Il Sole non si muove con velocità costante nel suo moto apparente lungo l'eclittica e ciò principalmente a causa dell'orbita ellittica della Terra nonché dell'inclinazione dell'asse terrestre sul piano dell'eclittica. Per ovviare alla variabilità del giorno solare inteso come l'intervallo di tempo tra due culminazioni successive al meridiano locale si è introdotto un Sole fittizio disposto lungo l'equatore celeste il cui periodo definisce il giorno solare medio posto convenzionalmente uguale a 24 ore (si veda la sezione 7.1).
L'equazione del tempo \(E\) (fig. B.1) rappresenta quindi la correzione da apportare al tempo solare medio \(LMT\) per ottenere il tempo solare vero \(AST\), correzione riassunta dall'espressione già incontrata (7.6).
\[ \bbox[border:1px solid red,15px,#ffffcc]{ E = AST - LMT.\tag{B.1}\label{eq:1} }\]
Queste considerazioni sul tempo solare vero (o apparente) e sul tempo dei nostri orologi se da un lato possono sembrare lontane dalla nostra esperienza quotidiana in quanto potremo considerarle come astrazioni nella geometria del moto solare, dall'altro hanno trovato una spettacolare e sensazionale conferma visiva con la foto seguente, la prima foto dell'analemma solare mai realizzata.
L'analemma è la curva a forma di otto che si ottiene fotografando il Sole alla stessa ora locale ogni giorno per un anno intero e rappresenta la traduzione spaziale dell'equazione del tempo. La forma dell'analemma è dovuta alla combinazione dell'inclinazione dell'asse terrestre rispetto al piano dell'eclittica e della variazione della velocità orbitale della Terra intorno al Sole nella sua orbita ellittica: nel seguito daremo conto di ciò e di altre sue caratteristiche ottenute in ogni caso a partire da un insieme di dati quali, angolo orario \(H\), declinazione \(\delta\), altezza \(a\), azimut \(A\) ed equazione del tempo, calcolati per ogni giorno di un intero anno.
Dal punto di vista matematico, l'analemma rientra nella classe di curve a forma di otto dette lemniscate.
Nota La foto dell'analemma solare è stata realizzata da Dennis Di Cicco e pubblicata su Sky & Telescope nel giugno 1979. Consiste di 45 differenti esposizioni fotografiche del Sole ottenute in giorni diversi dell'anno separati da intervalli regolari di 7 giorni. Le foto sono state scattate tutte alla stessa ora \(8\!:\!30'\,EST\) con la fotocamera rigidamente fissata ad un supporto. Per mostrare il moto diurno del Sole nei giorni prossimi ai solstizi del 26 giugno (scia più elevata) e 26 dicembre (scia inferiore), e il 30 agosto in prossimità del nodo dell'analemma, l'otturatore della fotocamera è stato aperto dal sorgere del Sole fino alle \(8\!:\!25'\), 5 minuti prima dello scatto previsto per la posizione solare. I percorsi solari ottenuti con queste tre pose evidenziano quindi la diversa lunghezza del dì in estate e in inverno. Eliminati i filtri per le foto solari, la foto dello sfondo con alberi e abitazione, è stata fatta il 24 settembre 1978 alle ore \(14\!:\!51'\) con il Sole a Sud-Ovest come appare evidente dall'ombra del camino.
Per comprendere la sua forma nel cielo e la sua origine, supponiamo che un osservatore sia posto ad una media latitudine \(\phi = 45^\circ N\) e alla longitudine di Greenwich \( \lambda = 0^\circ \) e calcoliamo la posizione del Sole ogni giorno dell'anno alle ore \(12\!:\!00\, UTC\) che equivale, sostanzialmente, al tempo medio locale \(LMT\). Evidentemente ci servono le formule discusse nel capitolo 5 per calcolare l'azimut \(A\), (5.8), e l'altezza \(a\), (5.9), del Sole, formule che sappiamo essere funzione della declinazione \(\delta\) e dell'angolo orario \(H\).
