Il Sole percorre nel suo moto apparente sulla sfera celeste l'intero arco dell'eclittica in un periodo di un anno siderale e, delle sue due coordinate eclittiche l'unica che dipende dal tempo è la longitudine \(L\) mentre, per definizione, la sua latitudine è sempre nulla. Ne segue che, se determiniamo la dipendenza dal tempo della longitudine dovremmo essere in grado di dedurre con le opportune trasformazioni di coordinate, sia le coordinate equatoriali sia quelle nel sistema locale.
D'altra parte il moto apparente del Sole sussiste solo per ragioni prospettiche mentre in realtà è dovuto al moto della Terra attorno al Sole. Questo moto, come affermato dalla prima legge di Keplero avviene lungo una ellisse cioè lungo una curva piana chiusa caratterizzata da due fuochi, uno dei quali è occupato dal Sole. Converrà quindi richiamare alcune proprietà di una tale orbita evidenziando soprattutto i parametri che permettono di descrivere il moto della Terra lungo di essa.
La nozione classica riportata in tutti i testi di scuola superiore parte dalla sua definizione: dati due punti fissi in un sistema cartesiano \(Oxy\), i fuochi, disposti simmetricamente rispetto all'origine \(O\), \(F_1(c,0)\) e \(F_2(-c,0)\) e quindi separati da una distanza \(2c>0\), l'ellisse è il luogo dei punti \(P(x,y)\) tale da avere costante la somma delle distanze di \(P\) da \(F_1\) e \(F_2\). Se tale somma è \(2a\), i punti \(P\) soddisfano la relazione
\[ PF_1 + PF_2 = 2a \tag{3.1}\label{eq:3.1} \]con \(PF_1=\sqrt{(x-c)^2+y^2}\) e \(PF_2=\sqrt{(x+c)^2+y^2}\). Dopo alcuni passaggi algebrici, si ottiene la forma standard dell'ellisse
\[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\qquad\hbox{con}\qquad b^2=a^2-c^2: \tag{3.2}\label{eq:3.2} \]I parametri \(a\) e \(b\) sono definiti rispettivamente come semiasse maggiore e minore dell'ellisse mentre il parametro \(c\) indica la distanza dei fuochi dall'origine. Il rapporto \(e=c/a\) viene detto eccentricità e rappresenta un valore compreso nell'intervallo \(0\leq e< 1\): se \(e=0\) l'ellisse si riduce ad una circonferenza di raggio pari ai due semiassi \(a=b\) mentre al crescere di \(e\) avvicinandosi ad \(1\), l'ellisse assume una forma sempre più schiacciata: la figura 3.1 rappresenta un'ellisse con \(a=1\), \(b=0.5\) e \(e=0.866\).
La classica forma cartesiana \eqref{eq:3.2} non è particolarmente adatta a descrivere il moto della Terra mentre molto più conveniente risulta la forma polare. Per ottenerla, con riferimento alla figura 3.2, poniamo l'origine \(O\) nel fuoco \(F_1\) e siano \(\mathbf{i}\), \(\mathbf{j}\) (e \(\mathbf{k}\)) i versori ortogonali (non riportati in figura 3.2) di una terna destrorsa che determinano rispettivamente le direzioni degli assi \(x\), \(y\) (e \(z\)). Sia \(\nu\) l'angolo formato dall'asse \(Ox\) con il vettore \(\mathbf{F_1P}\) che individua la posizione del punto \(P\) (più avanti lo chiameremo anomalia vera) e \(r\) il suo modulo \(r=|\mathbf{F_1P}|\).
In un tale sistema, detto perifocale (ma nel seguito lo indicheremo anche come orbitale/polare) in quanto, se in \(O\) poniamo il Sole, l'asse \(x\) è orientato verso il punto \(R\) rappresentativo del perielio, segue che
\[ PF_1 = r \tag{3.3}\label{eq:3.3} \]mentre, poiché \(F_1F_2=2c\) risulta
\[ \eqalign{(PF_2)^2&=(PH)^2+(F_2H)^2=(PF_1\sin\nu)^2+(F_1F_2+F_1H)^2& \cr &=(r \sin\nu)^2+(2c+r\cos\nu)^2\cr &=r^2\sin^2\nu+4c^2+4cr\cos\nu+r^2\cos^2\nu\cr &=r^2+4c^2+4cr\cos\nu\cr} \]da cui, per \eqref{eq:3.1} e \eqref{eq:3.3}, abbiamo
\[ PF_1 + PF_2 = r + \sqrt{r^2 + 4c^2 + 4cr\cos\nu} = 2a. \tag{3.4}\label{eq:3.4} \]Isolata la radice
\[ \sqrt{r^2 + 4c^2 + 4cr\cos\nu} = 2a - r \]e elevando al quadrato ambo i membri
\[ r^2 + 4c^2 + 4cr\cos\nu = 4a^2 - 4ar + r^2 \]da cui, semplificando \(r^2\) e riordinando
\[ r=\frac{a^2-c^2}{a+c\cos\nu}. \]Volendo riscriverla in termini dell'eccentricità \(e=c/a\) modifichiamo la precedente come
\[ r={a^2(1-c^2/a^2)\over a(1+c/a\cos\nu)} \tag{3.5}\label{eq:3.5} \]dalla quale, otteniamo la forma polare cercata. In definitiva, il legame tra le due coordinate polari è
\[\bbox[border:1px solid red,15px,#ffffcc]{ r=\frac{a(1-e^2)}{1+e\cos\nu} \tag{3.6}\label{eq:3.6} } \]dalla quale possiamo dedurre facilmente sia il raggio vettore della Terra quando passa al perielio cioè nel punto in cui è più vicina al Sole, sia all'afelio quando è più lontana (rispettivamente, punti \(R\) e \(T\) in fig. 3.2).
