Definiti i principali sistemi di coordinate celesti dovremo determinare i legami reciproci in modo da esprimere il vettore di un dato oggetto celeste per esempio un pianeta, e riportarlo al sistema più funzionale agli scopi dell'osservatore. Come già visto nel primo capitolo a riguardo delle rotazioni nel piano, si tratta quindi di individuare la trasformazione che collega i vettori di base di coppie di sistemi e ciò si può realizzare con un'opportuna successione di rotazioni nello spazio tridimensionale. Questa successione consiste di rotazioni attorno agli assi coordinati cartesiani che gradualmente portano la terna del sistema di partenza a sovrapporsi alla terna di arrivo.
A seconda dell'asse attorno al quale avviene la rotazione, queste assumono la forma analitica introdotta in precedenza nelle (1.11), (1.10), (1.9). Pertanto, se \(\theta\) è l'angolo di rotazione, in corrispondenza di ognuno dei tre assi \(x\), \(y\) e \(z\), le matrici sono
\[ R_x(\theta)=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\cr 0& \cos\theta & \sin\theta \cr 0& -\sin\theta & \cos\theta\cr \end{pmatrix}\!, \qquad R_y(\theta)=\begin{pmatrix} \cos\theta & 0 & -\sin\theta \cr 0 & 1 & 0\cr \sin\theta & 0 & \cos\theta\cr \end{pmatrix}\!, \qquad R_z(\theta)=\begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta& 0 \cr -\sin\theta & \cos\theta& 0\cr 0 & 0 & 1\cr \end{pmatrix}\!. \tag{2.1}\label{eq:2.1} \]Procedendo in termini generali, partiamo dal sistema di base (il "vecchio" sistema) costituito dalla terna destrorsa \(\mathbf{i}\), \(\mathbf{j}\), \(\mathbf{k}\), (fig. 2.1), e intendiamo gradualmente trasformarlo così da giungere al sistema finale (il "nuovo" sistema) con terna di base \(\mathbf{i}_3\), \(\mathbf{j}_3\), \(\mathbf{k}_3\) pure destrorsa con l'origine \(O\) coincidente con quella del sistema iniziale.
Se \(A\)-\(A'\) è la linea di intersezione dei piani definiti dalle coppie \(O\,\mathbf{i}\mathbf{j}\) e da \(O\,\mathbf{i}_3\mathbf{j}_3\) (detta pure in questo contesto matematico, linea dei nodi), possiamo procedere con la prima rotazione ruotando il primo sistema attorno al versore \(\mathbf{k}\) in modo da trasportare \(\mathbf{i}\) sulla linea di intersezione comune \(OA\): sia \(\alpha\) quest'angolo.
La prima rotazione è quindi descritta dalla matrice di rotazione
\[ R_z(\alpha)=\begin{pmatrix} \cos\alpha & \sin\alpha& 0 \cr -\sin\alpha & \cos\alpha& 0\cr 0 & 0 & 1\cr \end{pmatrix}\tag{2.2}\label{eq:2.2} \]La coppia di immagini di figura 2.2 presenta, come nelle successive, la situazione iniziale a sinistra e quella finale a destra, quest'ultima con i versori iniziali riportati a tratteggio. Eseguita la rotazione, la nuova terna è ora rappresentata dai versori \(O\,\mathbf{i}_1\mathbf{j}_1\mathbf{k}_1\).
