Nota la longitudine vera geocentrica \(L\) del Sole tramite la (4.41) possiamo ricavare le coordinate equatoriali del Sole recuperando le relazioni (2.26). Tenendo presente che la latitudine solare \(\beta\) è nulla e l'inclinazione dell'asse equatoriale con quello eclittico è rappresentata dall'obliquità \(\epsilon=23.44^\circ\), ne segue che
\[\cases{\eqalign{ \cos\delta \cos\alpha &= \cos0^\circ \cos L\cr \cos\delta \sin\alpha &= \cos\epsilon \cos 0^\circ \sin L - \sin\epsilon \sin 0^\circ\cr \sin\delta &= \sin\epsilon \cos 0^\circ \sin L + \cos\epsilon \sin0^\circ.\cr }}\qquad\Longrightarrow\qquad \cases{\eqalign{ \cos\delta \cos\alpha &= \cos L\cr \cos\delta \sin\alpha &= \cos\epsilon \sin L \cr \sin\delta &= \sin\epsilon \sin L. \cr }} \tag{5.1}\label{eq:5.1} \]Dalla terza discende immediatamente la declinazione \(\delta\)
\[ \bbox[border:1px solid red,15px,#ffffcc]{ \delta = \arcsin(\sin\epsilon \sin L)\tag{5.2}\label{eq:5.2} } \]mentre per ottenere l'ascensione retta \(\alpha\) conviene eseguire il rapporto membro a membro delle prime due equazioni di \eqref{eq:5.1} dividendo la seconda con la prima
\[\tan\alpha = {\cos\epsilon \sin L\over{\cos L}}\qquad\Longrightarrow\qquad \alpha = \arctan\!\left(\cos\epsilon \tan L\right).\tag{5.3}\label{eq:5.3} \]Anziché utilizzare direttamente la funzione matematica \(\arctan(y/x)\) che restituisce sempre un angolo compreso tra \(-90^\circ\) e \(90^\circ\) utilizziamo la funzione \(\arctan\kern-2pt2(y,x)\) che restituisce univocamente un angolo compreso tra \(-180^\circ\) e \(180^\circ\) riportato poi all'intervallo canonico \([0,360^\circ[\) (appendice C). Pertanto, la formula per l'ascensione retta diviene
\[ \bbox[border:1px solid red,15px,#ffffcc]{\alpha = \arctan\kern-2pt2(\cos\epsilon \sin L,\cos L).\tag{5.4}\label{eq:5.4} } \]Dalla \eqref{eq:5.2} discendono i valori estremi della declinazione solare \(\delta\) che caratterizzano i solstizi,
\[\eqalign{L&=90^\circ&\quad\Longrightarrow\quad &\delta_{max} =\arcsin(\sin\epsilon)=\epsilon=23.44^\circ\qquad&\hbox{(solstizio d'estate)}\cr L&=270^\circ &\quad\Longrightarrow\quad &\delta_{min} =\arcsin(-\sin\epsilon)=-\epsilon=-23.44^\circ\qquad&\hbox{(solstizio d'inverno)}\cr }\tag{5.5}\label{eq:5.5}\]mentre, in corrispondenza degli equinozi, dove \(L=0^\circ\) e \(L=180^\circ\), la declinazione è nulla \(\delta=0^\circ\) e il Sole interseca l'equatore celeste.
Applicando la sequenza riportata nella figura 4.2 per ogni giorno dell'anno alle ore 12 \(UTC\) otteniamo l'andamento annuale della declinazione, rappresentato in figura 5.1 con evidenziati i giorni più significativi nonché i valori dell'ascensione retta.
Note le coordinate equatoriali del Sole, possiamo passare alle coordinate altazimutali lavorando nel sistema equatoriale orario. La conversione delle coordinate equatoriali orarie del Sole \(\delta\) e \(H\) in quelle altazimutali \(a\) e \(A\) richiede comunque anche la conoscenza della latitudine geografica \(\phi\) del luogo di osservazione e, come già presente nella coordinata \(H\), della data e ora locali.
