Semplici modelli matematici di diffusione dei virus

Introduzione

La pandemia da SARS-CoV-2 che ha così tragicamente toccato molte persone e comunità ci ha obbligati a modificare i ritmi quotidiani della nostra vita sociale e, con le limitazioni ad alcune libertà individuali, ha messo a dura prova il nostro senso di responsabilità. E mai come in questi mesi è apparso evidente come i comportamenti individuali siano strettamente connessi a quelli della comunità in cui viviamo. Un tale inaspettato evento ha, per altri versi, obbligato l'intera comunità scientifica mondiale a studiare non solo origine e struttura di questo nuovo coronavirus nella speranza di giungere nel più breve tempo possibile ad un vaccino ma ha pure fornito innumerevoli occasioni di studio circa i suoi effetti sulla popolazione mondiale e, in tempi di globalizzazione dell'informazione e di mobilità planetaria, sulle diverse forme della sua diffusione nelle nazioni.

In un tale contesto tutti i mezzi di informazione hanno diffuso con continuità notizie sulla diffusione del virus e della patologia Covid-19 e sulle azioni da intraprendere per contenerne il contagio tramite interviste a epidemiologi, infettivologi, virologi, pneumologi, tutti coinvolti nel chiarire le modalità di trasmissione del virus, del suo contenimento, dei suoi effetti sulle persone contagiate. Abbiamo quindi sentito giornalmente utilizzare termini quali "la curva del contagio" o altri collegati ad essa quali il "picco" o il "plateau" o, in riferimento a zone geografiche i "clusters", oppure del fattore \(R_0\) e della "immunità di gregge". E per la periodicità della loro diffusione e l'indubbio impatto visivo abbiamo certamente colto dai numerosi grafici a bolle la drammaticità, storica, del contagio.

In questo scritto vorremmo quindi presentare un percorso didattico rivolto a studenti che, a partire dalle loro conoscenze scolastiche, possa fornire gli strumenti di base per interpretare correttamente almeno i termini fondamentali utilizzati in questi mesi di confinamento e di scuola sospesa.

Tratteremo quindi dei più elementari modelli di diffusione di un virus in una popolazione qual è quella del Veneto (la mia regione) ma nel notebook associato a tale lavoro si potrà studiare qualsiasi regione italiana e i dati nazionali. I prerequisiti necessari si limitano ad alcune nozioni che sono note a ciascun studente nella fase finale di un percorso liceale scientifico e che comprendono

  • progressioni aritmetiche,
  • progressioni geometriche,
  • definizione di derivata di una funzione,
  • funzione esponenziale,
  • limiti di una funzione,
  • equazioni differenziali a variabili separabili,
  • integrali.
  • Utile, ma non necessario, conoscere il metodo di regressione lineare o dei minimi quadrati incontrato probabilmente nell'elaborazione delle esperienze di fisica.

Gli strumenti utilizzati per l'elaborazione numerica e la predisposizione delle immagini sono contenuti in un notebook di Mathematica distribuito nella pagina di appendice ma per le elaborazioni più semplici può essere adeguato anche un foglio di calcolo.

Indice

  1. I dati della regione Veneto
  2. La funzione lineare
    1. La derivata
  3. Modello esponenziale
    1. Equazione differenziale
    2. Osservazioni
  4. Modello logistico
    1. Osservazioni
    2. Equazione differenziale
    3. Variazione giornaliera del contagio
  5. Approfondimenti: il modello SIR
    1. Simulazione numerica
  6. Appendice matematica
    1. Modello esponenziale e incremento del contagio
    2. Modello logistico: soluzione dell'equazione differenziale
  7. Bibliografia
  8. Notebook

1. I dati della regione Veneto

In riferimento ad una pandemia quale quella di Covid-19, i dati più importanti che la descrivono nel suo sviluppo e, si spera, nel suo annientamento sono costituiti dal numero totale di casi di contagio (nei files distribuiti dalla Protezione Civile sono indicati come "totale_casi") e ovviamente, solo di quei casi che sono stati in qualche modo riconosciuti e ufficializzati tramite tampone naso-faringeo: per tutti gli altri si possono fare solo delle ipotesi di tipo statistico magari collegate alla diffusione in zone circoscritte del territorio (i cosiddetti clusters) o, al contrario, su zone estese a livello nazionale. Per i nostri, senza dubbio, limitati scopi i dati di partenza sono, come detto, quelli della regione Veneto pubblicati giornalmente dal 24 febbraio 2020 e che riportiamo sinteticamente nel grafico seguente aggiornati al 13 maggio 2020 (figura 1) e, analiticamente, nella tabella successiva.

totali_casi
Figura 1.

Dalla data iniziale e per un periodo di 80 giorni il grafico riporta in ordinata il numero totale cumulativo dei casi positivi rilevati in regione e mostra con immediatezza sia l'aumento giornaliero dei casi di contagio ma pure, da una certa data collocabile approssimativamente ad inizio aprile, la loro graduale flessione.