Nella successiva figura 2.3 (sinistra) riportiamo il sistema ortogonale \(O\,\mathbf{i}_1\mathbf{j}_1\mathbf{k}_1\) assieme al solo versore "obiettivo" \(\mathbf{k}_3\) della terna finale e osserviamo come sia possibile ruotare \(\mathbf{k}_1\) su \(\mathbf{k}_3\) avendo come asse il versore \(\mathbf{i}_1\). La seconda rotazione, di angolo \(\beta\), avviene quindi attorno al primo asse cosicché la matrice di rotazione è data dalla prima delle \eqref{eq:2.1}
\[ R_x(\beta)=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\cr 0& \cos\beta & \sin\beta \cr 0& -\sin\beta & \cos\beta\cr \end{pmatrix}.\tag{2.3}\label{eq:2.3} \]
Disponiamo ora della terna \(O\,\mathbf{i}_2\mathbf{j}_2\mathbf{k}_2\) e aggiungiamo in figura 2.4 (sinistra) il versore "obiettivo" \(\mathbf{i}_3\) che può essere raggiunto con una rotazione attorno al versore \(\mathbf{k}_2=\mathbf{k}_3\). Se \(\gamma\) è l'angolo tra i versori \(\mathbf{i}_2\) e \(\mathbf{i}_3\) la matrice di rotazione è
\[ R_z(\gamma)=\begin{pmatrix} \cos\gamma & \sin\gamma& 0 \cr -\sin\gamma & \cos\gamma& 0\cr 0 & 0 & 1\cr \end{pmatrix}\tag{2.4}\label{eq:2.4} \]
dopo la quale abbiamo raggiunto la terna finale \(O\,\mathbf{i}_3\mathbf{j}_3\mathbf{k}_3\) (figura 2.4 destra). Nella successiva figura 2.5, onde rendere più esplicite le trasformazioni effettuate, riportiamo solo le terne iniziale e finale dei due sistemi e gli angoli in colore come visti da due punti di vista diversi.
Ciascuna delle tre rotazioni collega un primo versore con il secondo seguendo il verso antiorario per come visto dal versore che funge da asse e per questo motivo i tre angoli vanno intesi con segno positivo. La sequenza seguita comunque, pur non essendo l'unica possibile, è sufficiente per trasformare un sistema iniziale in un sistema finale.
Come esposto nell'esempio iniziale (1.6) del primo capitolo, siamo comunque interessati ad ottenere le componenti di un vettore nel sistema finale in termini delle componenti del medesimo vettore nel sistema iniziale. Se quindi un generico vettore del primo sistema è descritto come
\[ \mathbf{r}=x\,\mathbf{i}+y\,\mathbf{j}+z\,\mathbf{k}\tag{2.5}\label{eq:2.5} \]mentre in funzione dei versori del secondo sistema è rappresentato come
\[ \mathbf{r}=X\,\mathbf{i}_3+Y\,\mathbf{j}_3+Z\,\mathbf{k}_3\tag{2.6}\label{eq:2.6} \]il passaggio dal primo \eqref{eq:2.5}, al secondo sistema \eqref{eq:2.6}, si ottiene eseguendo in successione le tre rotazioni e ciò si traduce in termini matriciali nel prodotto
\[ \begin{pmatrix} X \cr Y \cr Z \cr \end{pmatrix}=R_z(\gamma)R_x(\beta)R_z(\alpha)\!\begin{pmatrix} x \cr y \cr z \cr \end{pmatrix}\tag{2.7}\label{eq:2.7} \]dove, sul vettore \((x,y,z)\), opera prima \(R_z(\alpha)\) quindi, su quanto ottenuto, \(R_x(\beta)\) e infine \(R_z(\gamma)\). Posto
\[ R_{zxz}(\alpha,\beta,\gamma)=R_z(\gamma)R_x(\beta)R_z(\alpha),\tag{2.8}\label{eq:2.8} \]l'esecuzione del prodotto delle tre matrici dà come risultato la matrice
\[ \bbox[border:1px solid red,15px,#ffffcc]{ R_{zxz}(\alpha,\beta,\gamma)=\begin{pmatrix} \cos\alpha\cos\gamma-\sin\alpha\cos\beta\sin\gamma & \sin\alpha\cos\gamma+\cos\alpha\cos\beta\sin\gamma & \sin\beta\sin\gamma \cr -\cos\alpha\sin\gamma-\sin\alpha\cos\beta\cos\gamma & -\sin\alpha\sin\gamma+\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma & \sin\beta\cos\gamma \cr \sin\alpha\sin\beta & -\cos\alpha\sin\beta & \cos\beta \cr \end{pmatrix}\tag{2.9}\label{eq:2.9} } \]per cui potremo riscrivere la \eqref{eq:2.7} come
\[ \bbox[border:1px solid red,15px,#ffffcc]{ \begin{pmatrix} X \cr Y \cr Z \cr \end{pmatrix}\!= R_{zxz}(\alpha,\beta,\gamma)\begin{pmatrix} x \cr y \cr z \cr \end{pmatrix}\tag{2.10}\label{eq:2.10} } \]La matrice \(R_{zxz}(\alpha,\beta,\gamma)\) è detta matrice di rotazione di Eulero e gli angoli da cui dipende sono gli angoli di Eulero. Tramite questa il problema di collegare le componenti di un vettore tra sistemi diversi viene ridotto al calcolo dei suoi nove termini.
