Capitolo 4

4.1 Misura del tempo

Finora la dipendenza dal tempo è stata espressa simbolicamente con la variabile \(t\) e solo nell'esempio (nota 3.1) essa è stata utilizzata assegnando convenzionalmente un valore in giorni. Per la misura del tempo in astronomia, si fa comunque uso di scale temporali diverse a seconda delle necessità o a seconda delle caratteristiche degli oggetti astronomici coinvolti: di queste daremo nel seguito solo alcuni elementi fondamentali.

Tra queste, la scala storicamente più importante è senza dubbio quella che si basa sulla rotazione della Terra in riferimento alle stelle fisse ossia il tempo sidereo. Pertanto si definisce

A causa comunque della precessione cioè per il lento movimento retrogrado dell'equinozio e delle oscillazioni dovute all'attrazione combinata del Sole e della Luna, la nutazione, questa unità non è strettamente costante ma varia leggermente: vale comunque 23 ore, 56 minuti e 4,09 sec (appendice D).

Se invece ci riferiamo al moto di rivoluzione della Terra intorno al Sole,

dove \(\hbox{d}\) indica, come riportato sotto, il giorno solare medio. Questa unità, come già visto, rappresenta il periodo \(\cal P\) dell'orbita terrestre.

Con riferimento al Sole ma considerando il moto di rotazione della Terra, si definisce

Se la culminazione è superiore, tale istante indica il mezzogiorno vero locale, se inferiore la mezzanotte. Su questa base viene definito il

Tale unità è pure definita come l'intervallo tra due consecutive culminazioni del Sole medio ma, essendo questo un'entità astratta, non permette di risolvere il problema della misura che, necessariamente, deve basarsi su un reale fenomeno periodico e sul conseguente conteggio. La consapevolezza che sia la rotazione che la rivoluzione della Terra non siano uniformi spiega la ricerca di fenomeni periodici alternativi e quindi il succedersi storico delle diverse scale temporali sia per usi astronomici che per usi civili.

L'eccezionale stabilità degli orologi atomici ha permesso, nel secolo scorso, di ridefinire l'unità fondamentale di tempo che, attualmente, è il secondo, definito nel Sistema Internazionale (SI) come la durata di \(9192631770\) periodi della radiazione emessa da un atomo di cesio-133 non perturbato nella transizione energetica tra due suoi livelli atomici iperfini dello stato fondamentale. Su questa base ma pure sulla scelta dell'istante dal quale iniziare il conteggio vengono quindi definite diverse scale tra le quali

Se si trascurano effetti gravitazionali collegati alla relatività generale, l'unità SI del 'secondo' rappresenta quindi una grandezza temporale caratterizzata da uniformità in ampi intervalli temporali (con una incertezza di \(1\,\hbox{s}\) in \(3\times 10^6\) anni), proprietà questa che si riflette nelle scale del tempo terrestre \(TT\) e di quello atomico \(T\!AI\). Tra le diverse scale sussistono comunque le relazioni

\[\cases{ TT = T\!AI + 32.184\,\hbox{s} \cr UT1 = UTC + \Delta UT1 \cr T\!AI = UTC + \Delta UTC \cr}\tag{4.1}\label{eq:4.1}\]

La prima relazione tra Tempo Terrestre \(TT\) e Tempo Atomico internazionale \(T\!AI\) è dovuta alla diversa scelta dell'istante iniziale mentre la seconda coinvolge il Tempo Universale \(UT1\) che rappresenta l'angolo orario del Sole medio al meridiano di Greenwich (si veda la successiva equazione del tempo) e la scala \(UTC\) di Tempo Coordinato Universale. Poiché la rotazione terrestre non è uniforme a causa delle sue interazioni differenziali con Sole e Luna e, non potendo prevedere queste pur minime variazioni, la differenza \(\Delta UT1\) nella seconda relazione è mantenuta, in valore assoluto, entro il valore massimo di \(0.9\,\hbox{s}\). Quando sulla base di misure astronomiche, pertanto a posteriori, si rileva il superamento di tale soglia vengono aggiunti uno o più secondi intercalari \(\Delta UTC\) (leap seconds) nella scala \(UTC\) che, in base alla terza relazione, definisce quindi la scala del \(T\!AI\). Attualmente, nell'anno 2025, la somma di questi secondi intercalari è \(\Delta UTC=37\,\hbox{s}\) mentre la differenza tra \(UT1\) e \(UTC\) è \(\Delta UT1=0.077\,\hbox{s}\) (IERS Timescales).

