Il modello geometrico del moto apparente del Sole permette di ricavare, con semplici osservazioni, importanti relazioni già ottenute passando da un sistema di coordinate a un altro ma, soprattutto, si affianca ad esse fornendo loro una chiara base intuitiva. Nell'appendice A utilizzeremo questo modello per dedurre interessanti conseguenze pratiche del moto solare mentre in questa sezione intendiamo riottenere alcune relazioni matematiche già dedotte in termini generali o proporre loro approssimazioni.
Iniziamo quindi mostrando come il Sole nel suo cammino apparente lungo l'eclittica occupi posizioni diverse a seconda del giorno dell'anno e, in particolare, quando la sua declinazione sia massima \(|\delta=23.44^\circ|\) o quando sia nulla. Scelta quindi una linea di vista coincidente con la direzione Est-Ovest, nella figura 6.1 riportiamo il percorso solare nei giorni dei solstizi d'inverno e d'estate e in quelli, intermedi, degli equinozi e per una latitudine \(\phi=55^\circ\).
Se ora ci poniamo sul piano dell'orizzonte e con direzione Est-Ovest perpendicolare al meridiano locale la stessa immagine assume la forma piana di figura 6.2 dove sono evidenziati gli angoli delle declinazioni invernale ed estiva e la latitudine scelta.
In corrispondenza di un generico valore della declinazione e della latitudine (nella figura 6.3 entrambi positivi), osserviamo che:
Da queste segue che
\[OH = OA \cos(90^\circ - \delta) = \sin\delta,\qquad AH= OA\sin(90^\circ -\delta)=\cos\delta\tag{6.1}\label{eq:6.1} \]così come
\[ HB = OH \tan\phi\qquad\Longrightarrow\qquad HB= {\sin\delta\tan\phi}.\tag{6.2}\label{eq:6.2} \]Con riferimento alla figura 6.3, nel suo moto apparente il Sole sorge in \(B\), culmina in \(A\) e quindi tramonta in \(C\), punto che prospetticamente coincide nella figura con \(B\). La circonferenza che percorre sulla sfera celeste ha raggio \(AH\) e il suo centro \(H\) appartiene all'asse celeste. Se quindi osserviamo questa circonferenza come vista dal polo Nord celeste, essa è composta da due archi, uno sopra l'orizzonte locale corrispondente al dì e l'altro, al di sotto, che rappresenta la notte (fig. 6.4).
Poiché \(HB\) in figura 6.3 coincide prospetticamente con la lunghezza del cateto \(HD\) del triangolo \(H\!BD\) di fig. 6.4 e inoltre \(HB=AH\) (fig. 6.4), il coseno dell'angolo \(\alpha=\angle (DHB)\) risulta
\[ \cos\alpha = \left({HD\over{HB}}\right)_{\hbox{fig.6.4}} \qquad\Longrightarrow\qquad \cos\alpha = \left({HB\over AH}\right)_{\hbox{fig.6.3}}\tag{6.3}\label{eq:6.3} \]cosicché, per \eqref{eq:6.2} e \eqref{eq:6.1} deduciamo che
\[\cos\alpha = {HB\over AH}={\sin\delta\tan\phi\over \cos\delta}= \tan\phi \tan\delta\tag{6.4}\label{eq:6.4} \]da cui
\[\alpha=\arccos(\tan\phi \tan\delta).\tag{6.5}\label{eq:6.5} \]L'angolo percorso dal Sole nell'arco di tempo tra il sorgere e il tramonto è quindi
\[\hbox{angolo percorso} = 2\pi - 2\alpha =2(\pi-\alpha) = 2 \left[\pi-\arccos(\tan\phi \tan\delta)\right]\qquad\hbox{(rad)}\tag{6.6}\label{eq:6.6} \]Se ora, aggiungiamo l'ipotesi, finora lasciata implicita nel modello, che il moto del Sole avvenga con velocità costante (ma sappiamo che ciò è solo una approssimazione) e, di conseguenza, riportiamo l'unità dei radianti all'unità delle ore, otteniamo la durata del dì in termini della latitudine e della declinazione
\[\hbox{Durata del dì} = {24\over 2\pi} \times 2\left[\pi-\arccos(\tan\phi \tan\delta)\right] = {24\over\pi}\!\left[\pi-\arccos(\tan\phi \tan\delta)\right]\quad\hbox{(h).}\tag{6.7}\label{eq:6.7} \]Questo risultato, a prescindere dal fenomeno della rifrazione, coincide con l'angolo orario \(2H_T\) dato dalla (5.12) dedotto invece sfruttando le relazioni tra le coordinate di due diversi sistemi di riferimento.