2. Funzione lineare

Iniziamo il nostro percorso dal più semplice schema matematico che si possa associare ad un fenomeno fisico che evolve nel tempo o che descriva una relazione tra due grandezze comunque variabili e cioè dalla funzione lineare rappresentata analiticamente dall'equazione \(f(x)=a x+b\). Tale relazione non è certo un modello di diffusione di un virus ma qui ci dà l'occasione per riprendere ed estendere alcune nozioni che svilupperemo nelle sezioni successive.
Volendo comunque descrivere tramite la funzione lineare i dati di figura 1 va innanzitutto osservato che questi costituiscono un insieme discreto e il loro grafico non è il grafico di una funzione continua quale è, per esempio, quello di una retta, una parabola o quello della funzione seno. Difatti questi valori sono rilevati ad intervalli di un giorno per cui due rilevazioni successive sono separate da \(\Delta t=1\,\hbox{day}\). Dobbiamo quindi riferirci, almeno inizialmente, ad un ambito matematico discreto quale quello delle successioni. Se quindi definiamo il termine

  • popolazione come un insieme discreto di individui di una specie che vivono e si riproducono in una determinata area o che sono caratterizzati da una qualche proprietà comune e indichiamo con
  • \(\mathbf{N[t]}\) il numero di individui al tempo (discreto) \(t\) cioè la numerosità della popolazione,

le coppie dei dati rappresentati in figura 1 e riportate nella sottostante tabella si possono indicare simbolicamente come \((t,N[t])\) con \(t=i\Delta t\) essendo \(i=1,2,\dots n\) con \(n\) che rappresenta il numero di giorni trascorsi dall'inizio dei rilievi (come già detto il 24 febbraio 2020): nel nostro caso \(n=80\). Studiamo quindi l'evoluzione di quella popolazione caratterizzata dalla proprietà di essere stata contagiata dal virus SARS-CoV-2 cercando di caratterizzarla matematicamente.

Visualizza la tabella dei dati
Veneto: totale giornaliero casi positivi
giorni e totali_casi
Tabella 1.

Tra le più semplici successioni incontrate nel percorso scolastico quelle definite ricorsivamente dalla condizione

\begin{equation} \label{eq:01} N[t+1]=N[t]+d,\qquad t=1,\,2,\dots,n \end{equation}

dove ogni elemento si ottiene sommando al precedente una quantità costante \(d\) (la ragione della progressione), oppure caratterizzate dal termine generale che mostra esplicitamente la sua dipendenza dall'indice \(t\)

\begin{equation} N[t]=N[1]+d (t-1),\qquad t=1,\,2,\dots,n, \end{equation}

sono le cosiddette progressioni aritmetiche.

Nota. utilizziamo, per le successioni, la notazione \(N[t]\) anziché quella standard \(N_t\) presente nei testi, dove l'indice "\(t\)" sostituisce le più frequenti lettere "\(i\)" e/o "\(j\)". Pertanto la grandezza \(t\) tra parentesi quadre, per esempio \(N[t]\), indicherà una variabile discreta mentre se compresa tra parentesi rotonde, per es. \(n(t)\), indicherà una variabile temporale continua.

Nel grafico di figura 2 riportiamo in ordinata i primi 30 valori di tre progressioni aritmetiche e in ascissa l'indice \(t\). Per esempio, la successione \(b[t]=3+2(t-1)\) può rappresentare una popolazione che, a partire da 3 individui, evolve nella prima generazione in 5 e quindi nella seconda in 7 e così via in modo che la generazione successiva differisca dalla precedente per 2 elementi. Appare chiaro che l'andamento grafico di queste tre successioni (figura 2) segua quello di altrettante rette rispettivamente di equazione

\begin{equation} \label{eq:03} a(t)=2+t;\qquad b(t)=3+2t;\qquad c(t)=4+3t \end{equation}

e dove, diversamente dalle precedenti successioni, la variabile \(t\) assume con continuità tutti i valori reali (e, come detto, in tal caso utilizziamo le parentesi rotonde).

tre successioni aritmetiche
Figura 2.

Pur consapevoli che l'andamento della successione di figura 1 non suggerisca quello di una retta e cioè che il totale dei casi di positività non sia in relazione lineare con i giorni trascorsi dall'inizio delle rilevazioni, intendiamo comunque determinare quella retta che meglio si adatta ai dati in ordinata, dati che supponiamo affetti da errori di varia natura ma che pensiamo siano maggiori della rilevazione temporale in ascissa. Il metodo numerico che intendiamo applicare qui ma pure, in forma più generale, nelle sezioni successive, è quello della "regressione lineare" e si fonda sulla minimizzazione della somma dei quadrati delle distanze dei punti rilevati sperimentalmente, \(N[t]\), dai corrispondenti punti sulla retta \(n(t)=a t+b\) supposta nota: per tale motivo il metodo viene detto anche dei "minimi quadrati". Senza entrare nel merito della dimostrazione per determinare analiticamente i parametri \(a \) e \(b \) ma ricordando che tale metodo si applica facilmente in un qualunque foglio di calcolo selezionando la cosiddetta opzione della linea di tendenza, otteniamo che una stima attendibile dei parametri \(a\) e \(b\) risulta essere

\begin{equation} n(t)=at+b\hskip1cm a=300,\quad b=-2349. \label{eq:04} \end{equation}

Su questa base possiamo calcolare le ordinate corrispondenti \(n(t)\) con \(t=(1,\,2,\dots)\Delta t\) e associarle al corrispondente dato giornaliero. Otteniamo la rappresentazione grafica di figura 3.

dati e regressione lineare
Figura 3.

Per evidenziare le differenze tra i dati e quanto la funzione scelta sia prossima a questi, proponiamo il calcolo dei residui ossia delle "distanze" lungo l'asse verticale tra il dato giornaliero \(N[t] \) e il corrispondente valore calcolato sulla retta \(n(t)=a t+b \)

\begin{equation} \hbox{residuo}[t]=N[t]-n(t). \end{equation}

La loro rappresentazione grafica (figura 4) permette di cogliere con maggiore immediatezza l'eventuale accordo/disaccordo tra i due andamenti.

modello lineare: residui
Figura 4.