Nel caso si intenda ricercare la relazione inversa, osserviamo che la matrice di Eulero, così come le matrici che la compongono, è ortogonale per cui il prodotto con la trasposta è la matrice unità \(I\). Quindi, se \(R\) è una matrice di rotazione, vale la relazione \(R^TR=R\,R^T=I\) dove \(R^T\) indica la trasposta della matrice \(R\).
Pertanto, se moltiplichiamo a sinistra la \eqref{eq:2.10} discende
\[ R^T\begin{pmatrix} X \cr Y \cr Z \cr \end{pmatrix}= R^TR\begin{pmatrix} x \cr y \cr z \cr \end{pmatrix} \qquad\Longrightarrow\qquad R^T\begin{pmatrix} X \cr Y \cr Z \cr \end{pmatrix}= I\begin{pmatrix} x \cr y \cr z \cr \end{pmatrix}\!, \tag{2.11}\label{eq:2.11} \]e la relazione inversa della \eqref{eq:2.10} è
\[ \begin{pmatrix} x \cr y \cr z \cr \end{pmatrix}=\Bigl[R_z(\gamma)R_x(\beta)R_z(\alpha)\Bigr]^T\!\begin{pmatrix} X \cr Y \cr Z \cr \end{pmatrix} \qquad\Longrightarrow\qquad \begin{pmatrix} x \cr y \cr z \cr \end{pmatrix}=R_z^T(\alpha)R_x^T(\beta)R_z^T(\gamma)\!\begin{pmatrix} X \cr Y \cr Z \cr \end{pmatrix} \tag{2.12}\label{eq:2.12} \]dove si è applicata la proprietà matriciale \((AB)^T=B^TA^T\). Poiché per ogni angolo vale pure \(R^T(\theta)=R(-\theta)\) ossia la trasposta di una matrice di rotazione di angolo \(\theta\) è uguale alla matrice di rotazione con angolo \(-\theta\), possiamo concludere con la formula inversa cercata
\[ \bbox[border:1px solid red,15px,#ffffcc]{ \begin{pmatrix} x \cr y \cr z \cr \end{pmatrix}=R_z(-\alpha)R_x(-\beta)R_z(-\gamma)\begin{pmatrix} X \cr Y \cr Z \cr \end{pmatrix}\!.} \tag{2.13}\label{eq:2.13} \]Nei prossimi capitoli sarà necessario passare da un sistema di riferimento ad un altro così da poter esprimere il vettore che identifica un certo astro nel sistema più prossimo all'osservatore. Sebbene queste trasformazioni riguardino prevalentemente grandezze angolari, i sistemi cartesiani e relative terne di base si dimostrano i più adatti allo scopo. Individuata la trasformazione in termini cartesiani diventa poi immediato con le relazioni sviluppate nel primo capitolo, il passaggio alle coordinate polari.
Come esposto nella precedente sezione, per determinare il legame tra le componenti di un vettore espresso in un dato sistema cartesiano con le componenti del medesimo vettore espresse in un secondo sistema è necessario conoscere la trasformazione che lega i vettori di base di ciascun sistema.
Consideriamo quindi un osservatore disposto nel punto \(Q\) della superficie terrestre, con coordinate geografiche date dalla latitudine \(\phi\) e longitudine \(\lambda\) e con gli assi cartesiani del suo sistema locale \(XYZ\) definiti dai versori di base \(\mathbf{x}_Q\), \(\mathbf{y}_Q\) e \(\mathbf{z}_Q\). Come si può rilevare dalla figura 2.6 (sinistra) seguiamo la convenzione (riportata pure a sinistra in figura 1.8) che associa la direzione positiva del primo asse verso il Sud, il secondo verso Ovest mentre il terzo coincide con la verticale locale rivolta verso lo Zenit. Ricordiamo inoltre che una tale terna è sinistrorsa.