La relativa facilità con cui abbiamo ottenuto l'espressione \eqref{eq:6.7} suggerisce di fornire una stima della declinazione così da non dover ricorrere ad almanacchi (oggi tutti online) per risalire ai suoi valori.
Se estendiamo il grafico annuale della declinazione, fig. 5.1, comprendendo due successivi equinozi di primavera (fig. 6.5), appare con evidenza come esso possa essere sintetizzato da una semplice funzione sinusoidale con queste caratteristiche:
La sua scrittura è pertanto immediata. Se indichiamo con \(N\) il numero di giorni trascorsi dal primo gennaio dell'anno corrente (\(N=1\) per il 1° gennaio) per cui in base alla (4.5) il 21 marzo è identificato da \(N_{eq}=80\), la declinazione solare può essere approssimata dalla semplice relazione
\[\delta_2(N) = \epsilon \sin\!\left[{2\pi\over 365}(N-80)\right]\!= 23.44^\circ \sin\!\left[{2\pi\over 365}(N-80)\right]\quad\hbox{(deg).}\tag{6.8}\label{eq:6.8} \]Per verificarne l'attendibilità confrontiamo questi valori con gli analoghi \(\delta_{1,N}\) calcolati alle 12 di ogni giorno ma con la sequenza 'canonica' (figg. 4.2 e 5.2)
\[\Delta T\ \longrightarrow\ M \longrightarrow\ L \longrightarrow\ \delta_{1,N}. \tag{6.9}\label{eq:6.9} \]Nella figura 6.6 rappresentiamo pertanto la differenza \(\delta_2(N)-\delta_{1,N}\) che, mette in evidenza un sufficiente accordo complessivo sebbene la \eqref{eq:6.8} generalmente sottostimi la declinazione in quanto la differenza massima negativa è \(|\delta_2(N)-\delta_{1,N}|_{{max}}=1.67^\circ\) raggiunta attorno al 6/7 di ottobre.
Per scopi applicativi (si pensi al fotovoltaico con inseguimento del Sole), potremo sostituire al processo di calcolo che passa per l'anomalia media, la longitudine solare e il calcolo della declinazione, il semplice calcolo \(N\longrightarrow \delta(N)\). Un analogo confronto sulla durata del dì ottenuto con la formula (5.19) usando le due declinazioni e ponendo \(\phi=45^\circ\), mostra che il valore fornito dalla \eqref{eq:6.8} comporta una stima generalmente inferiore a quella canonica, con una differenza massima di \(-13.7'\).
Nel capitolo 5 abbiamo discusso delle conseguenze che coinvolgono l'angolo orario a partire da una altezza nulla del Sole ossia al suo sorgere e al suo tramontare. Se comunque riprendiamo la formula dell'altezza solare nel sistema altazimutale, (5.9)
\[a = \arcsin(\cos\phi \cos \delta \cos H+ \sin\phi \sin \delta)\tag{6.10}\label{eq:6.10} \]e supponiamo assegnati i valori di latitudine \(\phi\) e declinazione \(\delta\), dal fatto che la funzione \(\arcsin\) sia crescente con il suo argomento ne deriva che il massimo dell'altezza \(a\) è raggiunto in corrispondenza del massimo di \(\cos H\). Poiché quest'ultimo è raggiunto quando \(H=0^\circ\), ciò significa che il Sole è in culminazione superiore ossia attraversa il meridiano superiore segnando in tal modo il mezzodì. Per lo stesso motivo l'altezza sarà minima quando \(\cos 180^\circ=-1\) è perciò il Sole è al meridiano inferiore (mezzanotte).