Già nella figura 3 il risultato appare deludente: vi sono notevoli differenze soprattutto nelle fasi iniziale e finale della diffusione pandemica con non pochi valori (iniziali) della retta negativi e quindi privi di significato. I valori dei residui sono a loro volta molto elevati rispetto ai dati. L'utilizzo di una funzione lineare non permette quindi di descrivere adeguatamente l'incremento della diffusione di Covid-19 e, come accennato, si dimostra del tutto insoddisfacente.

2.1 La derivata

Una proprietà fondamentale, seppur elementare, del modello lineare è facilmente deducibile dagli esempi riportati e, di norma, è ben nota dalle conoscenze sulle equazioni di primo grado: qui intendiamo solo richiamarla per poi svilupparla nei modelli successivi. Osserviamo quindi come la forma ricorsiva degli esempi riportati in figura 2

\begin{equation} a[t+1]=1+a[t],\qquad b[t+1]=2+b[t],\qquad c[t+1]=3+c[t] \end{equation}

implichi, per ogni \(t\in\mathbb{N}\), la costanza delle differenze tra elementi uno successivo all'altro

\begin{equation} a[t+1]-a[t]=1,\qquad b[t+1]-b[t]=2,\qquad c[t+1]-c[t]=3. \end{equation}

Poiché il tempo trascorso tra un elemento e il successivo è pari all'unità scelta cioè \(\Delta t = (t+1)-t=1\,\hbox{day}\), le stesse potremmo scriverle come

\begin{align} \begin{split} \frac{a[t+1]-a[t]}{\Delta t}=\frac{a[t+1]-a[t]}{1}=1\\[10pt] \frac{b[t+1]-b[t]}{\Delta t}=\frac{b[t+1]-b[t]}{1}=2\\[10pt] \frac{c[t+1]-c[t]}{\Delta t}=\frac{c[t+1]-c[t]}{1}=3.\\ \end{split} \end{align}

Una proprietà analoga alle precedenti vale pure per le corrisponenti funzioni continue \eqref{eq:03} cosicché, per \(\forall\, t_1,\,t_2\in\mathbb{R}\) con \(\Delta t=t_2-t_1 \) risultano costanti pure i rapporti

\begin{equation} \frac{a(t_2)-a(t_1)}{t_2-t_1}=1,\hskip1.5cm \frac{b(t_2)-b(t_1)}{t_2-t_1}=2,\hskip1.5cm \frac{c(t_2)-c(t_1)}{t_2-t_1}=3. \end{equation}

che sappiamo caratterizzare le pendenze delle rispettive rette. Se ora consideriamo \(t_1\) costante e \(t_2 \) variabile oppure definiamo l'incremento \(h \) della variabile temporale come \(t_2-t_1=h \), è immediato riconoscere che, al variare di \(h\in\mathbb{R}\), i limiti

\begin{align} \begin{split} \lim_{t_2\to t_1} \frac{a(t_2)-a(t_1)}{t_2-t_1}=\lim_{h\to0} \frac{a(t_1+h)-a(t_1)}{h}=a'(t_1)=1\\[10pt] \lim_{t_2\to t_1} \frac{b(t_2)-b(t_1)}{t_2-t_1}=\lim_{h\to0} \frac{b(t_1+h)-b(t_1)}{h}=b'(t_1)=2\\[10pt] \lim_{t_2\to t_1} \frac{c(t_2)-c(t_1)}{t_2-t_1}=\lim_{h\to0} \frac{c(t_1+h)-c(t_1)}{h}=c'(t_1)=3\\ \end{split} \end{align}

rappresentano semplicemente la derivata nel punto di ascissa \(t_1 \) delle tre funzioni lineari.
In conclusione, una funzione lineare rappresentata da una equazione del tipo \(f(t)=a t +b\) soddisfa la proprietà

\begin{equation} \bbox[15px,#ffffcc, border:1px solid red]{ f'(t)=\frac{\textrm{d}f}{\textrm{d}t}=a=\hbox{costante} } \end{equation}

ossia la sua derivata prima è pari ad una costante e poiché si dimostra vero pure il viceversa possiamo considerare la precedente come la proprietà che caratterizza tale classe di funzioni.

3. Modello esponenziale

Se pensiamo ad un certo numero di individui che si riproducono è naturale supporre che, se non intervengono condizionamenti ambientali significativi quali guerre, carestie, epidemie,\(\dots\) che riducano le risorse vitali per la generazione che si riproduce,

  • il numero degli individui \(N[t+1]\) della generazione successiva sia in qualche modo proporzionale al numero di individui \(N[t]\) della generazione precedente.

In altre parole, come formulato dall'economista inglese Thomas Malthus (1766-1834) nel 1798,

  • l'aumento che si rileva in un modello esponenziale è proporzionale al numero di individui della popolazione \(N[t] \) cioè alla sua numerosità.