I vettori di base del sistema orario (geocentrico) sono invece definiti concordemente all'asse di rotazione terrestre tramite il versore \(\mathbf{k}\) rivolto al Nord geografico, dal versore \(\mathbf{i}\) orientato verso Sud mentre \(\mathbf{j}\) completa la terna, anch'essa sinistrorsa, e punta ad Ovest (fig. 1.10). Entrambi questi sistemi partecipano alla rotazione terrestre per cui il vettore \(\mathbf{OQ}\) che collega il centro della Terra \(O\) con l'osservatore \(Q\) (fig. 2.6) è un vettore che ruota attorno all'asse terrestre mentre mantiene costante il suo modulo.
Tra i vettori di base di entrambi i sistemi emerge il parallelismo tra il versore \(\mathbf{j}\) con \(\mathbf{y}_Q\): inoltre osserviamo come sia possibile riportare la terna del sistema equatoriale orario sulla corrispondente del sistema altazimutale con un'unica rotazione attorno a \(\mathbf{j}\). Pertanto, indicati con \(x\), \(y\) e \(z\) gli assi del sistema orario (iniziale) e con riferimento alla matrice di rotazione (1.10) oppure la seconda delle \eqref{eq:2.1}, applichiamo la rotazione \(R_y(90^\circ-\phi)\) attorno a \(y\) con angolo \((90°-\phi)\) in quanto antioraria se vista da \(-\mathbf{j}\) (ricordiamo che la terna \(\mathbf{i}\),\(\mathbf{j}\),\(\mathbf{k}\) è sinistrorsa). In tal modo la nuova terna è formata dai versori \(\mathbf{i}_1\), \(\mathbf{j}_1=\mathbf{j}\) e \(\mathbf{k}_1\) (fig. 2.6 destra) tutti rispettivamente paralleli a \(\mathbf{x}_Q\), \(\mathbf{y}_Q\) e \(\mathbf{z}_Q\). La matrice di rotazione è in questo caso
\[ R_y(90°-\phi)=\begin{pmatrix} \cos(90°-\phi) &0& -\sin(90°-\phi) \cr 0&1&0\cr \sin(90°-\phi) & 0& \cos(90°-\phi)\cr \end{pmatrix}\tag{2.14}\label{eq:2.14} \]e, in quanto \(\cos(90°-\phi)=\sin\phi\) e \(\sin(90°-\phi)=\cos\phi\), si semplifica in
\[ R_y(90°-\phi)=\begin{pmatrix} \sin\phi & 0& -\cos\phi \cr 0&1&0\cr \cos\phi &0& \sin\phi\cr \end{pmatrix}\!.\tag{2.15}\label{eq:2.15} \]La traslazione di vettore \(\mathbf{OQ}=x_0\,\mathbf{i}+y_0\,\mathbf{j}+z_0\,\mathbf{k}\) di modulo pari al raggio terrestre \(|\mathbf{OQ}|=r_T\) (fig. 2.6 destra), porta alla coincidenza delle origini \(O\) e \(Q\) delle due terne cosicché, se \(\mathbf{OP}=x\,\mathbf{i}+y\,\mathbf{j}+z\,\mathbf{k}\) è un vettore che identifica un qualsiasi oggetto celeste nel sistema equatoriale orario, le componenti \(\mathbf{QP}=(X)\mathbf{x}_Q+(Y)\mathbf{y}_Q+(Z)\mathbf{z}_Q\) dello stesso nel sistema altazimutale sono date dal prodotto tra il vettore
\[\mathbf{QP}=\mathbf{OP}-\mathbf{OQ}=(x-x_0)\,\mathbf{i}+(y-y_0)\,\mathbf{j}+(z-z_0)\,\mathbf{k} \tag{2.16}\label{eq:2.16} \]e la matrice di rotazione \eqref{eq:2.15}
\[ \begin{pmatrix}X\cr Y\cr Z\cr\end{pmatrix} = R_y(90°-\phi) \begin{pmatrix}x-x_0\cr y-y_0\cr z-z_0\cr\end{pmatrix} \qquad\Longrightarrow\qquad \begin{pmatrix}X\cr Y\cr Z\cr\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sin\phi & 0& -\cos\phi \cr 0&1&0\cr \cos\phi &0& \sin\phi\cr \end{pmatrix}\! \begin{pmatrix}x-x_0\cr y-y_0\cr z-z_0\cr\end{pmatrix}.\tag{2.17}\label{eq:2.17} \]Poiché l'effetto di parallasse sarà nei limiti di questo lavoro, trascurabile, la relazione tra le coordinate che utilizzeremo sarà invece
\[ \bbox[border:1px solid red,15px,#ffffcc]{\begin{pmatrix}X\cr Y\cr Z\cr\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sin\phi & 0& -\cos\phi \cr 0&1&0\cr \cos\phi &0& \sin\phi\cr \end{pmatrix}\! \begin{pmatrix}x\cr y\cr z\cr\end{pmatrix}} \tag{2.18}\label{eq:2.18} \]e ciò equivale a porre l'osservatore al centro della Terra modificando il sistema altazimutale da topocentrico a geocentrico.