In corrispondenza abbiamo i valori dell'altezza
\[\eqalign{H = 0^\circ\qquad\Longrightarrow\qquad a_{max } &= \arcsin(\cos\phi \cos \delta + \sin\phi \sin \delta)\cr &= \arcsin\left[\cos(\phi - \delta)\right] \cr &= \arcsin[\sin(90°-\phi+\delta)]\cr}\tag{6.11}\label{eq:6.11} \]Per l'altezza minima otteniamo invece
\[ \eqalign{H = 180^\circ\qquad\Longrightarrow\qquad a_{min} &= \arcsin(-\cos\phi \cos \delta + \sin\phi \sin \delta)\cr &= \arcsin\left[-\cos(\phi + \delta)\right]=\arcsin\left[-\sin(90°-\phi-\delta)\right]\cr &= \arcsin[\sin(-90°+\phi+\delta)].\cr}\tag{6.12}\label{eq:6.12} \]Queste due formule
\[ \bbox[border:1px solid red,15px,#ffffcc]{ \eqalign{a_{max}&=\arcsin[\sin(90°-\phi+\delta)],\cr a_{min}&=\arcsin[\sin(-90°+\phi+\delta)]\cr} \tag{6.13}\label{eq:6.13} } \]si semplificano rispettivamente in
\[ a_{max} = 90^\circ - \phi + \delta,\qquad a_{min}= -90^\circ + \phi + \delta \tag{6.14}\label{eq:6.14} \]se imponiamo le condizioni
\[\cases{\eqalign{0^\circ&\leq 90^\circ-\phi+\delta\leq 90^\circ\cr -90^\circ&\leq -90^\circ+\phi+\delta\leq 0^\circ\cr}}\qquad\Longrightarrow\qquad \cases{\eqalign{0^\circ\leq \phi-\delta\leq 90^\circ\cr 0^\circ\leq \phi+\delta\leq 90^\circ\cr}} \]che implicano, quando la declinazione è massima \(\delta_{max}=\epsilon\), le latitudini boreali \(0\leq \phi\leq 90^\circ-\epsilon\).
In generale quindi le semplici formule \eqref{eq:6.14} valgono per le latitudini comprese tra \(-90^\circ+\epsilon\leq \phi\leq 90^\circ-\epsilon\) ossia là dove il Sole sorge e tramonta giornalmente.
Con riferimento alla figura 6.3 del modello solare, ritroviamo le medesime formule \eqref{eq:6.14} se, con le condizioni precedenti, osserviamo
\[a_{max}=\angle(\hbox{Sud}\,OA)+\delta\qquad\Longrightarrow\qquad a_{max}=(90^\circ-\phi)+\delta\]così come, considerando che l'altezza a mezzanotte è negativa, \(a_{min}=-90^\circ+\phi+\delta\).
Nelle figure seguenti riportiamo, variando la latitudine, gli andamenti annuali dell'altezza massima raggiunta dal Sole a mezzogiorno assieme alla sua altezza minima raggiunta alla mezzanotte.
Nella figura 6.7 emerge visivamente come l'altezza massima venga raggiunta nel giorno del solstizio estivo \(a_{max}=90^\circ-\phi+\epsilon=68.44^\circ\) mentre il valore minimo in quello invernale \(a'_{max}=90^\circ-\phi-\epsilon=21.56^\circ\). Rilievi opposti si possono riportare per l'altezza del Sole sotto l'orizzonte e interpretabili per le latitudini australi scambiando notte e dì.
L'angolo \(\Delta a\) che separa l'altezza massima dalla minima dipende dalla latitudine come
\[\Delta a = a_{max}-a_{min} =(90^\circ-\phi+\delta)- (-90^\circ+\phi+\delta) = 180^\circ-2\phi\tag{6.15}\label{eq:6.15} \]e quindi all'aumentare di \(\phi\) l'oscillazione apparente subita durante un giorno dal Sole diminuisce. Questo lo si può cogliere osservando come \(\Delta a\) valga \(\Delta a= 90^\circ\) se \(\phi=45^\circ\), mentre dalla figura 6.8, alla latitudine del circolo polare artico, sia \(\Delta a=180^\circ-2(90^\circ -\epsilon)=2\epsilon=46.8^\circ\).