\[\eqalign{\hbox{perielio:}\,R\quad &\nu=0\qquad r_{min}=\frac{a(1-e^2)}{1+e} = a(1-e)\cr \hbox{afelio:}\,T\quad &\nu=\pi\qquad r_{max}=\frac{a(1-e^2)}{1-e} = a(1+e).\cr} \tag{3.7}\label{eq:3.7} \]Poiché nella terna cartesiana \(Oxyz\) associata al sistema perifocale valgono le relazioni
\[x=r\cos\nu,\qquad y=r\sin\nu,\qquad z=0,\]il vettore posizione di \(P\) è anche
\[\bbox[border:1px solid red,15px,#ffffcc]{ \mathbf{r} = x\,\mathbf{i} + y\,\mathbf{j} +0\,\mathbf{k}= (r\cos\nu)\,\mathbf{i} + (r\sin\nu)\,\mathbf{j}+0\,\mathbf{k}} \tag{3.8}\label{eq:3.8} \]e ripresa la \eqref{eq:3.6} ne deriva l'espressione vettoriale
\[ \bbox[border:1px solid red,15px,#ffffcc]{ \mathbf{r} = \frac{a(1-e^2)}{1+e\cos\nu}(\cos\nu\,\mathbf{i}+\sin\nu\,\mathbf{j}+0\,\mathbf{k}).} \tag{3.9}\label{eq:3.9} \]Sulla base della figura 3.3 è pure possibile dedurre un'ulteriore e interessante proprietà dell'ellisse che la lega alle due circonferenze aventi il medesimo centro dell'ellisse e raggi uguali ai due suoi semiassi.
Sia \(Q\) un punto qualsiasi della circonferenza di raggio \(OQ=a\) e \(K\) la sua proiezione sull'asse \(x\), \(R\) il punto di intersezione di \(OQ\) con la circonferenza di raggio \(OR=b\) e \(H\) la proiezione di \(R\) su \(x\). Definito l'angolo \(\nu=\angle (KOQ)\), sia \(P(x,y)\) il punto cui assegniamo
\[\eqalign{\hbox{ascissa}\qquad &x=OK=OQ\cos\nu=a\cos\nu\cr \hbox{ordinata}\qquad &y=KP=HR=OR\sin\nu=b\sin\nu.\cr} \]La verifica che \(P\) appartiene a un'ellisse è immediata in quanto le espressioni
\[ x=a\cos\nu\quad\hbox{e}\quad y=b\sin\nu\tag{3.10}\label{eq:3.10} \]implicano
\[\cos\nu=\frac{x}{a}\quad\hbox{e}\quad \sin\nu=\frac{y}{b}\]da cui, per l'identità goniometrica fondamentale
\[\cos^2\nu+\sin^2\nu=1\qquad\Longrightarrow\qquad \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\]che è l'equazione canonica dell'ellisse \eqref{eq:3.2}. Poiché è pure
\[KQ=a\sin\nu \]ne discende il rapporto tra le ordinate di \(Q\) e \(P\)
\[{KQ\over KP}={a\sin\nu\over b\sin\nu}={a\over b}\tag{3.11}\label{eq:3.11}\]che, come dimostreremo nella successiva sezione 3.2, esprime pure il rapporto esistente tra l'area del cerchio di raggio \(a\), cioè \({\cal A}_c=\pi a^2\), con l'area \({\cal A}=\pi a b\) dell'ellisse
\[ {{\cal A}_c\over {\cal A}}={\pi a^2\over \pi ab}={a\over b}.\tag{3.12}\label{eq:3.12} \]Infine va sottolineato come la coppia di coordinate \eqref{eq:3.10}
\[\bbox[border:1px solid red,15px,#ffffcc]{ \cases{\eqalign{x &= a\cos\nu\cr y &= b\sin\nu\cr}}\tag{3.13}\label{eq:3.13} } \]rappresenti la forma parametrica dell'ellisse.
Per le ragioni esposte nella precedente sezione, intendiamo ora determinare la dipendenza dal tempo \(t\) della posizione della Terra sul suo percorso ellittico attorno al Sole e a tal fine osserviamo che la legge della gravitazione implica in un moto soggetto ad una forza centrale la conservazione del momento angolare. Come conseguenza, posta in \(P\) la Terra e in \(S\) il Sole (fig. 3.4), è costante il rapporto tra l'area \(d{\cal A}\) spazzata dal raggio vettore \(SP\) e il tempo \(dt\) durante il quale percorre l'arco \(\overset{\frown}{RP}\) corrispondente. Il rapporto \(d{\cal A}/dt\) definisce la velocità areolare che, pertanto, è una costante del moto e si conserva. In termini finiti, piuttosto che differenziali, questa costanza si riduce alla seconda legge di Keplero che stabilisce la proporzionalità tra l'area spazzata dal raggio vettore con i tempi impiegati a percorrere l'orbita corrispondente.