Salvo che si intenda raggiungere elevate precisioni, la scala \(UTC\) è comunque la scala internazionale di riferimento per tutti gli eventi sia astronomici che civili ed è quella diffusa via radio e sul Web dalle agenzie responsabili del segnale orario. Comunque se eliminiamo tra le relazioni \eqref{eq:4.1} il tempo \(T\!AI\), il legame tra le scale \(TT\) e \(UTC\) è

\[\cases{TT = T\!AI+32.184\,\hbox{s}\cr T\!AI=UTC+\Delta UTC\cr}\qquad \Longrightarrow \qquad TT=UTC+\Delta UTC+32.184\,\hbox{s}\tag{4.2}\label{eq:4.2}\]

per cui, in definitiva, risulta

\[ \bbox[border:1px solid red,15px,#ffffcc]{ \eqalign{TT &=UTC+\Delta T \hskip2cm\hbox{con}\quad \Delta T = \Delta UTC+32.184\,\hbox{s} \cr &= UTC+(37 +32.184)\,\hbox{s}\cr &= UTC+69.184\,\hbox{s}.\cr}\tag{4.3}\label{eq:4.3}} \]

Tale differenza nelle due scale temporali appare comunque trascurabile per la maggior parte delle applicazioni pratiche e, in particolare, se si intendono determinare gli istanti del sorgere e del tramonto del Sole. Difatti per la determinazione di tali istanti intervengono in misura ben più significativa fenomeni come la rifrazione e la sua dipendenza dai parametri atmosferici di temperatura e pressione nonché dall'altezza del luogo di osservazione e quindi dalla sua topografia. Se alcuni di questi sono prevedibili, per altri ciò diviene impossibile per cui i tempi calcolati possono differire da quelli effettivi anche di qualche minuto.

Accanto alle attuali scale temporali, la periodica successione dei giorni ha dato comunque origine nei diversi periodi storici e nelle diverse culture ad una organizzazione del tempo nella forma dei calendari. Questi hanno lo scopo di dividere il tempo in periodi ben distinti, facilmente identificabili e, ancora storicamente, sono stati sviluppati per organizzare le attività umane e per permetterne una migliore gestione.

Il nostro calendario è stato introdotto nel 1582 da papa Gregorio XIII e per tale ragione si dice "gregoriano", si fonda sul Sole e sulle stagioni in modo da mantenere l'inizio della primavera attorno al 21 marzo. Suddivide l'anno, composto da una successione di 365 giorni, ordinatamente in 12 mesi di 30 o 31 giorni con l'aggiunta di un giorno ogni quattro anni per sincronizzarsi con il ciclo delle stagioni definito, tramite l'equinozio di primavera, dall'anno tropico avente una durata di \(365.2422\,\hbox{d}\) (appendice D).

Tale suddivisione oramai adottata in quasi tutti i paesi del mondo risulta poco funzionale nei calcoli astronomici che, al contrario, richiedono una continuità nello scorrere del tempo piuttosto che l'inserimento di un giorno extra ogni quattro anni. Per questo motivo si preferiscono utilizzare scale di tempo che siano continue e progressive senza alcuna discontinuità. Queste caratteristiche sono soddisfatte dalla

In tal modo diviene immediato, per esempio, il calcolo delle differenze fra due date e la determinazione della data una volta che si sia assegnato un giorno specifico e un certo intervallo di giorni. Notiamo che tali proprietà vengono attualmente implementate anche nei comuni fogli di calcolo, nei quali per i calcoli connessi a date del calendario gregoriano, viene eseguita implicitamente la trasformazione di una data nel numero di giorni o loro frazioni trascorsi da un istante specifico, per esempio il 1° gennaio 1900.

Adottando quindi la scansione dei giorni del calendario giuliano (chiamato così perché introdotto da Giulio Cesare), il giorno giuliano corrispondente al mezzogiorno del 1° gennaio 2000 \(TT\) si individua come \(J\kern-1.5pt D=2451545.0\,\hbox{d}\). Per convenzione, il giorno giuliano inizia a mezzogiorno (cosicché gli astronomi non sono obbligati a modificare il giorno durante una stessa notte di osservazioni!) e termina alle ore 11:59:59 del giorno successivo. Per indicare l'ora del giorno giuliano si usa la parte decimale del numero \(J\kern-1.5pt D\). Per esempio, le ore 18:00 \(TT\) del 1° gennaio 2000 corrispondono a \(J\!D=2451545.25\) mentre le ore 06:00 \(TT\) del 2 gennaio 2000 corrispondono a \(J\kern-1.5pt D=2451545.75\,\hbox{d}\). Inoltre l'anno giuliano corrisponde a \(365.25\,\hbox{d}\) e di conseguenza 36525 giorni rappresentano un secolo giuliano.

La conversione tra il calendario gregoriano e quello giuliano si può eseguire utilizzando una delle molte formule disponibili. Nel nostro caso, la formula che utilizziamo è la seguente

\[\bbox[border:1px solid red,15px,#ffffcc]{ \eqalign{ J\kern-1.5pt D &= 367Y - \left\langle{{7\left(Y+\left\langle{{(M+9)/12}}\right\rangle\right)\over4}}\right\rangle + \left\langle{{275M\over9}}\right\rangle + D + 1721013.5 + {h\over 24} + {m\over 1440} + {s\over 86400}\cr &= 367Y - \left\langle{{7\left(Y+\left\langle{(M+9)/12}\right\rangle\right)\over4}}\right\rangle + \left\langle{275M\over9}\right\rangle + D + 1721013.5 + {UTC\over 24}\cr}\tag{4.4}\label{eq:4.4}} \]