Nella figura B.3 ponendo in ascissa l'azimut \(A\) e in ordinata l'altezza \(a\) rappresentiamo quindi ciò che un osservatore (molto paziente!) può rilevare sulla posizione solare nell'arco di un anno.
La linea corrispondente all’azimut nullo indica il mezzogiorno locale e, come è chiaro, il Sole la attraversa in coincidenza con il Sole medio solo in quattro giorni dell’anno: il 15 aprile, il 14 giugno, il 1° settembre e il 25 dicembre. In tutti gli altri giorni il mezzogiorno solare vero differisce da quello locale. In particolare, per valori negativi dell’azimut, cioè quando il Sole si trova ancora a Est, il Sole vero è in ritardo rispetto al Sole fittizio e culmina quindi dopo le 12 locali. Con riferimento all’equazione del tempo \(E\), ciò corrisponde a valori negativi di \(E\) (fig. B.1). Quando invece l’azimut è positivo accade il contrario: il Sole ha già attraversato il meridiano locale e alle \(12\,\hbox{h}\) si trova a Ovest di esso. La figura B.3 riporta le date in corrispondenza delle quali si raggiungono i valori estremi del ritardo e dell’anticipo. Osserviamo inoltre che l’altezza massima si raggiunge al solstizio d’estate, mentre la minima si ha al solstizio d’inverno; tale escursione annuale è dovuta alla variazione della declinazione, causata dall’inclinazione dell’asse terrestre rispetto all’eclittica. (come motivato nell'appendice C, preferiamo in questo contesto utilizzare la convenzione che associa all'azimut valori negativi quando il Sole si trova a Est)
Le proiezioni dell'analemma sulla sfera celeste e nel sistema altazimutale (fig. B.4) chiariscono com'è disposta l'analemma in riferimento al meridiano locale e, appunto, l'ampiezza della sua oscillazione in altezza pari a \(2\epsilon=2\times 23.44^\circ\).
Nella successiva figura B.5 riportiamo in ordinata la declinazione e in ascissa l’equazione del tempo \(E\), che esprime in termini temporali l’angolo orario \(H\), dato che tra le due grandezze vale la relazione \(E=4H\) se \(H\) è espresso in gradi. Come per la convenzione adottata sull’azimut, consideriamo qui \(H\) negativo quando il Sole si trova a Est. Evidenziamo inoltre il verso del ciclo annuale, riportando in colore il primo giorno di ciascun mese. Non indichiamo invece latitudine e longitudine, poiché la rappresentazione dell’analemma nel piano \((E,\delta)\) è indipendente dal luogo dell’osservatore. Come vedremo nella sezione successiva, questa indipendenza viene meno nel sistema altazimutale locale.
Osservando la successione dei mesi appare che il lobo di minor dimensioni ma con declinazioni più elevate viene percorso nei mesi estivi mentre accade il contrario per il lobo inferiore. Per tale motivo, il primo viene indicato come il lobo estivo e l'altro come quello invernale.
Un aspetto dell'analemma è la sua asimmetria rispetto all'asse verticale, asse che rappresenta il mezzogiorno locale. Per comprenderne, almeno a livello intuitivo, l'origine, consideriamo separatamente i contributi all'equazione del tempo \(E\) dovuti all'inclinazione dell'asse terrestre e alla eccentricità dell'orbita intorno al Sole.
Ripresa la (7.9), ciascuno dei due contributi ad \(E\) appare in \eqref{eq:2} entro parentesi quadre: il primo è collegato all'obliquità e dipende dall'anomalia media \(M\) e dalla longitudine media \(l\) nonché dall'obliquità \(\epsilon\) mentre il secondo dalla sola anomalia media e dall'eccentricità.