In forma matematica e con la medesima notazione esposta nella nota iniziale, possiamo sintetizzare la prima osservazione con la relazione ricorsiva

\begin{equation} N[t+1]=c\, N[t],\qquad t=1,\,2,\,\dots,n \label{eq:12} \end{equation}

con \(c \) grandezza costante. La seconda affermazione è comunque del tutto equivalente in quanto l'aumento \(N[t+1]-N[t]\) dalla precedente risulta

\begin{equation} N[t+1]- N[t]=c\, N[t]-N[t]=(c-1)N[t] \end{equation}

per cui posto \(r=c-1 \) otteniamo

\begin{equation} \label{eq:14} N[t+1]- N[t]=r N[t], \qquad t=1,\,2,\,\dots,n \end{equation}

che rappresenta la seconda affermazione. Negli esempi grafici di figura 5 confrontiamo quindi l'evoluzione di due popolazioni: la prima evolve linearmente con costante pari a 2, la seconda segue un'evoluzione esponenziale con un evidente raddoppio ad ogni successiva generazione.

due diversi modelli evolutivi
Figura 5 a, b.

Pure la condizione \eqref{eq:12} è nota dallo studio delle successioni e in particolare nello studio di quelle successioni dove il rapporto tra un elemento e il precedente è una costante. La \eqref{eq:12} riscritta come \(N[t+1]/N[t]=c\) individua quindi una progressione geometrica di ragione \(c \) per la quale il termine generale di indice \(t \) si dimostra avere la forma analitica

\begin{equation}\label{eq:15} N[t]=c^{t-1}N[1] \qquad t=1,\,2,\,\dots,n. \end{equation}

Difatti si ha

\begin{equation} \eqalign{N[1]&,\cr N[2]&=c\, N[1],\cr N[3]&=c\, N[2]=c(c N[1])=c^2 N[1],\cr N[4]&=c\, N[3]=c(c^2 N[1])=c^3 N[1],\cr} \end{equation}

\(\dots\) e quindi, per induzione, \(\dots\)

\begin{equation} N[t]=c^{t-1} N[1]. \end{equation}

Riportiamo nella figura 6 gli elementi della progressione geometrica proposta in figura 5b assieme alla funzione esponenziale \(f(t)=2^{t-1}\) che ne estende la validità ad ogni \(t\in\mathbb{R}\).

progressione geometrica
Figura 6.

Volendo quindi descrivere i dati della pandemia nell'ambito di questo modello dovremo cercare una funzione esponenziale che generalizzi la \eqref{eq:15} e quindi del tipo \(f(t)=a\, b^{t-c}\) con \(a \), \(b \) e \( c\) opportuni parametri oppure, sfruttando la base naturale con il numero di Nepero "\(e \)", una funzione della forma \(n(t)=a\, e^{b (t-c)}\).
Per la ricerca di tale funzione si può utilizzare ancora il metodo dei minimi quadrati, per esempio utilizzando un foglio di calcolo e chiedendo una linea di tendenza di tipo esponenziale. L'applicazione di tale metodo fornisce per la funzione

\begin{equation} n(t)=a\, e^{b(t-c)} \label{eq:18} \end{equation}

i parametri \(a=36.5,\ b=0.026,\ c=-169 \): questa è rappresentata assieme ai dati nella figura 7.

regressione esponenziale
Figura 7.

Già una prima analisi visiva della figura, rafforzata dall'andamento dei residui di figura 8, appare con evidenza che pure tale modello non fornisce una adeguata spiegazione dell'andamento registrato: in particolare la curva dei dati mostra una indubbia flessione indicata dal cambio di concavità mentre la funzione esponenziale presenta stabilmente una concavità verso l'alto.

residui nel modello esponenziale
Figura 8.

Osserviamo comunque come, se ci limitiamo allo studio dei primi 20-25 giorni di contagio, l'andamento del modello esponenziale possa ben descrivere la diffusione. Ricalcoliamo quindi i parametri limitandoci ai primi 22 giorni di rilevazione. In tal caso i nuovi parametri sono \(a=2.65,\ b=0.167,\ c=-19 \) mentre nella figura 9 riportiamo il confronto tra i dati e la curva esponenziale associata e, successivamente (fig. 10), i residui.

andamento esponenziale iniziale
Figura 9.
residui, primi 22 giorni
Figura 10.

Se allarghiamo la finestra temporale ad un intervallo di maggiore ampiezza (figura 11), appare evidente come la medesima funzione esponenziale diverga via via in modo sempre più rilevante dall'andamento registrato. D'altra parte, questa è una tra le principali proprietà che caratterizza la funzione esponenziale: un modello basato su di essa prevede una evidente "esplosione" dei contagi al passare dei giorni ed è su questo presupposto che si giustifica il timore di una progressione di questo genere più volte espresso nei primi giorni della diffusione di Covid-19. Evidentemente, dopo 15/20 giorni dai provvedimenti governativi l'andamento ha iniziato a discostarsi da una pericolosa progressione esponenziale!

andamento esponenziale iniziale
Figura 11.

In definitiva possiamo comunque osservare come tale modello

  • non sia in grado di rappresentare realisticamente lo sviluppo della diffusione del virus in intervalli temporali sufficientemente estesi mentre, viceversa,
  • appare accurato nel descrivere le sue prime fasi di diffusione.