nella quale le variabili \(Y\), \(M\) e \(D\) appartengono agli intervalli \[ 1900\leq Y\leq 2099,\qquad 1\leq M\leq 12,\qquad 1\leq D\leq 31,\]

con \(UTC\) in ore. La scrittura \(\langle{x}\rangle\) indica invece la funzione che restituisce la parte intera di \(x\), \(\left\langle{3.14}\right\rangle=3\), mentre le ore \(UTC\) sono rappresentate con \(h\), i minuti con \(m\), e i secondi con \(s\). Esempio: alle ore 15:00 \(UTC\) del 13 ottobre 2025 corrisponde un \(J\kern-1.5pt D=2460962.125\,\hbox{d}\) essendo somma dei termini variabili \(367\times2025=743175\), \(-\langle7(2025+\langle(10+9)/12\rangle)/4\rangle=-3545\), \(\langle275\times10/9\rangle=305\), \(D=13\), \(UTC=15/24\) e del termine costante.

La conversione inversa è pure espressa da una formula ma, per i nostri scopi, possiamo ometterla mentre può essere utile disporre del numero intero \(N\) che individua i giorni trascorsi dall'istante \(00.00\) del primo gennaio dell'anno corrente. Evidentemente \(N\) è un intero che varia da 1 a 365 (o 366 se l'anno è bisestile) ed è espresso dalla formula

\[N=\left\langle{275M\over 9}\right\rangle - \left(1+\left\langle{\hbox{mod}[{Y,4}]+2\over 3}\right\rangle\right)\cdot\left\langle{M+9\over 12}\right\rangle+D-30\tag{4.5}\label{eq:4.5} \]

dove il termine tra parentesi rotonde può valere 1 se l'anno è bisestile, 2 se normale mentre la funzione \(\hbox{mod}[{Y,4}]\) fornisce il resto della divisione di \(Y\) con 4. Il 13 ottobre 2025 è pertanto il giorno \(N=305- 2\cdot 1+13-30=286\) del calendario mentre il 21 marzo 2028 è il giorno \(N=81\) in quanto l'anno 2028 è bisestile.

La tabella seguente riporta il calcolo esemplificativo del giorno giuliano nelle varie scale temporali.

Tabella 4.1
definizione codifica \(\Delta UTC\,\hbox{(s)}\) \(\Delta UT1\,\hbox{(s)}\) calcolo \(J\kern-1.5pt D\,\hbox{(d)}\)
\(UTC\) 2025-12-25T15:50:00 2461035.15972222 2461035.15972222
\(UT1 = UTC + \Delta UT1\) 2025-12-25T15:50:0.09 0.09 (max) 2461035.15972222 + 0.09/86400 2461035.15972326
\(TAI=UTC+\Delta UTC\) 2025-12-25T15:50:37 37 2461035.15972222 + 37/86400 2461035.16015046
\(TT=(UTC+\Delta UTC)+32.184\) 2025-12-25T15:51:9.184 37 2461035.15972222 + (37+32.184)/86400 2461035.16052296
2461035.15972222 + (69.184)/86400 2461035.16052296

Nota 4.1. Nel seguito e salvo diversa indicazione, il calcolo di grandezze astronomiche sarà eseguito a partire da un valore espresso in giorni giuliani \(J\kern-1.5pt D\) e là dove si richieda una maggiore precisione ricalcoliamo il giorno giuliano su base \(TT\) ottenendo in tal modo il tempo giuliano delle effemeridi \(J\kern-1.4pt D\kern-1pt E\). In quest'ultimo caso la procedura che seguiamo è rappresentata dal diagramma

Fig. 4.1. Diagramma di flusso per il calcolo di \(J\kern-1.5pt D\kern-1pt E\).

esemplificato dalla sequenza

\[\eqalign{&\hbox{data e ora locali:}\quad \hbox{2025-12-23T12:10:00}\cr &\quad\rightarrow\quad J\kern-1.5pt D_{loc}=2461033.0069444\,\hbox{d}\cr &\quad\rightarrow\quad J\kern-1.4pt D_{UTC}=2461033.0069444-1/24=2461032.9652778\,\hbox{d} \cr &\quad\rightarrow\quad J\kern-1.4pt D\kern-1pt E = 2461032.9652778 + 69.184/86400=2461032.9660785\,\hbox{d}.\cr}\]

con fuso orario o \(\hbox{TimeZone}=+1\) e, attualmente, \(\Delta T=37+32.184 = 69.184\,\hbox{s}\). Negli altri casi utilizzeremo il tempo \(UTC\).