Riprese quindi le relazioni in (2.20)
\[ \cases{\eqalign{ \cos a \cos A &= \sin\phi\cos\delta\cos H- \cos\phi \sin\delta\cr \cos a \sin A &= \cos \delta \sin H\cr \sin a &=\cos\phi \cos \delta \cos H+ \sin\phi \sin \delta\cr }}\tag{5.6}\label{eq:5.6} \]eseguiamo il rapporto, membro a membro, della seconda relazione con la prima ottenendo la tangente dell'azimut \(A\)
\[\tan A = {\cos \delta \sin H\over{\sin\phi\cos\delta\cos H- \cos\phi \sin\delta}},\tag{5.7}\label{eq:5.7} \]dalla quale, con le medesime motivazioni riportate per l'ascensione retta, giungiamo alla
\[ \bbox[border:1px solid red,15px,#ffffcc]{ A = \arctan\kern-2pt2(\cos \delta \sin H, \sin\phi\cos\delta\cos H- \cos\phi \sin\delta).\tag{5.8}\label{eq:5.8} } \]La formula per l'altezza \(a\) è invece ottenuta dalla terza relazione della \eqref{eq:5.6} e, utilizzando la funzione inversa del seno prende la forma
\[ \bbox[border:1px solid red,15px,#ffffcc]{ a = \arcsin(\cos\phi \cos \delta \cos H+ \sin\phi \sin \delta).\tag{5.9}\label{eq:5.9} }\] \eqref{eq:5.6}Per calcolare l’angolo orario \(H\) del sorgere o del tramonto del Sole, basta imporre nella \eqref{eq:5.6} la condizione \(a = 0\), corrispondente al Sole sull’orizzonte. In questo modo otteniamo
\[0 = \cos\phi \cos \delta \cos H+ \sin\phi \sin \delta\tag{5.10}\label{eq:5.10} \]da cui, isolando il coseno dell'angolo orario \(H\), ne deriva
\[\cos H = -{\sin\phi \sin \delta\over{\cos\phi \cos \delta}}=-\tan\phi\tan\delta.\tag{5.11}\label{eq:5.11} \]Perché questa equazione abbia soluzioni devono valere le condizioni
\[-1\leq -\tan\phi \tan \delta \leq 1\qquad\Longrightarrow\qquad -1\leq \tan\phi \tan \delta \leq 1 \qquad\Longrightarrow\qquad |\tan\phi \tan \delta| \leq 1. \]Dall'ultima diseguaglianza segue
\[|\tan\phi|\leq \left|{1\over{\tan \delta}}\right|\qquad\hbox{ovvero}\qquad |\tan\phi|\leq |\tan(90°-\delta)|\]e quindi
\[-(90^\circ - \delta) \leq \phi \leq (90^\circ - \delta).\]Questa condizione implica che il Sole sorge e tramonta solo se la latitudine geografica dell'osservatore \(\phi\) è compresa tra i due valori estremi \((90^\circ - \delta)\) e \(-(90^\circ - \delta)\) o, in altri termini, se l'osservatore si trova tra i due circoli polari essendo \(\delta_{max}=23.44^\circ\). Pertanto, la condizione finale per il sorgere e il tramontare del Sole è
\[ -66.56^\circ \leq \phi \leq 66.56^\circ.\]Nel caso contrario, ovvero per latitudini superiori a \(66.56°\) o inferiori a \(-66.56°\) il Sole può, a seconda della sua declinazione e stagione, non sorgere mai (notte polare) oppure non tramontare mai (Sole di mezzanotte).
Infine, utilizzando la funzione inversa del coseno, giungiamo alla formula
\[ \bbox[border:1px solid red,15px,#ffffcc]{ H_T = \arccos\left(-{\tan\phi \tan \delta}\right)=\pi-\arccos\left(\tan\phi\tan\delta\right).\tag{5.12}\label{eq:5.12}} \]che, per la convenzione adottata su \(H\) in (1.22), individua l'angolo orario \(H_T\) del tramonto. La sua estensione all'intervallo \([180^\circ,360^\circ[\) per comprendere anche l'angolo \(H_S\) dell'alba è \(H_S=360^\circ-H_T\).
Nota 5.1. La formula precedente presenta due casi interessanti che si verificano quando uno dei due fattori ad argomento dell'arccoseno in \eqref{eq:5.12} si annulla.
Nel caso sia \(\delta=0°\) per cui il Sole passa per l'equinozio di primavera o d'autunno, gli angoli orari del tramonto e dell'alba valgono
\[H_T = \arccos(0) = 90^\circ\qquad\hbox{e}\qquad H_S =360^\circ - H_T = 270^\circ \]e quindi la durata del dì è uguale a \((360^\circ-H_S)+H_T=180^\circ=12\,\hbox{h}\) e quella della notte \(H_S-H_T=180^\circ=12\,\hbox{h}\) e a qualsiasi latitudine geografica.
La medesima situazione si verifica, questa volta permanentemente, all'equatore dato che la sua latitudine è nulla. Si veda, per una conferma visiva, la successiva figura 5.4.
Chiarito ciò, va ricordato che il Sole non è puntiforme, ma presenta una dimensione angolare non trascurabile, di circa \(30'= 0.5^\circ\). La validità della formula precedente va per tale fatto riferita al solo centro del disco solare. Inoltre, se non ci fosse l'atmosfera, il primo raggio di Sole apparirebbe sopra l'orizzonte quando l'altezza del centro del disco è maggiore di circa \(-16'\) (fig. 5.2).