Con riferimento alla figura 3.4 siano \(S(c,0)=(a e,0)\) le coordinate del Sole, \(R(a,0)\) quelle del perielio e \(P\) la posizione della Terra al tempo \(t\). Se indichiamo con \(T\) l'istante in cui la Terra passa per il perielio, l'intervallo di tempo \(t-T\) rappresenta il tempo trascorso dal passaggio al perielio, durante il quale la Terra percorre l'arco di ellisse \(\overset{\frown}{RP}\) (in rosso in fig. 3.4).
Detto \(\cal P\) il periodo di tempo per compiere una rivoluzione completa attorno al Sole, periodo che definisce l'anno siderale di \(365.2564\,\) giorni, la seconda legge di Keplero implica
\[ {t-T\over {\cal P}}={{\cal A}\over {\cal A_e}}.\tag{3.14}\label{eq:3.14} \]in quanto nell'intervallo \(t-T\) viene spazzata l'area del settore ellittico \(SRP\) mentre nel tempo \({\cal P}\) viene spazzata l'intera area dell'ellisse \(A_e=\pi ab\). Esplicitando l'area del settore ellittico \(\cal A\) abbiamo
\[ {\cal A}=\frac{\pi ab}{\cal P}(t-T)\tag{3.15}\label{eq:3.15} \]per cui risulta necessario determinare l'area di tale settore in termini di grandezze misurabili. A tale scopo definiamo due angoli:
essendo \(Q\) il punto rappresentato dalle coordinate \(Q(OK,KQ)=Q(a \cos E,a \sin E)\) appartenente alla circonferenza avente raggio uguale al semiasse maggiore dell'ellisse (fig. 3.5).
L'area \(\cal A\) è data pure dalla differenza tra il trapezoide \(KRP\) delimitato dalla semiellisse positiva, con l'area del triangolo \(KSP\) (fig. 3.6 sinistra) ossia
\[ {\cal A}={\cal A}{(KRP)}-{\cal A}{(KSP)}\tag{3.16}\label{eq:3.16} \]
e poiché la semiellisse positiva ha equazione
\[ y={b\over a}\sqrt{a^2-x^2} \]l'area del trapezoide \(KRP\) è data dall'integrale definito
\[ {\cal A}{(KRP)}=\int_{x_K}^{x_R}{b\over a}\sqrt{a^2-x^2}dx={b\over a}\int_{x_K}^{x_R}\sqrt{a^2-x^2}dx={b\over a}{\cal A}(KRQ),\tag{3.17}\label{eq:3.17} \]dove abbiamo sostituito l'integrale con \({\cal A}(KRQ)\), area del trapezoide definito dalla semicirconferenza positiva (fig. 3.6 destra). L'area del triangolo \(KSP\) è invece
\[ {\cal A}{(KSP)}=\frac{1}{2}KS\cdot KP \tag{3.18}\label{eq:3.18} \]per cui riscriviamo la \eqref{eq:3.16} come
\[ {\cal A}={b\over a}{\cal A}(KRQ) - {1\over 2}KS\cdot KP.\tag{3.19}\label{eq:3.19} \]Come detto, l'area \({\cal A}(KRQ)\) nella \eqref{eq:3.17} è interpretabile come quella del trapezoide \(KRQ\) definito dalla semicirconferenza di raggio \(a\) e rappresentato in fig. 3.6 (destra) in colore celeste: per questa sua proprietà possiamo evitare il suo calcolo esplicito (in contesti scolastici spesso affrontato per dimostrare l'area di un cerchio) in quanto il suo valore è anche dato dalla differenza tra l'area del settore circolare \({\cal A}(ORQ)\) con l'area del triangolo \({\cal A}(OKQ)\), aree queste ultime facilmente calcolabili. Pertanto
\[ {\cal A}(KRQ)={\cal A}(ORQ)-{\cal A}(OKQ)= {1\over 2}OR^2\angle (QOR)={1\over 2}a^2 E-{1\over 2}OK\cdot KQ.\tag{3.20}\label{eq:3.20} \]Inserita quest'ultima espressione nella \eqref{eq:3.19} otteniamo
\[ {\cal A}={b\over a}\left({1\over 2}a^2E-{1\over 2}OK\cdot KQ\right)-{1\over 2}KS\cdot KP={ab\over 2}E-{b\over 2a}OK\cdot KQ-{1\over 2}KS\cdot KP.\tag{3.21}\label{eq:3.21} \]Poiché per la \eqref{eq:3.11} è pure \(KP=(b/a)KQ\)
\[ {\cal A}={ab\over 2}E-{b\over 2a}OK\cdot KQ-{1\over 2}KS\cdot \left({b\over a}KQ\right)\!, \]ne deriva
\[ {\cal A}={ab\over 2}E-{b\over 2a}(OK+KS)KQ. \]Poiché \(OK+KS=OS=c=ae\) e \(KQ=a\sin E\) giungiamo alla seguente espressione per l'area \({\cal A}\) del settore ellittico \(SRP\)
\[ {\cal A}={ab\over 2}E- {b\over 2a}(ae) a\sin E={ab\over 2}(E-e\sin E).\tag{3.22}\label{eq:3.22} \]Inserito nella precedente il risultato \eqref{eq:3.15} otteniamo
\[ {ab\over 2}(E-e\sin E) = {\pi ab\over \cal P}(t-T) \]dalla quale, semplificando e riordinando giungiamo alla seguente relazione
\[ E - e\sin E = \frac{2\pi}{\cal P}(t-T).\tag{3.23}\label{eq:3.23} \]La grandezza al secondo membro rappresenta evidentemente l'angolo che il pianeta \(P\) avrebbe se si muovesse a velocità angolare costante lungo l'ipotetica orbita circolare di periodo orbitale \(\cal P\) e semiasse maggiore \(a\). Indicata questa importante quantità con \(M\), detta anomalia media e rilevata la sua proporzionalità con il tempo trascorso dal passaggio al perielio, la precedente diviene
\[ \bbox[border:1px solid red,15px,#ffffcc]{ M=\frac{2\pi}{\cal P}(t-T)}\tag{3.24}\label{eq:3.24} \]e la \eqref{eq:3.23} assume la forma definitiva
\[ \bbox[border:1px solid red,15px,#ffffcc]{ E - e\sin E = M.}\tag{3.25}\label{eq:3.25} \]Questa fondamentale relazione tra l'anomalia eccentrica \(E\) e l'anomalia media \(M\) è detta equazione di Keplero ed è una equazione trascendente che, pur coinvolgendo funzioni elementari, non ammette soluzioni analitiche esplicite. In altre parole non è possibile esprimere \(E\) in funzione di \(M\) tramite funzioni standard, ma come vedremo di seguito, si potrà comunque e con qualche approssimazione, ottenere sue soluzioni in forma di funzione.