3.1 Equazione differenziale

Come detto inizialmente le grandezze rilevate, tempi \(t\) e numerosità \(N[t]\), sono grandezze discrete. In questa sezione intendiamo svincolarci da tali restrizioni per cui sia la funzione che rappresenta il numero di contagi \(n(t)\), sia la variabile \(t\) potranno assumere valori reali positivi. L'intenzione è di generalizzare la relazione discreta del modello esponenziale \eqref{eq:12} \(N[t+1]=c\, N[t]\), a funzioni variabili con continuità (funzioni che nelle precedenti elaborazioni numeriche abbiamo già utilizzato).
A tale scopo modifichiamo la notazione \(N[t+1]=c\,N[t]\) nella

\begin{equation} n(t+h)=c\,n(t) \end{equation}

mentre la \eqref{eq:14} diviene

\begin{equation} n(t+h)-n(t)=r\,n(t) \end{equation}

con \(h \) che rappresenta l'intervallo temporale che separa le due rilevazioni, quella all'istante \(t\) e quella all'istante \(t+h\). La differenza \(\Delta n=n(t+h)-n(t)\) rappresenta invece l'incremento nella popolazione avvenuto nell'intervallo \(h \).
Se \(h \) è sufficientemente piccolo possiamo supporre che la popolazione nell'istante \(t\) sia sostanzialmente costante e che

  • l'incremento \(\Delta n \) sia proporzionale, non solo a \(n(t)\), ma pure all'ampiezza \(h \) dell'intervallo.

Traduciamo tale ipotesi riscrivendo la costante \(r \) come \(r=\alpha h\) per cui l'incremento \(\Delta t\) assume la forma

\begin{equation} \Delta n=n(t+h)-n(t)=(\alpha h)\,n(t). \end{equation}
In appendice 1 forniamo una giustificazione più formale, e a posteriori, di tale ipotesi.

Dividendo per \(h \)

\begin{equation} \frac{n(t+h)-n(t)}{h}=\alpha\,n(t). \end{equation}

ed eseguendo il limite con \(h\to0 \)

\begin{equation} \lim_{h\to 0}\biggl[\frac{n(t+h)-n(t)}{h}\biggr]\!=\alpha\,n(t) \end{equation}

otteniamo a primo membro la derivata di \(n(t)\) per cui, diversamente dal modello lineare, questa risulta

\begin{equation}\bbox[15px,#ffffcc, border:1px solid red]{ \frac{\textrm{d}(n)}{\textrm{d}t}=\alpha\,n(t). }\label{eq:24} \end{equation}

È questa l'equazione differenziale che caratterizza il modello esponenziale che, per la proporzionalità dell'incremento con la funzione numerosità \(n(t)\) viene spesso indicato come il modello lineare.

Per risolvere l'equazione differenziale \eqref{eq:24} e determinare il suo integrale generale applichiamo il metodo della separazione delle variabili riscrivendola come

\begin{equation} \frac{\textrm{d}n}{n}=\alpha\,\textrm{d}t. \end{equation}

Supposto che nell'istante iniziale \(t_0 \) la popolazione sia caratterizzata dal valore \(n_0 \), possiamo procedere alla sua elementare integrazione

\begin{equation} \int_{n_0}^n\kern-2pt \frac{\textrm{d}n}{n}=\int_{t_0}^t\kern-3pt \alpha\,\textrm{d}t \end{equation}

da cui

\begin{equation} \ln\biggl(\!\frac{n}{n_0}\!\biggr)\!=\alpha\,(t-t_0) \end{equation}

e, passando agli esponenziali, otteniamo

\begin{equation} n=n_0e^{\alpha(t-t_0)} \end{equation}

cioè la funzione esponenziale che dà ragione del nome al modello.

3.2 Osservazioni

Sulla base di quanto esposto e soprattutto delle rappresentazioni grafiche delle figure 7 e 11, possiamo riconoscere nel modello esponenziale un adeguamento ai dati rilevati abbastanza soddisfacente solo nelle prime fasi dello sviluppo mentre a lungo andare una crescita esponenziale non si mostra sostenibile. È quindi evidente come l'ipotesi che sta alla base, ossia uno sviluppo privo di condizionamenti, non venga soddisfatta al trascorrere del tempo. Possiamo quindi pensare che all'aumentare della popolazione intervengano fattori esterni che ne condizionano lo sviluppo quali il venir meno delle risorse vitali per la sopravvivenza della stessa. Per esempio, una colonia di batteri o di altri microorganismi in un brodo di coltura può inizialmente mostrare una tale crescita ma poi, fatalmente, con il diminuire della risorsa nutritiva, dovrà mostrare una discesa anziché una crescita continua e illimitata. Se quindi inizialmente la diffusione del Covid-19 può essere coerente con un modello esponenziale successivamente tale crescita si discosta sempre più sensibilmente da questo schema per cause che è facile immaginare collegate alle misure adottate di distanziamento sociale. In conclusione tale modello appare adeguato fintantoché le risorse o le possibilità di sviluppo sono abbondanti (teoricamente infinite nell'ipotesi iniziale) ma al venir meno di queste la sua stima è decisamente eccessiva rispetto ad una progressione realistica della popolazione: dovremo quindi individuare una espressione che limiti in qualche modo l'evoluzione di tipo esponenziale.

4. Modello logistico

Il modello di crescita logistica corregge quello precedente introducendo un termine che ne condiziona lo sviluppo: se nel caso precedente la popolazione poteva disporre di una quantità illimitata di risorse e quindi poteva evolvere con incrementi del proprio numero proporzionali al numero \(N[t]\) di individui della generazione precedente

\begin{equation} N[t+1]-N[t]=r\,N[t], \end{equation}

in questo modello intendiamo introdurre un termine che possa descrivere l'entità delle risorse a disposizione della popolazione e che, all'aumentare di questa, si riduca gradualmente: in sostanza vorremmo definire un indice del livello di saturazione delle risorse stesse. Se quindi supponiamo che il parametro \(M \) rappresenti il limite numerico superiore cui può tendere una popolazione con le risorse a disposizione, un possibile fattore correttivo da introdurre a secondo membro della successione precedente è

\begin{equation} \hbox{fattoreCorrettivo}=fc=\frac{M-N[t]}{M}=1-\frac{N[t]}{M}. \end{equation}

Una tale forma si giustifica in quanto possiede queste caratteristiche:

  1. all'aumentare della popolazione, con \(N[t]\to M\), tale termine converge verso lo zero per cui tende a inibire tale aumento. Nel caso invece sia \(N[t] > M\) cioè quando la popolazione supera il valore massimo \(M \) il medesimo fattore diventa negativo portando ad una diminuzione della popolazione.
  2. Se la popolazione è, al contrario, molto ridotta e quindi ha a disposizione abbondanti risorse allora \(N[t]/M\approx 0\) e il termine correttivo stesso assume valori prossimi ad 1 per cui non influenza significativamente lo sviluppo.