Non ci rimane che sostituire alle componenti cartesiane le rispettive componenti polari date dalle (1.22) e (1.20)
\[ \begin{pmatrix}\cos a\cos A\cr \cos a\sin A\cr \sin a\cr\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \sin\phi & 0& -\cos\phi \cr 0&1&0\cr \cos\phi &0& \sin\phi\cr \end{pmatrix} \!\begin{pmatrix}\cos\delta\cos H\cr \cos\delta\sin H\cr \sin\delta\cr\end{pmatrix} \tag{2.19}\label{eq:2.19} \]da cui le relazioni esplicite finali
\[ \bbox[border:1px solid red,15px,#ffffcc]{ \cases{\eqalign{ \cos a \cos A &= \sin\phi\cos\delta\cos H- \cos\phi \sin\delta\cr \cos a \sin A &= \cos \delta \sin H\cr \sin a &=\cos\phi \cos \delta \cos H+ \sin\phi \sin \delta\cr }}\tag{2.20}\label{eq:2.20} } \]Nel caso invece si intenda il passaggio inverso ossia dall'altazimutale al sistema equatoriale orario (TAA → GOE), come discusso in generale sulla matrice di Eulero, va invertita la rotazione \eqref{eq:2.14} applicando la rotazione \(R_Y(\phi-90°)\) attorno all'asse \(Y\) del versore \(\mathbf{y}_Q\). In termini matriciali otteniamo
\[ \begin{pmatrix}\cos\delta\cos H\cr \cos\delta\sin H\cr \sin\delta\cr\end{pmatrix}= R_Y(\phi-90°) \begin{pmatrix}\cos a\cos A\cr \cos a\sin A\cr \sin a\cr\end{pmatrix} \qquad\Longrightarrow\qquad \begin{pmatrix}\cos\delta\cos H\cr \cos\delta\sin H\cr \sin\delta\cr\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \sin\phi & 0& \cos\phi \cr 0&1&0\cr -\cos\phi &0& \sin\phi\cr \end{pmatrix}\!\begin{pmatrix}\cos a\cos A\cr \cos a\sin A\cr \sin a\cr\end{pmatrix} \tag{2.21}\label{eq:2.21} \]da cui le relazioni esplicite inverse
\[ \bbox[border:1px solid red,15px,#ffffcc]{ \cases{\eqalign{ \cos\delta \cos H &= \sin\phi \cos a \cos A + \cos\phi \sin a\cr \cos\delta \sin H &= \cos a \sin A\cr \sin\delta &= -\cos\phi \cos a \cos A + \sin\phi \sin a\cr }}\tag{2.22}\label{eq:2.22} } \]Per determinare la trasformazione che collega le coordinate eclittiche (1.25), longitudine \(\lambda\) e latitudine celeste \(\beta\) con quelle equatoriali declinazione \(\delta\) e ascensione retta \(\alpha\) (1.21), riportiamo nella figura 2.7 i vettori di base di entrambi i sistemi con l'origine comune \(O\) coincidente con il centro della Terra (e in tal modo riuniamo le figure 1.9 e 1.15). Entrambi i sistemi condividono la linea degli equinozi \(\gamma\)-\(\gamma'\) con il primo versore di ciascuno diretto verso il punto \(\gamma\) mentre il piano equatoriale e quello dell'eclittica formano un angolo pari all'obliquità \(\epsilon\).