4.2 Calcolo dell'anomalia media e suoi sviluppi in serie

Come già notato, per calcolare la posizione della Terra in un certo istante dobbiamo partire dal calcolo dell'anomalia media \(M\) (3.53) che, a sua volta, dipende dall'epoca \(t_0\) e dall'anomalia media all'epoca \(M_0\). Per calcolare queste quantità occorre conoscere il periodo \(\cal P\) dell'orbita terrestre e la data e ora dell'ultimo passaggio al perielio. Pertanto se l'epoca corrisponde alle ore 12:00 del 1° gennaio 2000 (J2000.0), questo istante è caratterizzato dal giorno giuliano calcolato con la \eqref{eq:4.4}

\[t_0=2451545.0\quad\hbox{(d)}\tag{4.6}\label{eq:4.6} \]

mentre l'istante del passaggio al perielio è avvenuto il 3 gennaio 2000 alle 05:19 \(UTC\). Ne segue, sempre per la \eqref{eq:4.4},

\[ T=2451546.7215\quad\hbox{(d)}.\tag{4.7}\label{eq:4.7} \]

Si tratta ora di definire il periodo \(\cal P\) da inserire nella (3.53). Come già notato, potremmo pensare di inserire il valore dell'anno sidereo \({\cal P}_s=365.2564\) ma tale periodo è influenzato dalla precessione e da altri fattori come la nutazione. D'altra parte quello che in questo caso conta è il periodo trascorso tra due passaggi successivi al perielio e questo è rappresentato dall'anno anomalistico e non dall'anno sidereo per il quale invece si deve tener conto del moto retrogrado del punto \(\gamma\) e quindi della precessione.

Dobbiamo quindi utilizzare il valore (appendice D)

\[{\cal P}_a=365.259635861\quad\hbox{(d)}\tag{4.8}\label{eq:4.8} \]

cosicché il coefficiente \(2\pi/{\cal P}\) che esprime la velocità angolare media della Terra è

\[\eqalign{{2\pi\over {\cal P}_a} &= {2\pi\over 365.259635861} = 0.017201970\quad\hbox{(rad/d)}\cr {360^\circ\over {\cal P}_a} &= {360^\circ \over 365.259635861} = 0.98560028\quad \hbox{(deg/d)}.\cr}\tag{4.9}\label{eq:4.9}\]

L'anomalia media all'epoca J2000.0 è quindi

\[M_0={2\pi\over{\cal P}_a}(t_0-T)={2\pi\over 365.259635861}(2451545.0-2451546.7215)=-0.0296137\qquad\hbox{(rad)}.\tag{4.10}\label{eq:4.10} \]

che, normalizzata (appendice C) all'intervallo \([0,2\pi[\) oppure \([0^\circ,360^\circ[\) fornisce i valori

\[M_0=6.25357\,\hbox{rad}=358.303^\circ.\tag{4.11}\label{eq:4.11} \]

In base alla (3.53), l'anomalia media \(M\) in un generico istante \(t\) risulta

\[\eqalign{M&=6.25357+0.017201970\,(t-2451545.0)\qquad\hbox{(rad)}\cr &=358.303^\circ + 0.98560028\,(t-2451545.0).\qquad\hbox{(deg)}\cr}\tag{4.12}\label{eq:4.12} \]

A questo punto riportiamo l'espressione standard utilizzata per il calcolo dell'anomalia media e ripresa dal testo J. Meeus: Astronomical Algorithms. Il solo termine lineare risulta

\[M'=357.5291^\circ + 0.98560028\,(t-2451545.0).\tag{4.13}\label{eq:4.13} \]

e mostra come l'unica differenza con il calcolo appena svolto, circa \(0.77^\circ\), sia dovuta alla presenza del termine costante e cioè all'anomalia media all'epoca J2000.0.

Poiché l'obiettivo di questo lavoro è la comprensione dei passaggi fondamentali che diano ragione della posizione del Sole nel sistema scelto dall'osservatore, il risultato appena ottenuto appare del tutto soddisfacente e conferma la correttezza del procedimento seguito, anche perché nel testo citato, l'autore utilizza valori opportunamente corretti e mediati per determinare l'anomalia media all'epoca J2000.0. In aggiunta, sviluppa l'anomalia media in una serie di potenze con una accuratezza che va ben oltre le ragioni didattiche che ci siamo posti. Comunque, allo stesso tempo, intendiamo in questo lavoro fornire un complesso di formule che assicurino una adeguata precisione per cui riportiamo in \eqref{eq:4.15} la formula completa dell'anomalia in termini del numero di giorni trascorsi da J2000.0 e, per questo motivo come altre che seguiranno, ne diamo una diversa notazione grafica.

Definito quindi l'intervallo di tempo in giorni giuliani che separa l'istante \(t\) da J2000.0

\[ \bbox[border:1px solid red,15px,#ffffcc]{ \Delta t=(t-2451545.0),\quad\hbox{(d)} \tag{4.14}\label{eq:4.14} } \]

l'anomalia media \(M\) è data dall'espressione

\[ \bbox[border:1px solid blue,15px,#e9fdff]{ \eqalign{M(\Delta t)&=357.5291^\circ+0.98560028\,\Delta t-1.1686\times10^{-13}\,\Delta t^2 -9.85078\times 10^{-21}\,\Delta t^3\qquad\hbox{(deg)}\cr &=6.24006 + 0.01720197\,\Delta t-2.03959074948\times 10^{-15}\,\Delta t^2-1.719285225574\times 10^{-22}\,\Delta t^3\qquad\hbox{(rad)}.\cr} \tag{4.15}\label{eq:4.15} } \]