A questa osservazione di carattere geometrico, si aggiunge il fenomeno fisico della rifrazione che, per la presenza dell'atmosfera modifica sensibilmente la direzione dei raggi solari e comporta un aumento dell'altezza apparente del Sole. In sostanza, se il Sole fosse un punto luminoso, esso apparirebbe all'orizzonte con altezza nulla pur essendo la sua altezza effettiva ancora negativa.
La rifrazione dipende dalla pressione e temperatura dell'atmosfera nonché dall'altezza cui è posto l'osservatore ed è massima proprio negli istanti dell'alba e del tramonto. Considerando quindi che l'ampiezza angolare del raggio solare è circa \(16'\) e che l'entità media della rifrazione all'alba e al tramonto ammonta a \(34'\) (fig. 5.2), questi due effetti sommati implicano una diminuzione dell'altezza pari \(\Delta a=50'=0.833^\circ\): si rileva quindi il bordo del Sole sopra l'orizzonte (è il momento della levata) pur essendo il suo centro ancora al di sotto con un'altezza \(a\) negativa pari a \(a=-\Delta a\). Pertanto, sostituiamo questo valore effettivo nella terza formula delle \eqref{eq:5.6}
\[\sin(-\Delta a) = \cos\phi \cos \delta \cos H+ \sin\phi \sin \delta\tag{5.13}\label{eq:5.13} \]che riscriviamo con l'identità goniometrica \(\sin(-\Delta a)=\cos(90^\circ+\Delta a)\) come
\[\cos(90^\circ+\Delta a) = \cos\phi \cos \delta \cos H+ \sin\phi \sin \delta.\tag{5.14}\label{eq:5.14} \]Isolando il coseno dell'angolo orario \(H\), otteniamo
\[ \cos H = {\cos(90^\circ+\Delta a) - \sin\phi \sin \delta\over{\cos\phi \cos \delta}}.\tag{5.15}\label{eq:5.15} \]e infine, utilizzando la funzione inversa del coseno, giungiamo alla formula per l'angolo orario che tiene conto di queste correzioni
\[ \bbox[border:1px solid red,15px,#ffffcc]{ H_T = \arccos\left({\cos(90^\circ+\Delta a) \over{\cos\phi \cos \delta}}-\tan\phi\tan\delta\right)\!.\qquad (\hbox{rad})\tag{5.16}\label{eq:5.16} } \]Come esempi numerici dell'influenza della rifrazione e delle dimensioni angolari del Sole, consideriamo un osservatore situato a Roma (latitudine \(\phi=41.89^\circ\)) nel giorno dell'equinozio di primavera quando \(\delta=0^\circ\). L'angolo orario del sorgere del Sole è pari a \(H=91.12^\circ\) anziché \(90^\circ\), come discende dalla \eqref{eq:5.16}. La differenza tra questi è di circa \(1.12^\circ\), cui corrisponde un anticipo temporale dell'alba di circa \(4.5'\). Poiché lo stesso effetto si ha al tramonto, la lunghezza del dì aumenta di poco meno di 9 minuti. Se lo stesso calcolo viene fatto nel giorno del solstizio d'estate, quando \(\delta=23.44^\circ\), l'elongazione del giorno è di circa \(10.6\) minuti. Per confronto, considerando invece un osservatore situato a Milano (latitudine \(\phi=45.47^\circ\)), la durata del dì aumenta di circa \(9.5\) minuti nell'equinozio e di circa \(11.6\) minuti nel giorno del solstizio d'estate, circa un minuto in più rispetto a Roma.
Sempre sulla base della formula \eqref{eq:5.16} osserviamo che, in aggiunta alla latitudine geografica e al fenomeno della rifrazione, essa dipende anche dalla declinazione. Se supponiamo quindi che la latitudine \(\phi\) sia costante,
Ci chiediamo quindi se la continua variazione della declinazione solare che ha luogo durante l'anno abbia una qualche influenza sulla durata del dì e, in particolare, se l'intervallo di tempo tra l'alba e il mezzogiorno sia lo stesso tra il tramonto e il mezzogiorno cioè vi sia una simmetria dei rispettivi angoli orari rispetto allo zero del meridiano.
A questo scopo sviluppiamo un esempio numerico assumendo da un almanacco gli istanti del sorgere e del tramonto dai quali dedurre i rispettivi angoli orari e quindi, ottenuta la durata del dì, la confrontiamo con l'ipotesi semplificatrice (e certamente approssimata) che assegna alla declinazione il valore che essa assume nell'istante del mezzogiorno vero.