\[ \eqalign{E &= \left[\tan^2{\epsilon\over 2} \sin(2l) + 4e \tan^2{\epsilon\over 2} \sin M \cos(2l) - {1\over 2}\tan^4{\epsilon\over 2} \sin(4l)\right] +\left[-2e\sin M - {5\over 4} e^2 \sin(2M)\right]\qquad(\hbox{rad})\cr &= E(\hbox{obliquità})+E(\hbox{eccentricità})\cr}\tag{B.2}\label{eq:2} \]Osservando la loro dipendenza dall'obliquità e dalla eccentricità, ne discende evidentemente che se
\[\epsilon=0\quad\Longrightarrow\quad E(\hbox{obliquità})=0,\tag{B.3}\label{eq:3}\]così come
\[e=0\quad\Longrightarrow\quad E(\hbox{eccentricità})=0. \tag{B.4}\label{eq:4}\]Questi due contributi sono entrambi periodici ma con periodicità diverse come appare evidente anche nei rispettivi grafici di figura B.6.
Considerata separatamente, la componente \(E(\hbox{eccentricità})\) ha periodo annuale e il suo grafico interseca l’asse orizzontale in corrispondenza del perielio, attorno al 3-4 gennaio, e dell’afelio, attorno al 5-6 luglio. Se questo fosse l’unico contributo, in tali punti il Sole vero coinciderebbe con quello fittizio. L’ampiezza massima di questa componente è di circa \(7.65'\) ed è rappresentata nella figura B.6 come una debole fascia colorata.
La periodicità di \(E(\hbox{obliquità})\) è invece semestrale e il suo grafico interseca l'asse orizzontale in corrispondenza degli equinozi e solstizi: ciò si giustifica in quanto la variazione della declinazione che avviene tra il solstizio estivo \(\delta_e=+23.44^\circ\) e quello invernale \(\delta_i=-23.44^\circ\) è del tutto simile a quella che avviene nel ciclo successivo dal solstizio invernale a quello estivo. L'entità massima di questa componente è invece pari a circa \(9.87'\) e supera di circa \(2'\) il contributo precedente. Inoltre entrambe le componenti non sono in fase annullandosi, per esempio, in momenti diversi.
Un ulteriore motivo di asimmetria emerge se rappresentiamo la sola componente \(E(\hbox{obliquità})\) nell’ipotesi di eccentricità nulla (\eqref{eq:4}). In tal caso l’orbita terrestre sarebbe circolare e, per le leggi di Keplero, verrebbe percorsa a velocità costante. L’analemma assumerebbe allora la forma mostrata nella figura B.7, caratterizzata da un’evidente simmetria sia rispetto all’asse verticale sia rispetto a quello orizzontale. Per questo motivo la curva possiede una simmetria centrale con centro negli equinozi, dove \(\delta=0^\circ\) ed \(E(\hbox{obliquità})=0\). Il Sole e il Sole fittizio culminerebbero quindi assieme ai solstizi e agli equinozi.
Comunque, poiché in \eqref{eq:2} queste componenti vanno sommate, l'asimmetria dell'analemma nel piano \((E,\delta)\), fig. B.5, deriva
Per completezza, il caso opposto \eqref{eq:3} con \(e=0.0167\), l'ipotetica analemma si ridurrebbe ad un segmento orizzontale in quanto la declinazione solare data dalla (5.2) sarebbe nulla: pertanto nella figura B.7 essa appare come un semplice segmento orizzontale (evidenziato in rosso).
Se rappresentiamo il caso \eqref{eq:4} dove \(e=0\) proiettato sulla sfera celeste in coordinate altazimutali tramite le (5.8) e (5.9)
\[ \cases{A = \arctan\kern-2pt2(\cos \delta \sin H, \sin\phi\cos\delta\cos H- \cos\phi \sin\delta)\cr a = \arcsin(\cos\phi \cos \delta \cos H+ \sin\phi \sin \delta)\cr}\tag{B.5}\label{eq:5}\]otteniamo, alla latitudine \(\phi=45^\circ\) l'immagine di sinistra di figura B.8. Questa mostra ancora una simmetria ma solo rispetto all'asse verticale del mezzogiorno locale.