4.3 Un primo calcolo dell'anomalia vera

Nota l'anomalia media in funzione del tempo possiamo procedere al calcolo dell'anomalia vera \(\nu\) che, come noto, richiede la soluzione dell'equazione di Keplero (3.25). A tal fine utilizzeremo il valore fornito dalla \eqref{eq:4.15} mentre la data scelta, per questo esempio, è il 12 agosto 2025 alle ore 12.00 \(UTC\) cui corrisponde il giorno giuliano \(J\!D=2460900.0\). Il calcolo dei giorni trascorsi da J2000.0 è quindi

\[\Delta t=2460900-2451545.0=9355.0\,\hbox{d}.\tag{4.16}\label{eq:4.16} \]

e l'anomalia media utilizzando la \eqref{eq:4.15}, risulta

\[\eqalign{M(\Delta t)&=357.5291^\circ+0.98560028\times9355.0 -1.1686\times10^{-13}\times(9355.0)^2 -9.85078\times 10^{-21}\times(9355.0)^3\cr &=9577.82^\circ.\cr}\tag{4.17}\label{eq:4.17} \]

Innanzitutto notiamo che i contributi dei termini quadratico e cubico nella \eqref{eq:4.15} si limitano a modifiche dell'anomalia dell'ordine di \(10^{-5}\,\hbox{deg}\) e quindi, per i nostri scopi, possono eventualmente essere omessi. Riportando il valore trovato all'intervallo \([0,360^\circ)\) tramite la funzione matematica \(\hbox{Resto(m,n)}\) che dà il resto della divisione di \(m\) con \(n\), otteniamo

\[M=\hbox{Resto}(9577.82,360)=217.82^\circ=3.80167\,\hbox{rad}.\tag{4.18}\label{eq:4.18} \]

Per calcolare l'anomalia vera \(\nu\) dobbiamo risolvere l'equazione di Keplero (3.25) che, in questo caso, prende la forma

\[M=E-e\sin E\tag{4.19}\label{eq:4.19} \]

con \(M=3.80167\,\hbox{rad}\) ed eccentricità dell'orbita \(e=0.0167\). La soluzione di questa equazione trascendente, come già detto, può essere ottenuta con uno dei numerosi metodi numerici disponibili, per esempio il metodo iterativo di Newton-Raphson del quale riportiamo sotto le prime iterazioni a partire dal valore iniziale 2.

\[\eqalign{&\hbox{passo}\ i:\quad&1\quad\rightarrow&\quad2&\quad\rightarrow&\quad 3&\quad\rightarrow&\quad 4&\quad\rightarrow&\quad 5\cr &\quad E_i&2\quad\rightarrow&\quad 3.80432&\quad\rightarrow&\quad 3.79156&\quad\rightarrow&\quad 3.79157&\quad\rightarrow&\quad 3.79157\cr} \]

Ne segue che \(E_5\) rappresenta la soluzione dell'equazione di Keplero con una precisione di \(10^{-6}\,\hbox{rad}\): pertanto

\[E=3.79157\,\hbox{rad}=217.241^\circ.\tag{4.20}\label{eq:4.20} \]

Con questo valore dell'anomalia eccentrica calcoliamo l'anomalia vera richiamando la (3.38) e tenendo presente l'appartenenza allo stesso quadrante di \(E\) e \(\nu\): otteniamo quindi

\[ \nu = 2\arctan\!\left[\!\sqrt{{1+e\over{1-e}}}\!\tan\left(\!{E\over2}\right)\!\right]\!=3.78153\,\hbox{rad}=216.665^\circ.\tag{4.21}\label{eq:4.21} \]

Nota l'anomalia vera, la (3.39) dà il modulo del raggio vettore: ne deriva pure la distanza Terra-Sole. Nel nostro caso, con \(a=1.000001018\,\hbox{UA}\) e \(e=0.0167\), abbiamo

\[r=a(1-e\cos E)=1.0133\,\hbox{UA}.\tag{4.22}\label{eq:4.22} \]

In questo modo abbiamo ottenuto l'anomalia vera della Terra alla data del 12 agosto 2025, ore 12:00 \(UTC\) grandezza che, assieme all'anomalia media, sono ovviamente riferite al sistema perifocale scelto per rappresentare l'orbita terrestre. Con i valori di \(\nu\) e \(M\) potremmo ora calcolare la longitudine vera eclittica eliocentrica utilizzando la (3.45) nonché la longitudine media (3.46) se comunque fosse nota, alla data scelta, la longitudine \(\omega\) del perielio. Le longitudini definite nel sistema eclittico eliocentrico EEC sono misurate a partire dal punto \(\gamma\) che, a causa della precessione, subisce un lento movimento retrogrado di circa \(50''\) annui ma se trascuriamo gli effetti della precessione e consideriamo quale valore approssimato la longitudine del perielio all'epoca J2000.0, ne derivano i due valori di longitudine detti: questi, pur approssimati, potranno servirci per un utile confronto. Pertanto, supposta valida anche per la data scelta la longitudine del perielio \(\omega_{2000}=102.93768193^\circ\) (appendice D), otteniamo

\[\eqalign{L_E&=\omega_{2000}+\nu=102.93768193^\circ +216.665^\circ=139.603^\circ\cr l_E&=\omega_{2000}+M=102.93768193^\circ +217.82^\circ=140.757^\circ.\cr}\tag{4.23}\label{eq:4.23} \]

valori ottenuti normalizzando (appendice C) a \(360^\circ\) a partire dalla \eqref{eq:4.17}.

