In questa sezione sviluppiamo sulla base di un esempio, la principale tecnica di normalizzazione di una grandezza angolare che, come visto nel corso del lavoro, ha in genere una natura ciclica quale conseguenza dei moti di rotazione e rivoluzione terrestri. Per esempio, l'anomalia media rappresenta un angolo che varia proporzionalmente al tempo e descrive la rotazione uniforme di un punto ideale associato al moto ellittico della Terra, mentre quest'ultimo è descritto dall'anomalia vera. L'obiettivo è dunque riportare una grandezza angolare all'interno di un intervallo arbitrario assunto come standard.
Supponiamo quindi di avere una grandezza angolare \(\theta\) che può assumere un qualsiasi valore reale, positivo o negativo, e intendiamo riportarla, normalizzandola, all'interno dell'intervallo che scegliamo essere \([0, 360^\circ[\) (la parentesi quadra rivolta all'esterno significa che il valore estremo non è incluso). Se, per esempio \(\theta = 740^\circ\), la normalizzazione dovrà portare \(\theta\) a \(20^\circ\) mentre se \(\theta'=-740^\circ\) la normalizzazione dovrà fornire l'angolo \(340^\circ\). Le semplici operazioni per ottenere ciò consistono nel riscrivere \(\theta\) separando la parte intera del rapporto con il divisore \(360^\circ\) da quella frazionaria ossia
\[ {740^\circ\over 360^\circ}=2+{20^\circ\over 360^\circ},\qquad\hbox{così come}\qquad -{740^\circ\over 360^\circ}=-3+{340^\circ\over 360^\circ}\tag{C.1}\label{eq:1} \]e quindi associare il valore normalizzato alla sola parte frazionaria che, evidentemente, si può identificare con il resto della divisione tra dividendo e divisore. Infatti possiamo riscrivere i due rapporti precedenti come
\[20^\circ = 740^\circ - 360^\circ\cdot 2 \qquad\hbox{così come}\qquad 340^\circ = -740^\circ - 360^\circ\cdot (-3) \]e individuare così le operazioni da svolgere non appena si sia determinata la parte intera, \(2\), per la grandezza positiva, \(-3\) se negativa.
A tal fine definiamo la funzione \(\hbox{floor}(x)\) simbolicamente rappresentata da \(\lfloor x \rfloor\) come quella funzione che restituisce il più grande numero intero \(n\) con \(n\in \{\ldots,\,-2,\,-1,\,0,\,1,\,2,\ldots \}\) minore o uguale a \(x\) cioè, formalmente,
\[ \lfloor x \rfloor = \max\{n \in \mathbb{Z} : n \leq x\}\qquad\hbox{con}\qquad \mathbb{Z} =\{\ldots,\,-2,\,-1,\,0,\,1,\,2,\ldots\}.\tag{C.2}\label{eq:2} \]Ripreso l'esempio, per la grandezza positiva è quindi \(2=\lfloor{740^\circ/360^\circ}\rfloor\) mentre per \(\theta=-740^\circ\) risulta \(-3=\lfloor{-740^\circ/ 360^\circ}\rfloor\).
Per una grandezza angolare \(\theta\) la normalizzazione all'intervallo \([0^\circ, 360^\circ[\) può essere espressa come:
\[ \theta_{norm}=\theta - 360^\circ\! \cdot\! \left\lfloor{\theta\over 360^\circ}\right\rfloor\!,\tag{C.3}\label{eq:3} \]mentre se l'intervallo scelto è \([0, m[\) avremo la funzione \[ \theta_{norm}=\theta - m \cdot\! \left\lfloor{\theta\over m}\right\rfloor\!.\tag{C.4}\label{eq:4} \]
Il calcolo di \eqref{eq:4} può essere effettuato direttamente con l'operatore modulo implementato in tutti i linguaggi di programmazione. Questo fornisce automaticamente il resto della divisione tra il dividendo \(\theta\) e il divisore \(m\): in Python, per esempio, l'operatore modulo è
\[ \theta_{norm}= \theta\, \%\, m,\tag{C.5}\label{eq:5} \]mentre in altri linguaggi come MATLAB, Octave, \(\dots\) la sua sintassi è
\[ \theta_{norm}=\hbox{mod}[\,\theta, m\,].\tag{C.6}\label{eq:6} \]Il suo grafico (fig. C.1) mostra chiaramente come un qualsiasi valore reale sull'asse delle ascisse venga riportato all'intervallo scelto
Nel caso si intenda normalizzare gli angoli all'intervallo \(]-180^\circ,180^\circ]\) (la funzione \(\arctan\!2(y,x)\) restituisce, per esempio, valori in questo intervallo) è sufficiente eseguire una traslazione della funzione \eqref{eq:6} di vettore con componenti \((-180^\circ, -180^\circ)\) in modo da ottenere la funzione \[ \theta_{norm}=\hbox{mod}[\,\theta\pm 180^\circ, 360^\circ] - 180^\circ.\tag{C.7}\label{eq:7} \]
rappresentata in fig. C.2.
In questo caso, infatti, un qualsiasi valore reale sull'asse delle ascisse viene riportato all'intervallo \(]-180^\circ,180^\circ]\).
In relazione alla definizione dell'angolo di azimut nel sistema altazimutale TAA, fig. 1.8, le convenzioni esposte sono due: nella prima l'azimut \(A\) dà la distanza angolare dal meridiano locale e assume valori positivi verso Ovest, nella seconda l'azimut parte dal Nord e assume valori positivi verso Est.
Se \(\alpha\) rappresenta l'azimut nella convenzione da Nord e \(\beta\) quella da Sud, questi legami sono riassunti dalle
\[ \cases{\quad 0^\circ\leq \alpha\leq 180^\circ\cr 180^\circ\leq \beta\leq 360^\circ}\qquad\Longrightarrow\qquad \alpha=\beta-180^\circ\quad\hbox{oppure}\quad \beta=\alpha+180^\circ\tag{C.8}\label{eq:8} \]mentre se
\[ \cases{180^\circ \leq \alpha\leq 360^\circ\cr \quad 0^\circ\leq \beta\leq 180^\circ}\qquad\Longrightarrow\qquad \alpha=\beta+180^\circ\quad\hbox{oppure}\quad \beta=\alpha-180^\circ\tag{C.9}\label{eq:9} \]e riportati graficamente nella figura C.3.
Infine, poiché nell'appendice B per quanto riguarda l'angolo di azimut e, analogamente, l'angolo orario, abbiamo scelto di associare valori negativi alle posizioni del Sole a Est del meridiano locale, in modo che i rispettivi assi orizzontali mantengono continuità di valori, riportiamo di seguito e nella figura C.4 le relazioni che legano l'azimut \(\beta\) coerente con la convenzione usuale all'angolo \(\alpha\) adottato nell'appendice B. Se quindi entrambi sono positivi e minori di \(180^\circ\) risulta
\[ \cases{0^\circ\leq \alpha\leq 180^\circ\cr 0^\circ\leq \beta\leq 180^\circ}\qquad\Longrightarrow\qquad \alpha=\beta,\tag{C.10}\label{eq:10} \]altrimenti tra \(\alpha\) e \(\beta\) vale la relazione
\[ \cases{-180^\circ \leq \alpha\leq 0^\circ\cr \hskip.35cm 180^\circ\leq \beta\leq 360^\circ}\qquad\Longrightarrow\qquad \alpha=\beta -360^\circ\quad\hbox{oppure}\quad \beta=\alpha+360^\circ.\tag{C.11}\label{eq:11} \]