I due lobi possiedono ora dimensioni diverse e l'altezza del nodo, cui corrisponde \(\delta=0^\circ\), è uguale alla colatitudine (in figura B.8 uguale alla latitudine, ma non nella successiva B.9). Questa ipotetica rappresentazione dipende evidentemente dalla trasformazione \eqref{eq:5} che collega le coordinate equatoriali orarie \((\delta, H)\) a quelle altazimutali \((a,A)\), trasformazione nella quale interviene la latitudine dell'osservatore \(\phi\) e ci permette, ancora una volta, di comprendere l'azione della componente eccentrica mancante nella fig. B.8 di sinistra. La presenza della componente eccentrica comporta un significativo capovolgimento sia nella larghezza in azimut dei due lobi sia nella loro estensione in altezza, pur restando costante l’escursione verticale di \(2\times 23.44^\circ\). La dipendenza dalla velocità orbitale costituisce quindi la causa principale dell’asimmetria anche nella prospettiva altazimutale (dove il nodo non più associato agli equinozi e possiede un'altezza diversa dalla colatitudine).
Riassumiamo visivamente nella parte destra di figura B.9 la dipendenza dell'analemma con le latitudini riportandone la forma assunta alle latitudini comprese tra \(30^\circ\) e \(90^\circ\) Nord con incrementi di \(2^\circ\). A sinistra rappresentiamo invece la sola componente dovuta all'obliquità. Notiamo inoltre come all'aumentare della latitudine il lobo invernale (per l'emisfero Nord!) non sia più visibile nella sua interezza avendo un'altezza negativa: ciò accade in quanto oltre il circolo polare artico sappiamo che vi sono periodi dell'anno nei quali il Sole è permanentemente al di sotto dell'orizzonte.
Finora abbiamo considerato la posizione solare rilevata alle ore \(12\) locali di tempo medio \(LMT\) riferendola, in azimut, al meridiano locale che invece indica il mezzogiorno vero \(AST\). Tuttavia, l'ora civile riportata da un comune orologio dipende da altri fattori come il fuso orario, l'ora legale o l'appartenenza o meno ad una data nazione, fattori legati a convenzioni che influenzano e spostano l'indicazione civile del mezzogiorno. Questo spostamento, se non considerato, si riflette anche nella forma e nella posizione dell'analemma nel sistema altazimutale.
Se quindi ci poniamo alla longitudine di \(15^\circ\,\hbox{Est}\) il nostro orologio segna l'ora del fuso orario dell'Europa Centrale \(\hbox{CET}=\hbox{UTC}+1\) e alle ore \(12\,\hbox{CET}\) potremo rilevare la posizione solare in anticipo o in ritardo nello stesso modo di un osservatore posto al meridiano di Greenwich, seppure un'ora prima. L'analemma quindi in questa situazione è la stessa per entrambi gli osservatori.
Se invece ci poniamo alla longitudine di \(\lambda=15^\circ+7^\circ=22^\circ\,\hbox{Est}\), il nostro orologio segna ancora l'ora del fuso orario dell'Europa Centrale in quanto compreso ancora nell'intervallo di longitudini che lo definisce \([15^\circ-7.5^\circ,15^\circ+7.5^\circ]\) ma alle ore \(12\,\hbox{CET}\) il Sole è in anticipo di \((7^\circ/15^\circ)\,60'=28'\) rispetto al meridiano centrale di \(15^\circ\). L'analemma quindi è spostato verso Ovest rispetto all'effettivo meridiano locale. Se invece ci poniamo alla longitudine di \(\lambda=15^\circ-7^\circ=8^\circ\,\hbox{Est}\), il nostro orologio segna ancora l'ora del fuso orario dell'Europa Centrale ma alle ore \(12\,\hbox{CET}\) il Sole è in ritardo di \(28'\) rispetto al meridiano centrale. L'analemma quindi è spostato verso Est rispetto a quello dell'osservatore.