Sulla base di tali considerazioni il nuovo modello che descrive la dinamica della popolazione è rappresentato dal prodotto della popolazione al tempo \(t \) con il fattore che delimita lo spazio a disposizione per la sua evoluzione cioè

\begin{equation} N[t+1]-N[t]=r\,N[t]\cdot fc \end{equation}

ed in termini espliciti

\begin{equation} \label{eq:32} \bbox[15px,#ffffcc, border:1px solid red]{ N[t+1]-N[t]=r\,N[t]\biggl(\!{1-\frac{N[t]}{M}}\!\biggr) } \end{equation}

o alternativamente,

\begin{equation} \label{eq:33} N[t+1]=(1+r)N[t]-\biggl(\!\frac{r}{M}\!\biggr)N[t]^2. \end{equation}

In sostanza, l'aumento della popolazione è da un lato proporzionale alla popolazione stessa tramite il fattore \(N[t]\) ma dall'altro, pure allo spazio a disposizione della popolazione necessario per la sua ulteriore espansione (in ecologia, si parla di nicchia ecologica). Il matematico belga Pierre-Francois Verhulst (1804-1849) che per primo fece questa ipotesi chiamò la funzione che ne deriva, funzione logistica da cui il nome del modello.

Quale esempio di successione logistica riportiamo nella figura 12 i primi 22 elementi della successione basata sulla forma \eqref{eq:33} e caratterizzata dai parametri \(r=0.5\) e \(M=100\) con valore iniziale \(N[1]=1\). Come si vede la popolazione inizialmente cresce quasi esponenzialmente e a tal fine si traccia la funzione esponenziale \(f(t)=1.5^{t-1}\) per poi decrescere e tendere asintoticamente al valore limite \(M=100\).

esempio di successione logistica
Figura 12.

Una rappresentazione grafica alternativa (figura 13) fa uso per i valori sull'asse delle ordinate di una scala logaritmica: in un tale piano l'evoluzione esponenziale iniziale appare come una successione di punti prossimi ad una retta.

esempio di successione logistica: logPlot
Figura 13.

Come vedremo nella sezione 4.2, una successione del tipo \eqref{eq:32} o \eqref{eq:33} dà origine nell'ambito delle variabili continue ad una equazione differenziale soddisfatta da una funzione analitica del tipo

\begin{equation}\label{eq:34}\bbox[15px,#ffffcc, border:1px solid red]{ n(t)=\frac{M}{1+\beta\, e^{-\alpha t}} } \end{equation}

dipendente dai tre parametri \(M \), \(\alpha \) e \(\beta \). Qui comunque intendiamo ricercare l'adeguamento ottimale ai dati raccolti per cui, acquisita tale equazione come il modello a partire dal quale avviare l'elaborazione, l'applicazione delle tecniche numeriche già incontrate fornisce per i tre parametri i valori

\begin{equation}\label{eq:35} M=18704,\qquad \alpha=0.11,\qquad \beta=62 \end{equation}

cui corrispodende secondo la \eqref{eq:34} la funzione dal grafico riportato nella figura 14. Nella figura 15 riportiamo invece i residui ossia le differenze tra il dato giornaliero e il corrispondente valore ottenuto dal modello mentre nella figura 16, dati e modello sono rappresentati in una finestra che comprende le ultime 40 rilevazioni rappresentandone i valori su una scala verticale logaritmica.

confronto dati/mod.logistico
Figura 14.
residui mod. logistico
Figura 15.
confronto dati/mod.logistico (logPlot: particolare)
Figura 16.

4.1 Osservazioni

I risultati riassunti nelle tre figure precedenti mostrano un buon accordo complessivo con l'insieme dei dati ufficiali, accordo confermato pure dall'entità dei residui significativamente minori rispetto a quelli del modello esponenziale. La forma ad "S" di tale funzione, per questo anche detta forma sigmoidea da cui funzione sigmoidea, mostra indubbiamente un graduale aumento del numero totale dei contagi ma, nello stesso tempo, come questo non appaia "esplosivo" come nel modello esponenziale. Anzi, se dal 24 febbraio la crescita poteva dirsi inizialmente esponenziale, attorno al 38° giorno cioè ai primi di aprile, tale crescita giornaliera sembra invece in graduale flessione (nella sezione 4.3 vedremo di individuare con maggior precisione tale inversione di tendenza). Si potrebbe quindi pensare, a ragion veduta, come le decisioni intraprese sulle limitazioni alla mobilità e al distanziamento sociale che tutti noi abbiamo sperimentato dal 9 marzo abbiano iniziato a produrre i loro effetti attorno a tale data: con i termini che abbiamo utilizzato potremmo dire che le "risorse" per la diffusione di SARS-CoV-2 hanno iniziato a scarseggiare attorno a tale data.
Raggiunta la condizione di stabilizzazione (in matematica si dice asintotica mentre a livello giornalistico si è usato il termine di plateau) il modello prevede un aumento giornaliero dei contagiati pari allo zero: è questa, ovviamente, una speranza, ma confidiamo che, alla data odierna, ciò si verifichi al più presto.