Con riferimento ancora alla figura 6.8 osserviamo come nel giorno del solstizio estivo il centro del Sole oscilli in altezza da \(+46.8^\circ\) a \(0^\circ\) per cui in questo giorno il Sole non tramonta. All'aumentare della latitudine oltre il circolo polare artico, l'altezza minima assume valori positivi per cui cresce il numero di giorni nel quale il Sole non tramonta. In parallelo, l'ampiezza dell'oscillazione \(\Delta a\) gradualmente diminuisce: per esempio, se \(\phi=80^\circ\) troviamo \(\Delta a=20^\circ\) (fig. 6.9 sinistra), per giungere teoricamente ad annullarsi al polo Nord (fig. 6.9 destra). Difatti, se \(\phi=90^\circ\) dalle formule \eqref{eq:6.13} discende
\[\eqalign{a_{max}&=\arcsin[\sin(0^\circ+\delta)]=\delta,\cr a_{min}&=\arcsin[\sin(0^\circ+\delta)]=\delta\cr}\qquad\Longrightarrow\qquad \Delta a=a_{max}-a_{min}=0^\circ\tag{6.16}\label{eq:6.16} \]Pertanto al polo Nord, nell'arco di 24 ore, il Sole mantiene costantemente la sua altezza pari alla declinazione solare che invece, nel corso dell'anno, varia nell'intervallo \([-\epsilon,+\epsilon]\). Nei sei mesi invernali la declinazione è negativa per cui il Sole rimane sotto l'orizzonte mentre nei sei mesi estivi la declinazione è positiva e il Sole rimane sempre sopra l'orizzonte. In realtà poiché la variazione giornaliera della declinazione è certamente presente seppure, come già discusso, molto piccola, l'escursione in altezza è di conseguenza altrettanto piccola e ciò giustifica l'affermazione precedente che considera l'altezza sostanzialmente invariata.
Infine all'equatore, dove la latitudine è nulla, le relazioni \eqref{eq:6.13} diventano
\[ a_{max}=\arcsin[\sin(90°+\delta)],\qquad a_{min}=\arcsin[\sin(-90^\circ+\delta)] \tag{6.17}\label{eq:6.17} \]e mostrano, nell'intero anno, l'andamento di figura 6.10 che visivamente conferma la simmetria di entrambe le curve rispetto all'asse temporale.
Lo studio della sola funzione \(a_{max}\) in \eqref{eq:6.17} di figura 6.10 mostra come l'altezza raggiunga il suo valore massimo uguale a \(90^\circ\) quando \(\delta=0^\circ\): nei giorni equinoziali il Sole è quindi allo zenit. Diversamente nei giorni dei solstizi quando \(\delta=\pm\epsilon\), la sua altezza massima è invece minore ed uguale a
\[a_{max}=\arcsin\left[\sin(90^\circ\pm\epsilon)\right]=90^\circ-\epsilon=66.56^\circ.\tag{6.18}\label{eq:6.18} \]
Nell'arco quindi di un anno il Sole si trova allo zenit all'equatore solo nei giorni di equinozio. Un andamento analogo si manifesta per tutte le latitudini comprese tra i tropici in quanto perché sia \(a_{max}=90^\circ\) deve valere
\[\arcsin[\sin(90^\circ-\phi+\delta)]=90^\circ\quad\Longrightarrow\quad\sin(90^\circ-\phi+\delta)=1\quad\Longrightarrow\quad 90^\circ-\phi+\delta=90^\circ\quad\Longrightarrow\quad \phi=\delta\tag{6.19}\label{eq:6.19} \]e di conseguenza la latitudine assume valori \(-\epsilon\leq \phi\leq \epsilon\) cioè nelle zone tropicali (fig. 6.11).