Tuttavia la soluzione numerica di \eqref{eq:3.25} non presenta particolari difficoltà per cui a partire da un valore iniziale di \(M\) si può ottenere, applicando uno dei metodi numerici disponibili, il valore di \(E\) con la precisione voluta: l'esempio nella nota seguente intende sottolineare tale aspetto.
Nota 3.1 Come esempio di soluzione dell'equazione di Keplero intendiamo evidenziare come, al variare del tempo \(t\) contenuto nell'anomalia media si possa ottenere, per ora graficamente e/o numericamente, l'anomalia eccentrica \(E\).
Nel primo caso, se pensiamo come assegnata l'anomalia media \(M\) e riscriviamo la \eqref{eq:3.25} come
\[E-M=e\sin E,\tag{3.26}\label{eq:3.26} \]possiamo interpretare la ricerca delle sue soluzioni come la ricerca delle intersezioni delle due curve del sistema
\[\cases{y=E-M\cr y=e\sin E\cr} \tag{3.27}\label{eq:3.27}\]dove la prima rappresenta la retta in funzione di \(E\), \(y=E-M\), mentre la seconda curva riproduce il grafico del seno \(y=e\sin E\) con ampiezza pari alla eccentricità (fig. 3.7)
Se ora consideriamo l'istante di passaggio al perielio come quello iniziale ponendo \(T=0\) e fissiamo un valore arbitrario per l'istante \(t\), per esempio \(t=100\,\hbox{d}\), dalla \eqref{eq:3.24} segue che \[ {\cal P}=365.2564\,\hbox{d}\qquad\Longrightarrow\qquad M={2\pi t\over {\cal P}}=1.72021\,\hbox{rad}\tag{3.28}\label{eq:3.28} \]
cosicché le soluzioni di \eqref{eq:3.27} discendono, per prova ed errori, ricercando graficamente l'anomalia eccentrica \(E_0\) che caratterizza il punto di intersezione tra le curve del sistema \eqref{eq:3.27}.
In alternativa più formale possiamo applicare uno qualsiasi dei numerosi metodi numerici il più semplice dei quali consiste nel metodo di Newton-Raphson che assicura, in questo caso e a partire dalla funzione \(f(E)=E-e\sin E-M\), una veloce convergenza come dimostra la tabella seguente nella quale si è utilizzato il valore per l'eccentricità \(e=0.0167\) e come input iniziale \(E=2\).
| passo | \(E\,\hbox{(rad)}\) | \(f(E)\,\hbox{(rad)}\) |
|---|---|---|
| 1 | \(2\) | \(1.73722\) |
| 2 | \(1.73722\) | \(1.73668\) |
| 3 | \(1.73668\) | \(1.73668\) |
La soluzione dell'anomalia eccentrica trovata numericamente è \(E_0=1.73668\) rad che, come ci si aspetta, è relativamente vicina a \(M\) in quanto differisce dalla \eqref{eq:3.28} di soli \(0.0165\,\hbox{rad}\).
Quest'ultima osservazione ci suggerisce di applicare questo metodo numerico nell'intero arco dell'anno, per esempio in intervalli di 10 giorni. Il grafico di figura 3.8 conferma l'aspettativa che l'anomalia eccentrica sia quasi uguale all'anomalia media tantoché la linea rossa in figura, sottostante ai singoli dati numerici, rappresenta nient'altro che la retta \(y=x\) bisettrice del quadrante.
Approfondiamo quest'ultimo aspetto proponendo un secondo grafico (fig. 3.9) dove in ordinata rappresentiamo la differenza \(E-M\) e in ascissa l'anomalia media \(M\). L'andamento di tale differenza è manifestamente descritto dalla funzione seno compresa tra gli estremi \(\pm e\) ossia dalla funzione \(E-M=e\sin M\) dove in luogo dell'anomalia eccentrica \(E\) ad argomento del seno ora compare l'anomalia media.