4.2 Equazione differenziale

Premesso che dalla relazione ricorsiva discreta del modello logistico \eqref{eq:32} non è possibile derivare una forma esplicita finita per il termine generale analogamente a quanto fatto nel modello esponenziale con la formula \eqref{eq:15}, cerchiamo in alternativa di dedurre la forma differenziale del modello da cui ottenere la relativa soluzione analitica (e già utilizzata in \eqref{eq:34}). Seguiremo pertanto la traccia già percorsa per il modello esponenziale generalizzando la relazione ricorsiva ad intervalli di ampiezza \(h \) con estremi temporali \([t,t+h]\) e dove sia la variabile temporale \(t\) così come la funzione \(n(t)\) andranno considerate come grandezze continue.
Per far ciò osserviamo come la relazione

\begin{equation} \label{eq:36} N[t+1]-N[t]=r\,N[t]\biggl(\!{1-\frac{N[t]}{M}}\biggr) \end{equation}

rappresenti la variazione nel numero della popolazione in un intervallo temporale di ampiezza unitaria e come questo aumento dipenda sia dalla numerosità della popolazione \(N[t]\) che, come detto, dall'entità delle risorse a disposizione. Volendo mantenere queste caratteristiche ma generalizzandole ad un intervallo temporale qualsiasi e in analogia a quanto fatto nel modello esponenziale, supporremo che la variazione \(\Delta n=n(t+h)-n(t)\) sia proporzionale all'ampiezza \(h\) dell'intervallo. Esplicitiamo questa condizione ridefinendo la costante \( r\) in \eqref{eq:36} come \(r=\alpha\, h\) cosicché la stessa assume la forma "continua"

\begin{equation} n(t+h)-n(t)=\frac{\alpha h}{M}\,n(t)[M-n(t)]. \end{equation}

Possiamo ora procedere formalmente dividendo entrambi i membri della precedente per \(h \)

\begin{equation} \label{eq:38} \frac{n(t+h)-n(t)}{h}=\frac{\alpha}{M}\,n(t)[M-n(t)] \end{equation}

e, richiamata la definizione di derivata

\begin{equation} \lim_{h\to 0}\biggl[\frac{n(t+h)-n(t)}{h}\biggr]\!=\frac{\textrm{d}(n)}{\textrm{d}t}, \end{equation}

l'esecuzione del limite per \(h\to 0 \) della \eqref{eq:38} fornisce l'equazione differenziale del modello logistico continuo

\begin{equation}\bbox[15px,#ffffcc, border:1px solid red]{ \frac{\textrm{d}(n)}{\textrm{d}t}=\frac{\alpha}{M}\,n(t)[M-n(t)]. }\label{eq:40} \end{equation}

Nell'appendice matematica 6.2 dimostriamo come la funzione logistica \eqref{eq:34} rappresenti la soluzione di tale equazione differenziale.

4.3 Variazione giornaliera del contagio

In questa sezione intendiamo soffermarci sulle conseguenze del modello logistico cercando, per quanto possibile, di trarre alcune altre sue caratteristiche confrontandole con semplici rielaborazioni dei dati a disposizione.
Chiariamo innanzitutto come la curva dei positivi da inizio contagio finora utilizzata non possa mostrare alcuna diminuzione (e quindi alcun "picco") ma solo valori in aumento o costanti in quanto, come detto, tiene conto dei casi complessivi di contagio. Pertanto al termine della pandemia di Covid-19 tale curva fornirà il numero totale finale di contagiati (ovviamente quello "ufficiale") e cioè un valore massimo e, va osservato, come questo andamento temporale appaia in sostanza ben descritto dal modello. Per poter individuare quando sia iniziata un'inversione di tendenza nella diffusione della pandemia (rilevabile visivamente dal grafico di figura 14 in corrispondenza del cambio di concavità) o riconoscere il raggiungimento della situazione asintotica conviene comunque riferirci ai dati che riportano i nuovi casi di contagio rilevati ogni giorno ossia gli aumenti giornalieri deducibili dalla differenza \(N[t+1]-N[t]\): il loro grafico è riportato nella figura 17.

variazione giornaliera contagi
Figura 17.

Poiché questi ultimi dati rappresentano delle variazioni giornaliere, variazioni che possiamo scrivere come

\begin{equation} \frac{N[t+1]-N[t]}{1} = \frac{N[t+1]-N[t]}{\Delta t} \end{equation}

in quanto, come oramai sappiamo, l'incremento temporale che separa le due rilevazioni è \(\Delta t = 1\,\hbox{day}\), questi valori rappresentano nel modello logistico una stima approssimata e mediata della derivata della funzione \eqref{eq:34}. Il calcolo analitico della sua derivata fornisce l'espressione

\begin{equation}\label{eq:42} n'(t)=\frac{(\alpha\beta M)\,e^{-\alpha t}}{(1+\beta\, e^{-\alpha t})^2} \end{equation}

e poiché i valori dei parametri sono noti dal calcolo numerico \eqref{eq:35} già eseguito, possiamo sostituirli nella precedente ottenendo la corrispondente espressione esplicita per la derivata \(n'(t)\).
Non ci resta che sovrapporre il grafico di tale funzione derivata a quello delle variazioni giornaliere (figura 18) per osservare come, con maggior evidenza che nel grafico di figura 17 e sebbene vi siano in esso significative variazioni, appare il cosiddetto, e spesso citato, "picco". Questo pare essere stato raggiunto (certo, per la regione Veneto) 38 giorni dopo il 24 di febbraio e quindi attorno a mercoledì 2 aprile, circa 20 giorni dopo l'inizio delle restrizioni governative: è da allora che sembra essere iniziata una tendenza alla diminuzione del numero giornaliero dei contagi.

variazione giornaliera contagi e derivata logistica
Figura 18.