Questa situazione è riprodotta nella figura B.10: se rileviamo la posizione del Sole alle ore \(12\) del fuso caratterizzato dalla longitudine centrale \(\lambda_{cen}\), l'analemma risulterà spostata verso Ovest se la nostra longitudine soddisfa \(\lambda >\lambda_{cen}\) e verso Est nel caso opposto. Poiché un grado di longitudine corrisponde a 4 minuti, e lo scostamento massimo dell'equazione del tempo è di circa 16.5 minuti, basta una differenza di \(4^\circ\) rispetto al meridiano centrale del fuso perché l'analemma sia tutta verso Ovest o tutta verso Est.
Quanto appena osservato equivale sostanzialmente all'osservazione dell'analemma in tempi diversi dalle canoniche \(12\,\hbox{h}\) del fuso orario di appartenenza. Nella parte sinistra delle figure seguenti, B.11, B.12 e B.13, riportiamo pertanto il risultato del calcolo e la posizione dell'analemma rispetto all'orizzonte e per le latitudini intermedie, per il polo Nord e per l'Equatore: a sinistra i diversi analemmi sono riferiti al piano altazimutale (e quindi la loro forma subisce una distorsione perché proiettati in un piano) mentre alla destra (ne tracciamo solo alcuni ma tutti uguali) appaiono proiettati nella sfera celeste del sistema equatoriale.
Osservando gli analemmi delle ore 6 o delle 18 di fig. B.11 (sia sinistra che destra) e considerando che il loro asse passa per i punti solstiziali possiamo chiederci quale sia l'angolo formato dall'asse meridiano con l'orizzonte.
Dato che l'altezza del polo Nord Celeste sull'orizzonte è pari alla latitudine \(\phi\) dell'osservatore, scegliamo a questo fine nella figura B.14 un punto di vista che giaccia sull'asse Est-Ovest. Appare in tal caso evidente come l'angolo in questione sia uguale alla latitudine del luogo, relazione pure confermata dalle precedenti figure riguardanti analemmi al Polo e all'Equatore.
Rileviamo inoltre come il punto della sfera celeste coinvolto in questa vista prospettica abbia caratteristiche geometriche peculiari in quanto è intersezione di ben tre cerchi massimi: il meridiano equatoriale orario delle ore 6 o delle 18 (in blu nella figura B.14), l'equatore celeste (rosso in figura B.14) per cui il punto possiede declinazione nulla, e l'orizzonte locale.
Poiché comunque, in corrispondenza di queste ore gli analemmi sono parzialmente sotto l'orizzonte, può risultare difficile la loro osservazione diretta per cui l'associazione tra latitudine e angolo dell'asse dell'analemma con l'orizzonte diviene approssimata dovendo fare riferimento ad analemmi ripresi nella loro interezza. Pertanto, come esempio, nella figura B.15 la relazione è soddisfatta solo in forma approssimata.
Nell'appendice A abbiamo affrontato la proiezione stereografica delle posizioni solari su piani disposti orizzontalmente o verticali individuando le linee percorse dall'ombra dell'estremo dello stilo nei diversi giorni dell'anno e, come si è visto, comprese tra quelle estreme dei solstizi. Assieme a queste abbiamo individuato le linee orarie che invece permettono di rilevare l'ora solare vera. In una meridiana quindi, l'ombra dello stilo indica l'ora solare vera \(AST\) per cui, volendo risalire al tempo locale medio \(LMT\) è necessario apportare la correzione rappresentata dall'equazione del tempo \(E\) secondo la relazione già vista \eqref{eq:1} che riscriviamo come
\[ LMT = AST - E. \tag{B.6}\label{eq:6} \]A tale scopo e per ogni giorno dell'anno va associata ad una meridiana una tabella o un grafico, per esempio come quello di figura B.1 (o lo stesso con valori di ordinata opposti) che riporti il valore di \(E\) da sottrarre (o, nel secondo caso, da sommare) all'ora indicata dall'ombra dello stilo per ottenere il tempo locale medio \(LMT\). In alternativa e con scelta più immediata, si può riportare direttamente la proiezione stereografica dell'analemma stesso che, di norma e per ragioni di leggibilità, si associa alla linea oraria del mezzogiorno (fig. B.16).