Siamo quindi giunti ad una relazione, evidentemente approssimata che lega direttamente \(E\) con \(M\) come
\[E\approx M+e\sin M\tag{3.29}\label{eq:3.29} \]e che rappresenta una soluzione dell'equazione di Keplero. Tale approssimazione è evidentemente tanto più accurata quanto più piccolo è il valore di \(e\) dato che, al suo aumento, il grafico associato (fig. 3.10) si allontana dalla bisettrice.
Un approfondimento, decisamente più formale, di tale risultato si ottiene sfruttando lo sviluppo in serie di Lagrange per le funzioni implicite: in tal caso il legame tra le due anomalie è dato dalla serie (che qui ci limitiamo a riportare)
\[E=M+\!\left(e-{e^3\over 8}+\cdots\right)\!\sin M+\!\left({e^2\over 2}-{e^4\over 6}+\cdots\right)\!\sin 2M+\cdots\tag{3.30}\label{eq:3.30} \]dove i coefficienti dei seni sono delle serie di potenze dell'eccentricità. È su queste basi che le soluzioni dell'equazione di Keplero possono essere espresse, come vedremo, in termini funzionali seppure in forma approssimata.
Finora, noti i parametri orbitali \(a\), \(e\) e \(T\) e, fissato un certo istante temporale \(t\), siamo in grado di determinare l'anomalia eccentrica \(E\) in termini dell'anomalia media ma, per risalire alla posizione della Terra sulla sua orbita è necessario conoscere pure l'anomalia vera \(\nu\) e il raggio vettore \(\mathbf{r}\) \eqref{eq:3.9} che pure dipende da \(\nu\). A tale scopo e con l'aiuto di una qualsiasi immagine di figura 3.6 osserviamo che
\[ OK=OS+KS \]ma essendo \(OK=a \cos E\), \(KS=r \cos\nu\) e \(OS=c=ae\), risulta
\[a\cos E = ae + r\cos\nu. \tag{3.31}\label{eq:3.31} \]Associata quest'ultima all'equazione polare dell'ellisse data dalla \eqref{eq:3.6}, otteniamo un sistema di due equazioni nelle due incognite \(r\) e \(\nu\)
\[\cases{a\cos E = a e + r\cos\nu \cr r = \displaystyle{a(1-e^2)\over 1+e\cos\nu}.}\tag{3.32}\label{eq:3.32} \]Per risolverlo, eliminiamo innanzitutto \(r\)
\[a\cos E = ae + \frac{a(1-e^2)\cos\nu}{1+e\cos\nu} \]dalla quale, dividendo per \(a\) e moltiplicando per il denominatore, discende l'equazione
\[\cos E+e\cos E\cos\nu=e+e^2\cos\nu+\cos\nu-e^2\cos\nu \]che riordinata dà
\[e\cos E\cos\nu-\cos\nu=e-\cos E, \]dalla quale, portando a primo membro \(\cos\nu\), giungiamo alla
\[\cos\nu=\frac{\cos E - e}{1 - e\cos E}.\tag{3.33}\label{eq:3.33} \]Questa equazione ci permette di ottenere l'anomalia vera \(\nu\) in funzione dell'anomalia eccentrica \(E\) che, come visto precedentemente è almeno implicitamente, dipendente dall'anomalia media \(M\) e, pertanto, dal tempo. In alternativa a quest'ultima possiamo dedurre una forma più opportuna se utilizziamo l'identità goniometrica
\[\tan^2\!\left(\frac{\theta}{2}\right)={\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}}.\tag{3.34}\label{eq:3.34} \]Inserita la \eqref{eq:3.33} nella \eqref{eq:3.34} abbiamo
\[\tan^2\left(\frac{\nu}{2}\right)={\frac{1-\displaystyle{\left(\frac{\cos E - e}{1 - e\cos E}\right)}}{1+\displaystyle{\left(\frac{\cos E - e}{1 - e\cos E}\right)}}}={\frac{(1 - e\cos E) - (\cos E - e)}{(1 - e\cos E) + (\cos E - e)}}\tag{3.35}\label{eq:3.35} \]dalla quale fattorizzando, discende
\[\tan^2\!\left(\frac{\nu}{2}\right)={\frac{1 - e\cos E - \cos E + e}{1 - e\cos E + \cos E - e}}={\frac{(1+e)(1-\cos E)}{(1-e)(1+\cos E)}}.\tag{3.36}\label{eq:3.36} \]Se riutilizziamo ancora l'identità \eqref{eq:3.34}, la precedente si semplifica in
\[\tan^2\!\left(\frac{\nu}{2}\right)={\frac{1+e}{1-e}}\tan^2\!\left(\!\frac{E}{2}\right).\tag{3.37}\label{eq:3.37} \]dalla quale, estraendo la radice quadrata e scegliendo la sola radice positiva in quanto entrambi gli angoli, \(\nu/2\) e \(E/2\) appartengono al medesimo quadrante cosicché le rispettive tangenti hanno lo stesso segno, abbiamo in definitiva la
\[ \bbox[border:1px solid red,15px,#ffffcc]{ \tan\left(\frac{\nu}{2}\right)=\sqrt{\frac{1+e}{1-e}}\!\tan\!\left(\!\frac{E}{2}\right)\tag{3.38}\label{eq:3.38} }\]che ci fornisce l'anomalia vera in termini di quella eccentrica
\[ \nu=2\arctan\!\left[\sqrt{1+e\over 1-e}\tan\!\left(\!{E\over 2}\right)\right]\!. \]Ripresa la prima equazione del sistema \eqref{eq:3.32},
\[r\cos\nu=a\cos E-ae\]da questa ricaviamo il raggio vettore \(r\). Difatti, riscritta l'equazione polare dell'ellisse \eqref{eq:3.6} come
\[r+r e\cos\nu=a(1-e^2),\]siamo in grado di eliminare il termine \(r\cos\nu\) comune alle due ultime equazioni