4.4 Equazione del centro

Il calcolo della longitudine eclittica eliocentrica della Terra, come già detto, richiede la conoscenza della longitudine del perielio \(\omega\) alla data scelta. Questa grandezza però dipende, seppur lentamente, dalla precessione e quindi cambia continuamente. Per questo motivo, in questo contesto, si utilizza un metodo alternativo sintetizzato dal termine equazione del centro che permette di calcolare la longitudine eclittica eliocentrica della Terra senza conoscere esplicitamente la longitudine del perielio.

Per realizzare ciò, partiamo dalle relazioni della longitudine vera \(L_E\), (3.45), e della longitudine media \(l_E\), (3.46), ed eseguiamo la differenza membro a membro di entrambe. Otteniamo la relazione

\[\cases{L_E=\omega+\nu\cr l_E=\omega+M\cr}\qquad\Longrightarrow\qquad L_E-l_E=(\omega+\nu)-(\omega+M)=\nu-M\tag{4.24}\label{eq:4.24}\]

che collega le due longitudini sulla sfera celeste e riferite all'equinozio di primavera, con le due anomalie contate invece a partire dal perielio definite nel sistema perifocale.

Discutendo delle soluzioni dell'equazione di Keplero, (3.25), abbiamo già accennato nella nota 3.1 alla possibilità di sviluppare l'anomalia eccentrica \(E\) in termini dell'anomalia media \(M\), (3.29). Allo stesso modo, a partire dalla relazione (3.33) riportata di seguito

\[\cos\nu = {\cos E - e\over{1 - e\cos E}}, \]

si può, nell'ipotesi che l'eccentricità \(e\) sia piccola (per cui \(e^k\ll 1\,k=1,2,3,\ldots\)), sviluppare in serie l'anomalia vera in funzione dell'anomalia eccentrica. Il risultato è la serie ordinata secondo i seni dell'anomalia eccentrica

\[\nu = E + \!\left(e+{e^3\over 4}+\cdots\right)\!\sin E +\! \left({e^2\over 4}+\cdots\right)\!\sin 2E +\! \left({e^3\over 12}+\cdots\right)\!\sin 3E + \cdots\tag{4.25}\label{eq:4.25} \]

cosicché utilizzando lo sviluppo (3.30) già presentato, e riordinando i termini, diviene possibile esprimere \(\nu\) direttamente in funzione di \(M\) ottenendo la serie

\[ \nu = M + \!\left(2e - {e^3\over 4} + \cdots\right)\!\sin M + \!\left({5e^2\over 4} - {11e^4\over 24} + \cdots\right)\!\sin 2M +\! \left({13e^3\over 12} - {43e^5\over 64} + \cdots\right)\!\sin 3M + \cdots\tag{4.26}\label{eq:4.26} \]

dalla quale discende la differenza tra le due anomalie, \(\nu - M\) e indicata come l'equazione del centro

\[ \bbox[border:1px solid red,15px,#ffffcc]{ \nu - M = \left(2e - {e^3\over 4} + \cdots\right)\!\sin M + \!\left({5e^2\over 4} - {11e^4\over 24} + \cdots\right)\!\sin 2M + \!\left({13e^3\over 12} - {43e^5\over 64} + \cdots\right)\!\sin 3M + \cdots\tag{4.27}\label{eq:4.27} }\]

Arrestando lo sviluppo ai termini più significativi questa differenza, espressa in radianti, si riduce ad una semplice funzione della sola anomalia media

\[ \bbox[border:1px solid blue,15px,#e9fdff]{ \nu - M = 2e\sin M + {5e^2\over 4}\sin 2M + {13e^3\over 12}\sin 3M.\tag{4.28}\label{eq:4.28} } \]

Di conseguenza l'anomalia vera si calcola come

\[ \bbox[border:1px solid blue,15px,#e9fdff]{ \nu = M + 2e\sin M + {5e^2\over 4}\sin 2M + {13e^3\over 12}\sin 3M\tag{4.29}\label{eq:4.29} } \]

e tramite la (3.6) ne deriva pure il modulo del raggio vettore.

Utilizzando come controllo il valore dell'esempio precedente \eqref{eq:4.18} rappresentato dalle sole cifre significative \(M=3.80167\,\hbox{rad}\), troviamo per l'anomalia vera il valore \(\nu=3.78152\,\hbox{rad}=216.665^\circ\) che differisce dal risultato \eqref{eq:4.21} per meno di \(10^{-5}\,\hbox{deg}\), mentre con la (3.9) otteniamo \(r=1.0133\,\hbox{UA}\) praticamente coincidente con il risultato \eqref{eq:4.22}.