Nella successiva figura B.17 associamo a ciascuna linea oraria, con proiezione stereografica su un piano orizzontale, il rispettivo analemma. Analogamente la figura B.18 riporta la proiezione di analemmi su un piano verticale leggermente inclinato verso Est.
Per facilitarne l'interpretazione, nella figura B.19 riportiamo due proiezioni molto prossime; nell'immagine di destra evidenziamo i giorni di inizio mese.
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Sulla base dell'immagine alla destra della figura B.19 coloriamo in arancio i mesi nei quali il Sole è in ritardo rispetto al tempo medio locale, e quindi si trova a Est del meridiano locale mentre la sua proiezione cade sul lato Ovest della linea oraria del mezzogiorno; in giallo coloriamo invece i mesi nei quali il Sole è in anticipo. Per esempio, se apparteniamo al meridiano centrale del fuso orario e l'ombra dello stilo il 1° novembre segna il mezzogiorno, dalla \eqref{eq:6} dovremo sottrarre circa \(16.5'\) per ottenere il tempo locale \(LMT\). Viceversa, il 1° agosto, se l'ombra dello stilo segna il mezzogiorno, dovremo sommare circa \(6.4'\) (fig. B.19).
Nel caso invece la longitudine locale \(\lambda_{loc}\) differisca da quella centrale del fuso \(\lambda_{cen}\) si dovrà aggiungere un'ulteriore correzione legata alle diverse longitudini. Infatti la differenza in longitudine tra due luoghi si può riportare all'intervallo di tempo che, per esempio, separa la culminazione del Sole nei due luoghi. La semplice relazione è
\[\Delta T=\left({\lambda-\lambda_{cen}\over 15^\circ}\right)60'\qquad (\hbox{min}) \tag{B.7}\label{eq:7}\]e questa fornisce valori positivi se \(\lambda>\lambda_{cen}\) cioè per luoghi ad Est del meridiano di riferimento, negativa invece ad Ovest. L'equazione \eqref{eq:6} va di conseguenza integrata dalla \[LMT+\Delta T = AST - E \tag{B.8}\label{eq:8}\]
per cui
\[LMT = AST - E - \Delta T. \tag{B.9}\label{eq:9}\]In pratica, per una longitudine \(\lambda_{loc}=11.5^\circ\) che si trova ad Ovest del meridiano centrale del fuso e quindi di longitudine \(\lambda_{cen}=15^\circ\), la differenza di longitudine risulta \(\Delta \lambda=\lambda-\lambda_{cen}=-3.5^\circ\) e la correzione \eqref{eq:7} da apportare all'equazione del tempo è \(\Delta T=-14'\). Pertanto, se l'ombra dello stilo il primo di novembre segna il mezzogiorno, per ottenere il tempo locale \(LMT\) dovremo sottrarre all'equazione del tempo \(E\) anche questa ulteriore correzione negativa. In tal caso a completamento delle precedenti osservazioni, il primo di novembre l'equazione del tempo vale circa \(E=16.5'\) (fig. B.1) e quindi dalla \eqref{eq:9}
\[ LMT = 12\,\hbox{h} - 16.5' - (-14') = 11\,\hbox{h}\,57'\,30''.\tag{B.10}\label{eq:10}\]Lo stesso calcolo, per la stessa località e per il primo di agosto, fornisce per \(LMT\) il valore \[LMT = 12\,\hbox{h}+6.4'-(-14')=12\,\hbox{h}\,20'\,24''.\tag{B.11}\label{eq:11}\]
Poiché questa integrazione alla relazione tra \(AST\) e \(LMT\) dipende evidentemente dalla differenza in longitudine con il meridiano di riferimento del fuso, è possibile predisporre meridiane che tengano conto di tale contributo e quindi ridurre la necessaria correzione al tempo vero, alla sola equazione del tempo \(E\). Queste ultime, a differenza dei quadranti su pareti verticali nei quali la linea oraria del mezzogiorno vero è sempre verticale, presentano invece una linea oraria del mezzogiorno inclinata.