\[r+e(a\cos E-ae)=a(1-e^2) \]dalla quale discende che il modulo del vettore posizione è
\[ \bbox[border:1px solid red,15px,#ffffcc]{ r=a(1-e\cos E).\tag{3.39}\label{eq:3.39} } \]Le formule \eqref{eq:3.38} e \eqref{eq:3.39} ottenute nel sistema perifocale orbitale, risolvono il problema iniziale: queste ci permettono di determinare l'anomalia vera e il raggio vettore nota l'eccentricità \(e\) dell'ellisse, il suo semiasse maggiore \(a\) e, chiaramente, l'anomalia eccentrica \(E\). Siccome quest'ultima si ottiene risolvendo l'equazione di Keplero \eqref{eq:3.25} a sua volta dipendente dall'anomalia media \(M\) \eqref{eq:3.24} caratterizzata dai parametri orbitali \(\cal P\), \(T\) e dall'istante di tempo \(t\), siamo in grado di riassumere quanto fatto finora con la sequenza di calcoli:
Per la Terra i valori dei parametri orbitali finora resisi necessari sono: il semiasse maggiore \(a=1.000001018\,\hbox{UA}\), l'eccentricità \(e=0.0167086\), l'anno siderale \({\cal P}=365.2564\,\hbox{d}\) e il passaggio al perielio \(T\). Sappiamo inoltre che la distanza media della Terra dal Sole è di circa \(1.496\times 10^8\,\hbox{km}\) e ciò definisce l'unità astronomica \(\hbox{UA}\) (si veda in appendice D una tabella di costanti astronomiche).
Note le coordinate polari \(\nu\) e \(r\) conosciamo la posizione della Terra sulla sua traiettoria piana nel sistema perifocale ma non la disposizione nello spazio tridimensionale di questo sistema. È necessario quindi determinare la giacitura del sistema perifocale e, per quanto esposto nel capitolo 2 circa gli angoli di Eulero, sono richiesti a tal fine tre angoli tramite i quali collegare, con la matrice di rotazione di Eulero 2.9 questo sistema con quello più adeguato.
Poiché i pianeti hanno piani orbitali prossimi all'eclittica, definiamo un sistema di riferimento centrato sul Sole, avente per asse \(Z\) la direzione perpendicolare al piano dell'eclittica, l'asse \(X\) orientato verso il punto \(\gamma\) mentre l'asse \(Y\) risulta a questo perpendicolare così da formare una terna cartesiana destrorsa. Il sistema è perciò caratterizzato da coordinate cartesiane eclittiche eliocentriche \(OXYZ\) (fig. 3.11).
Nella figura 3.11 (sia sinistra che destra) riportiamo il Sole \(S\) nell'origine degli assi \(X,Y,Z\) assieme al piano dell'eclittica perpendicolare a \(Z\). L'orbita piana ellittica del pianeta \(P\) è rappresentata in rosso quando la coordinata \(Z\) è positiva, in tratteggio blu quando il pianeta giace al di sotto del piano eclittico e la coordinata \(Z\) è negativa. I punti \(H\) e \(H_1\) sono rispettivamente il perielio e l'afelio dell'orbita per cui \(H_1H\) è la cosiddetta linea degli absidi. L'anomalia vera \(\nu=\angle (HSP)\), angolo che individua la posizione del pianeta sulla sua orbita nel sistema perifocale, è invece riportato a partire dalla linea \(SH\) in colore magenta nell'immagine destra di figura 3.11 e che riprende con maggior dettaglio l'immagine di sinistra.
L'estensione del piano orbitale alla sfera celeste determina con la sfera stessa un cerchio massimo che interseca l'eclittica, in due punti \(\Omega\) e \(\Omega'\), estremi della linea di intersezione tra i due piani. Il punto \(\Omega\) rappresenta, per il verso nel quale viene percorsa l'orbita, il nodo ascendente ossia la proiezione del punto nel quale l'ordinata del pianeta da negativa diviene positiva. Il nodo opposto \(\Omega'\) è chiamato nodo discendente. Definiti questi elementi possiamo esprimere la giacitura del sistema perifocale di un pianeta qualsiasi rispetto a quello eclittico scelto: con riferimento alle immagini di figura 3.11 questi sono:
Detta \(H'\) la proiezione del perielio \(H\) sulla sfera celeste cioè l'intersezione della linea degli absidi \(H_1SH\) sulla sfera (fig. 3.11, sinistra), definiamo il terzo angolo come
In termini di questi tre angoli si definisce inoltre come longitudine del perielio la somma tra la longitudine del nodo ascendente \(\theta\) e l'argomento del perielio \(\omega\)
\[\overline{\omega}=\theta+\omega.\tag{3.40}\label{eq:3.40} \]Questa ampiezza misura la posizione del pianeta sulla sua orbita rispetto al nodo ascendente e al punto \(\gamma\) e, a dispetto del nome, non è una vera e propria longitudine in quanto coinvolge due diversi piani: la longitudine del nodo è misurata lungo l'eclittica mentre l'argomento del perielio \(\omega\) è contato lungo il piano dell'orbita nella direzione del perielio.
