos\alpha\cr y+\sin\alpha\cr z\cr\end{pmatrix} \tag{A.60}\label{eq:60}\]mentre, per esteso,
\[P'\,\colon\,\cases{x'=x\cos\alpha+\cos^2\alpha+y\sin\alpha+\sin^2\alpha\cr y'=-x\sin\alpha-\sin\alpha\cos\alpha+y\cos\alpha+\sin\alpha\cos\alpha\cr z'=z\cr}\qquad\Longrightarrow\qquad P'\,\colon\, \cases{x'=1+x\cos\alpha+y\sin\alpha\cr y'=y\cos\alpha-x\sin\alpha\cr z'=z\cr}\tag{A.61}\label{eq:61} \]Con la sostituzione delle \eqref{eq:59} nella precedente otteniamo le coordinate di \(P'\): queste sono \[ P'\left( 0, {x_S\sin\alpha-y_S\cos\alpha\over x_S\cos\alpha+y_S\sin\alpha}, -{z_S\over x_S\cos\alpha+y_S\sin\alpha}\right) \tag{A.62}\label{eq:62} \]
e, come previsto, l'ascissa risulta nulla mentre la terza è rimasta immutata. In quanto segue potremo quindi limitarci allo studio piano del punto \(P'\) con le due coordinate
\[ \bbox[border:1px solid red,15px,#ffffcc]{ P'\left({x_S\sin\alpha-y_S\cos\alpha\over x_S\cos\alpha+y_S\sin\alpha}, -{z_S\over x_S\cos\alpha+y_S\sin\alpha}\right)\!.} \tag{A.63}\label{eq:63} \]dove la terna solare \((x_S, y_S, z_S)\) è ora data dalle
\[ \cases{\eqalign{x_S &= \sin\phi\cos\delta\cos H - \cos\phi\sin\delta\cr y_S &= -\cos\delta\sin H\cr z_S &= \cos\phi\cos\delta\cos H + \sin\phi\sin\delta.\cr}\tag{A.64}\label{eq:64}} \]avendo riportato la seconda coordinata alla terna destrorsa (punto 3). La sostituzione di queste ultime implica la forma parametrica definitiva
\[\bbox[border:1px solid red,15px,#ffffcc]{ \eqalign{P'\left( -{\cos\alpha\cos\delta\sin H-\cos\phi\sin\alpha\sin\delta+\cos H\cos\delta\sin\alpha\sin\phi\over \cos\delta\sin H\sin\alpha+\cos\alpha\cos\phi\sin\delta-\cos H\cos\alpha\cos\delta\sin\phi},\right.\cr &\hskip-6cm\left.{\cos H\cos\delta\cos\phi+\sin\delta\sin\phi\over \cos\delta\sin H\sin\alpha+\cos\alpha\cos\phi\sin\delta-\cos H\cos\alpha\cos\delta\sin\phi } \right)\!.\cr}} \tag{A.65}\label{eq:65}\]Per parziale conferma, poniamo \(\alpha=0\) nelle precedenti: ne discendono correttamente le coordinate \eqref{eq:49} del piano verticale con retta normale in direzione Nord.
Dal risultato \eqref{eq:65} deriviamo le principali caratteristiche dei percorsi seguiti da \(P'\) al variare della declinazione e dell'angolo orario.
Per ottenere la linea degli equinozi poniamo in quest'ultima \(\delta=0^\circ\) e riscriviamo le coordinate in termini della sola \(\tan H\)
\[\cases{\eqalign{y'&=-{\cos\alpha\tan H + \sin\alpha\sin\phi \over \tan H\sin\alpha - \cos\alpha\sin\phi} \cr z'&=-{\cos\phi\over \tan H\sin\alpha - \cos\alpha\sin\phi}}}\tag{A.66}\label{eq:66}\]e in tal modo, eliminando ancora una volta \(\tan H\), possiamo determinare il legame tra le coordinate \((y',z')\) che risulta \[\hbox{linea degli equinozi}\colon\quad z'=-(\cot\phi\sin\alpha)y'-\cos\alpha\cot\phi.\tag{A.67}\label{eq:67} \]
Questa retta, nell'emisfero settentrionale, possiede un coefficiente angolare negativo quando \(\sin\alpha>0\) cioè in corrispondenza di una declinazione della parete positiva (verso Est): viceversa, esso è positivo quando la parete è ruotata verso Ovest.
Allo stesso modo, determiniamo le linee orarie riscrivendo la \eqref{eq:63} in termini di \(\tan\delta\) (e quindi dividendo numeratore e denominatore per \(\cos\delta\))
\[\eqalign{P'\left( -{\cos\alpha\sin H-\cos\phi\sin\alpha\tan\delta+\cos H\sin\alpha\sin\phi\over \sin H\sin\alpha+\cos\alpha\cos\phi\tan\delta-\cos H\cos\alpha\sin\phi},{\cos H\cos\phi+\tan\delta\sin\phi\over \sin H\sin\alpha+\cos\alpha\cos\phi\tan\delta-\cos H\cos\alpha\sin\phi } \right)\cr} \]e eliminiamo la dipendenza da \(\tan\delta\) così da ottenere l'equazione in termini delle sole coordinate \(y'\) e \(z'\)
\[\hbox{linee orarie}\colon\quad z'=\sec\phi(\cos\alpha\sin\phi+\cot H\sin\alpha)+y'\left[\sec\alpha(\cos\alpha\cot H-\sin\alpha\sin\phi)\right].\tag{A.68}\label{eq:68} \]Questa, come nei casi trattati in precedenza, al variare di \(H\) rappresenta una famiglia di rette tutte passanti per il punto
\[P'_N\left(\!\tan\alpha,{\tan\phi\over\cos\alpha}\right)\tag{A.69}\label{eq:69} \]punto che è la proiezione del polo Nord celeste. Nella figura A.16 riassumiamo tutte queste caratteristiche notando come una tale disposizione sia tipica delle meridiane da parete quando questa sia declinante verso Est.