Per ottenere quindi la longitudine vera \(L_E\) dalla \eqref{eq:4.24}, non ci rimane che determinare la corrispondente longitudine media \(l_E\).

4.5 Calcolo della longitudine eclittica eliocentrica e geocentrica

Il calcolo della longitudine eliocentrica \(L\) nella espressione

\[L_E=l_E+(\nu - M)\tag{4.30}\label{eq:4.30} \]

richiede ora la determinazione della longitudine media \(l_E\) che, in funzione del tempo \(t\), è espressa dalla (3.46). Poiché intendiamo considerare come dati iniziali quelli relativi all'epoca J2000.0 la riscriviamo utilizzando per l'anomalia media la (3.53)

\[l_E=\omega + {2\pi\over{\cal P}}(t-t_0)+M_0=(\omega+M_0)+{2\pi\over{\cal P}}(t-t_0)\tag{4.31}\label{eq:4.31} \]

e quindi, come già fatto per le anomalie, esprimiamo il tempo in giorni trascorsi da J2000.0 con \(\Delta t=t-t_0\). Se \(t=t_0\), la longitudine media \(l_0\) all'epoca J2000.0 è data dalla somma della longitudine del perielio \(\omega_{2000}\) e dell'anomalia media \(M_0\) cioè

\[\eqalign{l_0&=\omega_{2000} + M_0\cr &=102.93768193^\circ +357.5291^\circ\cr &=460.4668^\circ=100.4668^\circ=1.75348\,\hbox{rad}.\cr}\tag{4.32}\label{eq:4.32} \]

dove si sono inseriti i dati dell'epoca

Siccome la longitudine \(l_E\) è riferita all'equinozio, il periodo \(\cal P\) che compare nella \eqref{eq:4.31} deve essere quello che definisce l'intervallo tra due passaggi all'equinozio di primavera ovvero l'anno tropico. Poiché il suo valore è (appendice D)

\[{\cal P}_{t}=365.242189\,\hbox{d},\tag{4.33}\label{eq:4.33} \]

l'espressione della longitudine media in funzione del tempo diviene

\[l_E=l_0 + {2\pi\over{\cal P}_{t}}\Delta t.\tag{4.34}\label{eq:4.34} \]

e inserendo i valori numerici diventa

\[ \bbox[border:1px solid red,15px,#ffffcc]{ \eqalign{l_E&=100.4668^\circ+{360^\circ\over 365.242189}\times\Delta t\quad \hbox{(deg)}\cr &=100.4668^\circ+0.985647\,\Delta t\quad \hbox{(deg)}\cr &= 1.75348+0.0172028 \Delta t\quad\hbox{(rad)}.\cr} \tag{4.35}\label{eq:4.35} } \]

Ripresa l'equazione del centro \eqref{eq:4.28}, giungiamo alla formula finale per la longitudine vera eliocentrica \(L_E\)

\[ \bbox[border:1px solid red,15px,#ffffcc]{ L_E=1.75348+0.0172028\, \Delta t + 2e\sin M + {5e^2\over 4}\sin 2M + {13e^3\over 12}\sin 3M.\qquad \hbox{(rad)}\tag{4.36}\label{eq:4.36} } \]

Queste due ultime formule ci permettono di fare un controllo sul risultato ottenuto precedentemente seppure ottenuto con l'ipotesi approssimativa della costanza della longitudine del perielio. In particolare, per la data del 12 agosto 2025, 12:00 \(UTC\) e con i dati numerici già acquisiti, \(\Delta t=9355\,\hbox{d}\) \eqref{eq:4.16}, \(M=3.80167\,\hbox{rad}\) \eqref{eq:4.18}, eccentricità \(e=0.0167\), otteniamo le longitudini

\[l_E= 141.194^\circ,\qquad L_E=140.048^\circ\tag{4.37}\label{eq:4.37} \]

che differiscono dai valori \eqref{eq:4.23}, rispettivamente per circa \(1.6^\circ\) e \(0.7^\circ\).

Le formule sulla longitudine media e vera ottenute in questa sezione sono riferite al sistema eclittico eliocentrico EEC in quanto rispettive proiezioni sulla sfera celeste dell'anomalia vera (3.45) e di quella media (3.46) ma, per i calcoli che seguiranno, conviene riportarle al sistema eclittico geocentrico GEC.