Se invertiamo il segno dell’altezza minima in figura 6.11, ossia consideriamo la curva simmetrica \(-a_{min}\) rispetto all’asse temporale orizzontale, il confronto con la curva dell’altezza massima mostra che i due grafici si intersecano agli equinozi, quando dì e notte hanno uguale durata. In questo modo la curva ottenuta può essere letta come altezza massima del Sole per la latitudine australe \(\phi=-10^\circ\) (fig. 6.12). I solstizi indicati nella figura restano però riferiti alla latitudine positiva e devono quindi essere scambiati nel caso australe, e lo stesso vale per gli equinozi.
Nella sezione 5.3 a riguardo dell'alba e del tramonto del Sole abbiamo discusso, nei corrispondenti istanti, l'effetto della rifrazione atmosferica sulla sua altezza. A causa della rifrazione dovremo quindi pure correggere la formula \eqref{eq:6.10} che invece dà l'altezza in assenza dell'atmosfera e per lo stesso motivo dovremo integrare le formule \eqref{eq:6.13} per i valori estremi. D'altra parte, se l'effetto della rifrazione è massimo per distanze dallo zenit prossime a \(90^\circ\), è invece minimo o trascurabile quando i corpi celesti siano prossimi allo Zenit. Per esempio la variazione in altezza è di circa \(1'\) (un minuto d'arco) per un oggetto a \(45^\circ\) sopra l'orizzonte e diminuisce ulteriormente ad altezze maggiori. Ma già attorno ai \(10^\circ\) l'altezza apparente di una stella è maggiore di circa \(5'\) dell'altezza vera mentre a \(5^\circ\) sopra l'orizzonte la differenza è di \(10'\). Inoltre l'effetto della rifrazione sull'altezza di un astro dipende dalla pressione atmosferica e dalla sua temperatura e poiché queste grandezze variano con l'altezza dal suolo si rendono necessari adeguati modelli della struttura dell'atmosfera. Un ulteriore elemento da considerare è la lunghezza d'onda della luce in quanto le deviazioni prodotte dipendono pure da questo parametro.
Per tutti questi motivi esistono numerose formule, alcune di carattere teorico, dedotte da proprietà generali, altre di tipo pratico, ottenute mediante regressione di dati sperimentali. Se quindi con \(a\) intendiamo l'altezza vera e con \(a'\) l'altezza apparente, poniamo
\[a' = a + R\tag{6.20}\label{eq:6.20} \]per cui \(R\) rappresenta la correzione da apportare all'altezza vera per ottenere quella apparente. Una delle formule pratiche più semplici per il calcolo di \(R\) quando siano rispettate le condizioni di pressione di \(1010\,\hbox{hPa}\) e temperatura \(10\,^\circ\hbox{C}\), è la seguente
\[R = {1.02'\over \tan\!\left(a + \displaystyle{10.3\over a + 5.11^\circ}\right)}\quad\hbox{(minuti d'arco),}\tag{6.21}\label{eq:6.21} \]dove l'altezza \(a\) va riportata in gradi mentre \(R\) è restituita in minuti d'arco (e di conseguenza il termine numerico 10.3 è in gradi quadrati). Di seguito riportiamo una tabella con la correzione da associare alle diverse altezze e quindi, in figura 6.13 l'andamento complessivo della funzione \eqref{eq:6.21}.
Per concludere le osservazioni sulla rifrazione ricordiamo come l'effetto di appiattimento del disco solare al sorgere o al tramonto sia, appunto, dovuto alla rifrazione atmosferica.
| altezza (deg) | correzione R (min) | altezza (deg) | correzione R (min) |
|---|---|---|---|
| 0 | 30 | 50 | 0.85 |
| 5 | 9.67 | 55 | 0.71 |
| 10 | 5.41 | 60 | 0.59 |
| 15 | 3.67 | 65 | 0.47 |
| 20 | 2.74 | 70 | 0.37 |
| 25 | 2.15 | 75 | 0.27 |
| 30 | 1.75 | 80 | 0.18 |
| 35 | 1.44 | 85 | 0.09 |
| 40 | 1.21 | 90 | 0. |
| 45 | 1.01 |