Il legame tra le due terne si riduce quindi ad una rotazione oraria, \(-\epsilon\), attorno al primo versore \(\mathbf{i}=\mathbf{i}_1\) che trasporta i versori \(\mathbf{j}_1\) e \(\mathbf{k}_1\), rispettivamente su \(\mathbf{j}\) e \(\mathbf{k}\) (fig. 2.7). Ripresa la matrice di rotazione (1.11), le componenti di un vettore posizione \((x,y,z)\) nel sistema eclittico, sono collegate a quelle nel sistema equatoriale \((X,Y,Z)\) dal prodotto
\[ \begin{pmatrix}X \cr Y\cr Z\end{pmatrix}= R_x(-\epsilon)\!\begin{pmatrix}x\cr y\cr z\end{pmatrix} \qquad\Longrightarrow\qquad \begin{pmatrix}X \cr Y\cr Z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\cr 0& \cos(-\epsilon) & \sin(-\epsilon) \cr 0& -\sin(-\epsilon) & \cos(-\epsilon)\cr \end{pmatrix}\!\!\begin{pmatrix}x\cr y\cr z\end{pmatrix}\tag{2.23}\label{eq:2.23} \]e quindi
\[ \begin{pmatrix}X \cr Y\cr Z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\cr 0& \cos\epsilon & -\sin\epsilon \cr 0& \sin\epsilon & \cos\epsilon\cr \end{pmatrix}\!\!\begin{pmatrix} x\cr y\cr z\end{pmatrix}\!.\tag{2.24}\label{eq:2.24} \]Sostituendo alle componenti cartesiane le rispettive polari date dalle (1.21) e (1.25), otteniamo
\[ \begin{pmatrix}\cos\delta\cos\alpha\cr \cos\delta\sin\alpha\cr \sin\delta\cr\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\cr 0& \cos\epsilon & -\sin\epsilon \cr 0& \sin\epsilon & \cos\epsilon\cr \end{pmatrix}\! \begin{pmatrix}\cos\beta\cos\lambda\cr \cos\beta\sin\lambda\cr \sin\beta\cr\end{pmatrix} \tag{2.25}\label{eq:2.25} \]ed eseguendo il prodotto matriciale discende
\[ \bbox[border:1px solid red,15px,#ffffcc]{ \cases{\eqalign{ \cos\delta \cos\alpha &= \cos\beta \cos\lambda\cr \cos\delta \sin\alpha &= \cos\epsilon \cos\beta \sin\lambda - \sin\epsilon \sin\beta\cr \sin\delta &= \sin\epsilon \cos\beta \sin\lambda + \cos\epsilon \sin\beta.\cr }}\tag{2.26}\label{eq:2.26} } \]Per la trasformazione inversa, dall'equatoriale all'eclittico, GEQ → GEC è sufficiente invertire la rotazione utilizzando la matrice \(R_X(\epsilon)\) sostituendo le componenti cartesiane con le rispettive forme polari
\[ \begin{pmatrix}x \cr y\cr z\end{pmatrix}= R_X(\epsilon)\!\begin{pmatrix}X\cr Y\cr Z\end{pmatrix} \qquad\Longrightarrow\qquad \begin{pmatrix}\cos\beta\cos\lambda\cr \cos\beta\sin\lambda\cr \sin\beta\cr\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\cr 0& \cos\epsilon & \sin\epsilon \cr 0& -\sin\epsilon & \cos\epsilon\cr \end{pmatrix}\!\!\begin{pmatrix}\cos\delta\cos\alpha\cr \cos\delta\sin\alpha\cr \sin\delta\cr\end{pmatrix}.\tag{2.27}\label{eq:2.27} \]ed eseguendo il prodotto giungiamo alle relazioni esplicite inverse
\[ \bbox[border:1px solid red,15px,#ffffcc]{ \cases{\eqalign{ \cos\beta \cos\lambda &= \cos\delta\cos\alpha\cr \cos\beta \sin\lambda &= \cos\epsilon \cos\delta \sin\alpha + \sin\epsilon \sin\delta\cr \sin\beta &= -\sin\epsilon \cos\delta \sin\alpha + \cos\epsilon \sin\delta\cr }}\tag{2.28}\label{eq:2.28} } \]I due sistemi eclittici, eliocentrico EEC e geocentrico GEC, sono rappresentati nella figura 2.8 e condividono gli stessi versori di base, \(\mathbf{i}\) orientato verso il punto \(\gamma\), \(\mathbf{k}\) orientato al polo Nord eclittico e \(\mathbf{j}\) che garantisce una terna destrorsa. Differiscono invece soltanto nella posizione dell'origine. Il primo ha origine nel centro del Sole \(E\), invece il secondo sistema ha origine nel centro della Terra \(G\). Inoltre in entrambi i sistemi, i versori \(\mathbf{i}\) e \(\mathbf{j}\) definiscono lo stesso piano, il piano dell'eclittica per cui la trasformazione che li collega si riduce ad una traslazione.