Nel caso opposto, quando la parete è declinante verso Ovest, il coefficiente angolare della retta degli equinozi sarà positivo e la disposizione delle linee orarie sarà speculare rispetto al caso precedente come mostrato nella figura A.17.
Fino ad ora abbiamo considerato la proiezione gnomonica di un punto \(S\) appartenente alla sfera celeste e ponendo nell'origine \(O\) del sistema \(O\mathbf{i}\mathbf{j}\mathbf{k}\) il vertice dello gnomone. In tal modo abbiamo ottenuto sul piano di proiezione al variare dell'angolo orario \(H\) e della declinazione \(\delta\) rispettivamente le linee diurne e quelle orarie. In realtà, ciò che osserviamo in una meridiana non è l'ombra dell'estremo dello gnomone bensì l'ombra dell'intero gnomone proiettata sul piano di proiezione. Se per esempio, con riferimento alla figura iniziale A.1 poniamo la base \(B\) dello gnomone nel punto di coordinate \((0,0,-1)\) cosicché esso è verticale, la sua ombra sarà l'intero segmento \(BP\) e non il solo punto \(P\).
Nella figura A.18 riprendiamo la parte destra della figura A.11. Essa mostra le curve diurne e orarie su un piano orizzontale e le ombre \(BP\) proiettate in due momenti diversi della giornata dallo gnomone, disposto verticalmente nel punto \(B(0,0)\).
Appare evidente come l'ombra in questa disposizione segni correttamente l'angolo orario del Sole rispetto al mezzogiorno ma non possa garantire, per la variazione della declinazione solare, l'ora solare corretta in giorni diversi. Uno gnomone verticale non è quindi in grado di fornire informazioni precise sull'ora solare durante tutto l'anno.
La soluzione è, a questo punto, immediata: si dovrà mantenere inalterato l'estremo dello gnomone modificando invece la sua base in modo che questa coincida con il centro di convergenza delle linee orarie. In tal modo uno gnomone correttamente inclinato potrà compensare la variazione della declinazione solare.
Per un piano orizzontale la disposizione corretta è quella di figura A.19, mentre la successiva figura A.20 mostra lo gnomone inclinato correttamente su un piano verticale non declinante.
Se infine, tenendo conto delle proprietà delle matrici di rotazione, invertiamo la \eqref{eq:60} nella
\[R(-\alpha)\!\begin{pmatrix}x'\cr y'\cr z'\cr\end{pmatrix}\!=R(-\alpha)R(\alpha)\!\begin{pmatrix}x+\cos\alpha\cr y+\sin\alpha\cr z\cr\end{pmatrix}\qquad\Longrightarrow\qquad \begin{pmatrix}x+\cos\alpha\cr y+\sin\alpha\cr z\cr\end{pmatrix}\!=R(-\alpha)\!\begin{pmatrix}x'\cr y'\cr z'\cr\end{pmatrix} \tag{A.70}\label{eq:70}\]e vi sostituiamo le coordinate tridimensionali \eqref{eq:69} di \(P'_N(0,\tan\alpha,\tan\phi\sec\alpha)\), otteniamo le sue coordinate nel sistema iniziale \(O\mathbf{i}\mathbf{j}\mathbf{k}\).
\[\begin{pmatrix}x+\cos\alpha\cr y+\sin\alpha\cr z\cr\end{pmatrix}\!=\!\begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha & 0 \cr \sin\alpha&\cos\alpha&0\cr 0&0&1\cr\end{pmatrix}\!\!\begin{pmatrix}0\cr \tan\alpha\cr \tan\phi\sec\alpha\cr\end{pmatrix}\qquad\Longrightarrow\qquad \begin{pmatrix}x\cr y\cr z\cr\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\sec\alpha \cr0\cr \tan\phi\sec\alpha\cr\end{pmatrix} \tag{A.71}\label{eq:71}\]Ne segue che il rapporto tra la componente verticale, \(\tan\phi\sec\alpha\), e quella orizzontale, \(|\sec\alpha|\), del segmento \(OP'_N\) che rappresenta lo stilo dello gnomone (i due cateti del triangolo evidenziato in figura A.20 destra) è ancora uguale a
\[{\tan\phi|\sec\alpha|\over |\sec\alpha|}=\tan\phi\tag{A.72}\label{eq:72}\]per cui come aspettato, anche nel caso di parete declinante la direzione dello gnomone dipende solo dalla latitudine e forma con l'orizzonte un angolo pari a \(\phi\) (figg. A.19 e A.20).
In conclusione, lo gnomone in una meridiana è sempre orientato secondo la direzione del polo celeste, indipendentemente dall'inclinazione della parete su cui è montato.