Consideriamo quindi il giorno del 12 agosto 2025 con l'osservatore posto a Greenwich \(\phi=51.48^\circ\). In tale località il Sole sorge alle \(t_1=4\colon41\colon44\,\hbox{UTC}\) e tramonta alle \(t_2=19\colon28\colon0\,\hbox{UTC}\) (effemeridi di Mathematica) per cui la durata è pari a \(t_2-t_1=14.7911\,\hbox{h}\). Trasformati in giorni giuliani con 4.4, gli stessi due istanti ammontano rispetto all'epoca J2000.0, 4.14, rispettivamente a \(\Delta T_1=9354.69495\,\hbox{d}\) e \(\Delta T_2=9355.3111\,\hbox{d}\). Con questi valori possiamo calcolare, in sequenza, l'anomalia media, (4.15), la longitudine vera, (4.41), la declinazione \eqref{eq:5.2} e infine, l'angolo orario dell'alba e del tramonto.
I risultati sono
| alba | tramonto | ||
|---|---|---|---|
| \(\Delta T\) | giorni giuliani (d) | 9354.69495 | 9355.3111 |
| \(M\) | anomalia media (rad) | 3.79642 | 3.80703 |
| \(L\) | longitudine vera (deg) | 139.751 | 140.342 |
| \(\delta\) | declinazione (deg) | 14.8906 | 14.7041 |
| \(H\) | angolo orario (h) | 16.6006 | 7.38139 |
Ne segue che la durata del dì è
\[\hbox{1: durata del dì}=(24-H_S)+H_T =24-16.6006+7.38139=14.7807\,\hbox{h}\tag{5.17}\label{eq:5.17} \]e questo differisce per circa 37 s con il valore \(t_2-t_1\) sopra.
Se invece, supponiamo che la declinazione del Sole rimanga costante durante l'arco di un'intera giornata e assuma il valore che ha al mezzogiorno, la durata del dì è espressa dalla semplice formula
\[\hbox{2: durata del dì}=2 H'_T\tag{5.18}\label{eq:5.18} \]che sviluppiamo inserendo la \eqref{eq:5.16} e i fattori, \(180/\pi\) che converte i radianti in gradi assieme a \(1/15\) che riporta i gradi in ore: otteniamo pertanto
\[ \bbox[border:1px solid red,15px,#ffffcc]{\hbox{Durata del dì}= {2\over 15}\left({180\over \pi}\right)H'_T={24\over\pi} \arccos\!\left({\cos(90^\circ+\Delta a) \over{\cos\phi \cos \delta}}-\tan\phi\tan\delta\right)\quad (\hbox{h}).}\tag{5.19}\label{eq:5.19} \]A partire dall'istante del mezzogiorno \(\Delta T= 9355\,\hbox{d}\) e calcolando la successione
\[ \Delta T= 9355\,\hbox{d}\quad \longrightarrow\quad M=3.80167\,\hbox{rad}\quad \longrightarrow\quad L=140.044^\circ\quad \longrightarrow\quad \delta=14.7984^\circ \]ne discende una durata di \(14.7809\,\hbox{h}\) che differisce per meno di \(0.723\,\hbox{s}\) dalla \eqref{eq:5.17}. Tale differenza, pur aumentando un po' con la latitudine o in prossimità dei solstizi quando la variazione giornaliera della declinazione è massima, appare decisamente piccola e comunque sempre dell'ordine di pochi secondi (e, come visto, interna all'incertezza dovuta al calcolo dei tempi dell'alba e tramonto principalmente a causa della rifrazione atmosferica).
L'ipotesi quindi che la declinazione del Sole rimanga costante durante l'arco di un'intera giornata ha una sua pratica giustificazione e sta alla base del modello geometrico del moto apparente del Sole. Possiamo quindi rappresentare il suo moto giornaliero nel sistema altazimutale tramite un cerchio massimo sulla sfera celeste, cerchio il cui piano è inclinato rispetto all'orizzonte di un angolo che dipende, non solo dalla latitudine, ma anche dal valore giornaliero della declinazione. Nella figura 5.3 rappresentiamo, assieme alle sue coordinate altazimutali, la traiettoria apparente solare nel giorno dell'equinozio di primavera alla latitudine di \(45^\circ\).
Nei limiti appena delineati, possiamo quindi derivare dalla \eqref{eq:5.19} la durata del dì e rappresentarla in funzione del giorno dell'anno: i grafici di figura 5.4 riportano i risultati del calcolo per le varie latitudini geografiche: entrambe mostrano che all'Equatore la durata è costantemente di \(12\,\hbox{h}\) (sebbene vi sia una lieve oscillazione dovuta alla rifrazione) mentre a latitudini non nulle ciò avviene solo negli equinozi. Inoltre questi grafici evidenziano come spostandosi verso le latitudini più elevate ma inferiori al circolo polare, la durata del dì presenta variazioni sempre più significative passando, alle latitudini di \(65^\circ\) da circa \(22\,\hbox{h}\) il 21 giugno alle \(3.6\,\hbox{h}\) del 21 dicembre.