Pertanto, richiamata la (2.35) dove le rispettive longitudini differiscono di un angolo di \(180^\circ\), non ci resta che sommare un tale angolo alle precedenti per cui le formule in GEC diventano

\[\eqalign{l_G&=280.4668^\circ+0.985647\,\Delta t\quad \hbox{(deg)}\cr &= 4.89507+0.0172028\, \Delta t\quad\hbox{(rad)}.\cr} \tag{4.38}\label{eq:4.38} \]

e di conseguenza

\[ \eqalign{L_G &= l_G+(\nu-M)\cr &=(4.89507+0.0172028\, \Delta t)+(\nu-M)\qquad \hbox{(rad)}\cr &=4.89507+0.0172028\, \Delta t + 2e\sin M + {5e^2\over 4}\sin 2M + {13e^3\over 12}\sin 3M.\qquad \hbox{(rad)}.\cr} \tag{4.39}\label{eq:4.39} \]

Poiché intendiamo mantenere l'accordo con le formule presenti nel testo già citato di J. Meeus che garantiscono una precisione di \(0.01^\circ\), per noi più che sufficiente, riportiamo di seguito le formule della longitudine media e vera ottenute in questa sezione (con una minima variazione nel termine costante) e aggiungendovi un ulteriore termine quadratico che, pur essendo molto piccolo, permette di migliorare la precisione. Pertanto, la longitudine media geocentrica diviene

\[ \bbox[border:1px solid blue,15px,#e9fdff]{ \eqalign{l&=280.46645^\circ+0.985647\,\Delta t+2.2727\times 10^{-13}\Delta t^2\quad \hbox{(deg)}\cr &= 4.895063+0.0172028\, \Delta t+3.96667\times 10^{-15}\Delta t^2\quad\hbox{(rad)}.\cr} \tag{4.40}\label{eq:4.40} } \]

dove, per la prima volta, abbiamo omesso il pedice 'G' in quanto, da questo punto, entrambe le longitudini le intenderemo automaticamente riferite al sistema geocentrico. Per la longitudine vera \(L\) abbiamo invece

\[ \bbox[border:1px solid blue,15px,#e9fdff]{ \eqalign{L &= l+(\nu-M)\cr &=\left(4.895063+0.0172028\, \Delta t+3.96667\times 10^{-15}\Delta t^2\right)+(\nu-M)\qquad \hbox{(rad)}\cr &=4.895063+0.0172028\, \Delta t+3.96667\times 10^{-15}\Delta t^2 + 2e\sin M + {5e^2\over 4}\sin 2M + {13e^3\over 12}\sin 3M.\qquad \hbox{(rad)}.\cr} \tag{4.41}\label{eq:4.41} } \]

Solo per completezza, terminiamo questa sezione introducendo gli sviluppi temporali per l'eccentricità e per l'obliquità in funzione di potenze dell'intervallo \(\Delta t\), espressioni riprese dal testo citato. Data la piccolezza dei termini ci fermiamo al secondo ordine per l'eccentricità e al terzo per l'obliquità.

Pertanto, la variazione a lungo termine dell'eccentricità (media), dovuta principalmente all'interazione con i pianeti, è data da

\[ \bbox[border:1px solid blue,15px,#e9fdff]{ e=0.016708617 - 1.15091\times 10^{-9}{\Delta t} - 9.26484\times 10^{-17}{\Delta t^2},\tag{4.42}\label{eq:4.42} } \]

mentre quella dell'obliquità (media) è data da

\[ \bbox[border:1px solid blue,15px,#e9fdff]{\epsilon=23.43929111111111 - 3.560346794433036\times 10^{-7} \Delta t - 1.2284827472872003 \times 10^{-16} \Delta t^2 + 1.033533670150092 \times 10^{-20} \Delta t^3\qquad\hbox{(deg)} \tag{4.43}\label{eq:4.43} } \]

e tale dipendenza dal tempo è dovuta principalmente ai momenti torcenti esercitati dal Sole e dalla Luna sul rigonfiamento equatoriale terrestre.

Lo sviluppo dell'anomalia vera in termini di quella media \eqref{eq:4.27} e le formule che, pur approssimate, derivano per le due longitudini, ci permettono di evitare il calcolo con metodi numerici dell'anomalia eccentrica \(E\) quale soluzione dell'equazione di Keplero nonché il calcolo di \(\nu\) tramite la (3.38).

Possiamo così conoscere la longitudine solare \(L\) tramite una successione di calcoli elementari quali sono le normali operazioni aritmetiche e trigonometriche e, in tal modo, esprimendo la longitudine come funzione direttamente dipendente dal tempo \(\Delta t\).

I momenti principali di questo processo sono dunque:

  1. trasformare data e ora riferiti al meridiano di Greenwich in termini di giorni giuliani trascorsi dall'epoca J2000.0 per ottenere con la \eqref{eq:4.14} il parametro temporale \(\Delta t\).
  2. Calcolare l'anomalia media \(M\) con \eqref{eq:4.15}.
  3. Calcolare l'equazione del centro con \eqref{eq:4.28} eventualmente utilizzando per l'eccentricità la \eqref{eq:4.42}.
  4. Calcolare l'anomalia vera con \eqref{eq:4.29} e di conseguenza il raggio vettore (3.6).
  5. Calcolare la longitudine media \(l\) con \eqref{eq:4.40}.
  6. Calcolare la longitudine vera \(L\) sommando i precedenti due risultati oppure direttamente con la \eqref{eq:4.41} (eventualmente utilizzando per l'eccentricità la \eqref{eq:4.42}).

Lo schema di questo procedimento è riportato nel diagramma di flusso di figura 4.2.

Fig. 4.2. Diagramma di flusso per il calcolo di anomalia, longitudini e raggio vettore.