Se quindi il vettore \(\mathbf{R}_{ST}\) è il vettore con origine nel Sole che individua l'origine del sistema geocentrico, allora il vettore posizione di un astro \(P\) nel sistema eliocentrico \(\mathbf{r}_{E}\) sarà dato da
\[ \mathbf{r}_{E}=\mathbf{R}_{ST}+\mathbf{r}_{G}\tag{2.29}\label{eq:2.29} \]dove \(\mathbf{r}_{G}\) è il vettore posizione di \(P\) nel sistema geocentrico (fig. 2.8).
Senza trarre da questa relazione espressioni valide per qualsiasi oggetto celeste, limitiamoci a considerare innanzitutto la Terra come rilevata dal sistema eliocentrico. In tal caso dalla precedente discende
\[ \mathbf{r}_{E}=\mathbf{R}_{ST}+\mathbf{0}=\mathbf{R}_{ST}\tag{2.30}\label{eq:2.30} \]in quanto la Terra, origine nel suo sistema, possiede componenti nulle. Dalla medesima relazione \eqref{eq:2.29} e considerando il Sole come l'oggetto osservato dalla Terra deriviamo
\[ \mathbf{0}=\mathbf{R}_{ST}+\mathbf{r}_{G}\qquad\Longrightarrow\qquad \mathbf{r}_{G}=-\mathbf{R}_{ST}\tag{2.31}\label{eq:2.31} \]ossia, com'è naturale, il vettore posizione del Sole nel sistema geocentrico è opposto al vettore che collega il Sole con la Terra nel sistema eliocentrico (fig. 2.9). Sostituendo la \eqref{eq:2.30} nella \eqref{eq:2.31} ossia eliminando \(\mathbf{R}_{ST}\), otteniamo la relazione che collega \(\mathbf{r}_{G}\) con \(\mathbf{r}_{E}\)
\[ \mathbf{r}_{G}=-\mathbf{r}_{E}\tag{2.32}\label{eq:2.32} \]e che in termini di componenti cartesiane si traduce nella
\[ \begin{pmatrix} x_G\cr y_G\cr 0\cr\end{pmatrix}= -\begin{pmatrix} x_E\cr y_E\cr 0\cr\end{pmatrix} \tag{2.33}\label{eq:2.33} \]dove la terza coordinata è nulla in quanto entrambi i vettori giacciono nel piano dell'eclittica. Ripresa dalle (1.25) e (1.26) la forma polare e considerato che, per lo stesso motivo sopra, la latitudine eclittica \(\beta\) è nulla in entrambi i sistemi (\(\cos0^\circ=1,\,\sin0^\circ=0\)), ne segue che, con la simbologia di questa sezione, la \eqref{eq:2.33} diviene
\[ \begin{pmatrix} \cos\lambda_G\cr \sin\lambda_G\cr 0\cr\end{pmatrix}= -\begin{pmatrix} \cos\lambda_E\cr \sin\lambda_E\cr 0\cr\end{pmatrix} \qquad\hbox{da cui il sistema}\qquad \cases{\cos\lambda_G=-\cos\lambda_E\cr \sin\lambda_G=-\sin\lambda_E,\cr} \tag{2.34}\label{eq:2.34} \]evidentemente risolto dalla relazione tra le longitudini
\[\bbox[border:1px solid red,15px,#ffffcc]{ \lambda_G=\lambda_E+180°.\tag{2.35}\label{eq:2.35} } \]Nella figura 2.9 rappresentiamo graficamente la relazione tra le longitudini nel sistema eclittico eliocentrico EEC (sinistra) e quello geocentrico GEC (destra).