Detta infine \(P'\) la proiezione del pianeta sulla sfera celeste (fig. 3.11, sinistra) risulta evidentemente soddisfatta l'uguaglianza \(\nu=\angle (HSP)=\angle (H'S P')\) cosicché
Ora in modo del tutto simile a quanto fatto per il pianeta \(P\) nel sistema perifocale, immaginiamo un punto mobile \(Q\) su una circonferenza di raggio pari al semiasse maggiore \(a\) e con la medesima giacitura dell'orbita di \(P\). Come già discusso a riguardo dell'equazione di Keplero \eqref{eq:3.25}, il moto di \(Q\) avviene con velocità angolare costante \(2\pi/{\cal P}\) e il suo raggio vettore descrive un angolo pari alla anomalia media \(M=2\pi(t-T)/{\cal P}\) nell'intervallo di tempo \(t-T\) trascorso dal passaggio al perielio \(H\) all'istante \(T\).
Se \(Q'\) è la proiezione di \(Q\) sulla sfera celeste, la posizione di \(Q\) è data, in parallelo con la \eqref{eq:3.41}, dalla somma della longitudine del perielio \(\overline{\omega}\) con l'angolo \(M\). Definiamo pertanto come
L'introduzione degli angoli \(\theta\), \(i\) e \(\omega\) ci permette non solo di definire la giacitura nello spazio così da collegare due sistemi di riferimento ma, tramite essi, è stato possibile proiettare punti importanti dell'orbita in altrettanti punti sulla sfera celeste collegati a loro volta agli angoli della longitudine vera e media. Comunque questi tre nuovi angoli vanno ad aggiungersi ai precedenti tre parametri orbitali \(a\), \(e\) e \(T\) cosicché gli elementi necessari per individuare completamente un'orbita ellittica diventano sei che riassumiamo come:
Il periodo \(\cal P\) non vi compare in quanto collegato al semiasse \(a\) e alle masse coinvolte (la massa \(M\) del Sole e \(m\) del pianeta \(P\) come si può dimostrare nella trattazione del problema a due corpi). Come già riportato, nel caso della Terra, \(\cal P\) rappresenta l'anno sidereo ma più avanti vedremo di definirlo con maggior precisione.
Definiti gli angoli \(\theta\), \(i\) e \(\omega\) nel sistema eclittico centrato sul Sole è necessario riportare il vettore \eqref{eq:3.9} che individua il pianeta nel sistema polare orbitale anche in quello eliocentrico.
In figura 3.12 riprendiamo allora gli elementi principali già presenti nella precedente figura 3.11 ma evidenziamo i vettori di base di ciascun sistema associandoli alle rispettive terne di coordinate: di conseguenza dobbiamo individuare la trasformazione che collega i vettori di base di questi due sistemi di riferimento.
In particolare, collegando la simbologia scelta nel capitolo 2.1 per gli angoli di Eulero con quelli standard qui definiti, dev'essere:
Volendo ottenere le coordinate eclittiche eliocentriche a partire da quelle orbitali cartesiane/polari, occorre comunque applicare la trasformazione inversa della 2.10 e cioè la 2.13 dove per la proprietà delle matrici ortogonali, la successione delle rotazioni va invertita e gli angoli cambiati di segno. Quindi, se le coordinate orbitali sono \((x, y, z)\), le coordinate eclittiche \((X, Y, Z)\) si ottengono dal prodotto matriciale
\[ \begin{pmatrix} X \cr Y \cr Z \cr \end{pmatrix} = R^{-1}(\alpha, \beta, \gamma)\! \begin{pmatrix} x \cr y \cr z \cr \end{pmatrix} \]dove \(R^{-1}(\alpha, \beta, \gamma)\) è
\[\eqalign{R^{-1}(\alpha, \beta, \gamma) &= R^T(\alpha, \beta, \gamma) =R_z(-\alpha)R_x(-\beta)R_z(-\gamma)\cr &=\begin{pmatrix} \cos\alpha\cos\gamma-\sin\alpha\cos\beta\sin\gamma & -\cos\alpha\sin\gamma-\sin\alpha\cos\beta\cos\gamma & \sin\alpha\sin\beta \cr \sin\alpha\cos\gamma+\cos\alpha\cos\beta\sin\gamma & -\sin\alpha\sin\gamma+\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma & -\cos\alpha\sin\beta \cr \sin\beta\sin\gamma & \sin\beta\cos\gamma & \cos\beta \cr \end{pmatrix}\!.\cr}\tag{3.43}\label{eq:3.43}\]In sintesi, le coordinate orbitali eclittiche eliocentriche di un pianeta in termini di quelle orbitali si ottengono con la trasformazione rappresentata dalla matrice di rotazione \(R_z(-\theta)R_x(-i)R_z(-\omega)\)
\[ \begin{pmatrix} X \cr Y \cr Z \cr \end{pmatrix}=R_z(-\theta)R_x(-i)R_z(-\omega)\!\begin{pmatrix} x \cr y \cr z \cr \end{pmatrix}\!.\tag{3.44}\label{eq:3.44} \]dove si sono utilizzate le sostituzioni sopra in termini di longitudine del nodo ascendente, inclinazione dell'orbita e argomento del perielio.
La trattazione della sezione precedente riguarda il caso generale di un moto planetario avente il piano orbitale inclinato di un angolo \(i\) rispetto al piano dell'eclittica. Nel caso della Terra invece il suo moto orbitale avviene nel piano dell'eclittica per cui l'inclinazione \(i\) è nulla. Ciò significa che non esiste la linea dei nodi cosicché per fissare la posizione del perielio è sufficiente considerare il suo argomento \(\omega\) che di conseguenza, assieme all'anomalia vera, va a definire lungo l'eclittica l'effettiva longitudine eliocentrica (fig. 3.13). Per tale motivo \(\omega\) viene anche detto longitudine del perielio.
Le relazioni precedenti riguardanti la longitudine vera \(L_E\) e quella media \(l_E\) si semplificano e diventano quindi
\[ \bbox[border:1px solid red,15px,#ffffcc]{ L_E=\omega+\nu. }\tag{3.45}\label{eq:3.45} \]e
\[ \bbox[border:1px solid red,15px,#ffffcc]{ l_E =\omega+M=\omega+{2\pi\over{\cal P}}(t-T).} \tag{3.46}\label{eq:3.46} \]Inoltre, poiché \(i=0\), la matrice di rotazione \eqref{eq:3.44} che collega il vettore \((x,y,z)\) del pianeta nel sistema orbitale al vettore \((X,Y,Z)\) nel sistema eclittico eliocentrico si riduce alla sola rotazione attorno all'asse \(Z\) di angolo \(-\omega\) (fig. 3.13) ossia
\[ \begin{pmatrix} X \cr Y \cr Z \cr \end{pmatrix}=R_z(-\omega)\!\begin{pmatrix} x \cr y \cr z \cr \end{pmatrix}\tag{3.47}\label{eq:3.47} \]e, sostituendovi la terza delle 2.1, abbiamo
\[ \begin{pmatrix} X \cr Y \cr Z \cr \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos(-\omega) & \sin(-\omega)& 0 \cr -\sin(-\omega) & \cos(-\omega)& 0\cr 0 & 0 & 1\cr \end{pmatrix}\!\begin{pmatrix} x \cr y \cr z \cr \end{pmatrix}\qquad\Longrightarrow \qquad \begin{pmatrix} X \cr Y \cr Z \cr \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos\omega & -\sin\omega& 0 \cr \sin\omega & \cos\omega& 0\cr 0 & 0 & 1\cr \end{pmatrix}\!\begin{pmatrix} x \cr y \cr z \cr \end{pmatrix}\!.\tag{3.48}\label{eq:3.48} \]Pertanto nel caso dell'orbita terrestre, la trasformazione si riduce ad una sola rotazione attorno all'asse \(Z\). Se poi riprendiamo dalla \eqref{eq:3.8}, le coordinate cartesiane \(x=r\cos\nu, y=r\sin\nu, z=0\) nel sistema orbitale, ne deriva pure
\[ \begin{pmatrix} X \cr Y \cr Z \cr \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos\omega & -\sin\omega& 0 \cr \sin\omega & \cos\omega& 0\cr 0 & 0 & 1\cr \end{pmatrix}\!\begin{pmatrix} r\cos\nu \cr r\sin\nu \cr 0 \cr \end{pmatrix} \]ed eseguendo il prodotto tra le matrici considerando la \eqref{eq:3.45}, otteniamo le coordinate cartesiane eclittiche eliocentriche della Terra in funzione della sua longitudine vera.
\[\cases{ X = r(\cos\omega\cos\nu-\sin\omega\sin\nu)=r\cos(\omega+\nu)=r\cos L_E\cr Y =r(\sin\omega\cos\nu+\cos\omega\sin\nu)=r\sin(\omega+\nu)=r\sin L_E\cr Z =0 \cr}\tag{3.49}\label{eq:3.49} \]Finora abbiamo rappresentato l'anomalia media come riportata nella forma \eqref{eq:3.24}
\[M={2\pi\over{\cal P}}(t-T)\tag{3.50}\label{eq:3.50} \]che implica un suo valore nullo \(M=0\) quanto \(t=T\) cioè quando il pianeta attraversa effettivamente il perielio. D'altra parte, se in un certo istante \(t_0\) l'anomalia media assume il valore
\[M_0={2\pi\over{\cal P}}(t_0-T)\tag{3.51}\label{eq:3.51} \]l'espressione precedente si può rendere più generale eseguendo la differenza
\[M-M_0={2\pi\over{\cal P}}(t-t_0)\tag{3.52}\label{eq:3.52} \]ossia
\[ \bbox[border:1px solid red,15px,#ffffcc]{ M={2\pi\over{\cal P}}(t-t_0)+M_0.\tag{3.53}\label{eq:3.53} }\]In tal modo l'anomalia media viene calcolata rispetto ad un istante arbitrario \(t_0\) e non più solo rispetto al passaggio al perielio \(T\).
L'istante \(t_0\) è detto epoca e la quantità \(M_0\) è detta anomalia media in epoca. I calcoli che seguiranno saranno perciò riferiti inizialmente all'istante \(t_0=J2000.0\), corrispondente in Tempo Terrestre \(TT\) alle ore 12:00 dell'1 gennaio 2000 (appendice D).