A partire dai dati compresi in questo lavoro concludiamo con una piccola previsione: intendiamo determinare la possibile data in corrispondenza della quale verrà rilevato un solo nuovo caso di positività. Poiché la funzione derivata \eqref{eq:42} non può annullarsi, associamo questa condizione con il raggiungimento della situazione asintotica. Otteniamo ciò cercando l'ascissa dell'intersezione della curva derivata con la retta \(n=1\). Ne discende una equazione di \(2^\circ\) grado nell'incognita ausiliaria \(z=e^{-\alpha t}\) che, risolta, fornisce per tale evento il valore di 109 giorni dopo il 24 di febbraio ossia attorno il 12 giugno 2020.

5. Approfondimenti: il modello SIR

In quest'ultima sezione intendiamo presentare un modello epidemiologico che mostri come sia possibile approfondire lo studio della diffusione di patologie virali acute inserendo nelle equazioni del modello nuove ipotesi e opportuni collegamenti tra esse. Di questo modello forniremo solo le equazioni che lo caratterizzano e trarremo da queste alcune importanti conseguenze. Infine, risolte numericamente ci forniranno l'occasione per un confronto, almeno visivo, con gli andamenti registrati.

Come abbiamo visto finora i modelli matematici si riducono nello scrivere delle equazioni differenziali che descrivono come varia il numero di individui che vengono colpiti dalla malattia ossia la velocità con cui progredisce nella popolazione la patologia associata al virus. In particolare nei due modelli finora trattati la popolazione poteva pensarsi suddivisa in due gruppi: coloro che sono stati colpiti dal virus e coloro che non si sono ammalati ma che potrebbero esserlo in futuro. Ma se pensiamo, ad esempio, alla periodica diffusione dell'influenza invernale, esiste pure una parte della popolazione che è immune a tale patologia in quanto o, preventivamente si è vaccinata, o perché si è già ammalata ed è diventata immune. Per affinare quindi un modello, suddividiamo una popolazione di \(N\) individui (di una città, di una regione,...) in tre categorie distinte caratterizzate dal loro numero che, evidentemente, dovrà dipendere dal tempo. Pertanto abbiamo le tre funzioni

  • \(S=S(t)\) indica il numero di individui al tempo \(t\) suscettibili di infezione ossia tutti quei soggetti che sono sani ma possono ammalarsi e diventare infetti,
  • \(I=I(t)\) indica il numero di individui che sono infetti e che possono trasmettere l'infezione,
  • \(R=R(t)\) rappresenta il numero di individui che sono diventati immuni dopo aver superato la malattia o che sono deceduti a causa di essa.

Poiché quest'ultimo gruppo viene indicato dagli autori Kermck e McKendrick che per primi nel 1927 hanno proposto questo modello come "removed" cioè "rimossi" dal processo epidemico in quanto non più coinvolti in esso, da allora questo lo si identica con la sigla SIR.
La matematica che lo caratterizza e che permette di studiare come una parte della popolazione diventa da suscettibile ad infetta e, a loro volta, come gli infetti evolvano verso la guarigione e l'immunità o la morte, è rappresentata dalle tre equazioni differenziali seguenti

\begin{equation}\label{eq:44} \bbox[15px,#ffffcc, border:1px solid red]{ \eqalign{ \frac{\textrm{d}S(t)}{\textrm{d}t} & = -\frac{\beta S(t) I(t)}{N} \\[3pt] \frac{\text{d}I(t)}{\textrm{d}t} & = \frac{\beta S(t) I(t)}{N} - \gamma I(t) \\[3pt] \frac{\textrm{d}R(t)}{\textrm{d}t} & = \gamma I(t). }} \end{equation}

La prima equazione si giustifica osservando come a primo membro sia rappresentata la "velocità" con cui può variare la popolazione dei suscettibili mentre a secondo membro si ipotizza che questa "uscita" dal gruppo (da cui il segno negativo) dipenda innanzitutto

  • in modo proporzionale dal numero degli infetti \(I(t)\).

Siccome poi ciascun individuo infetto potrà avere un certo numero \(\beta\) di contatti con la popolazione dei suscettibili, allora il fattore

  • \(\beta S(t)\) rappresenta, mediamente, il numero di nuovi infetti dovuti ai contatti con un singolo individuo infetto, in sostanza l'efficacia della trasmissione individuale tra un suscettibile e un infetto.

La terza equazione esprime il tasso di ingresso nella categoria dei rimossi e ciò, evidentemente, deve dipendere proporzionalmente dal numero degli infetti \(I(t)\).
Infine, se trascuriamo variazioni significative nel numero complessivo \(N\) della popolazione, i tre gruppi devono soddisfare l'ovvia condizione

\begin{equation}\label{eq:45} N=S(t)+I(t)+R(t)\qquad \forall\,t\geq 0 \end{equation}

dalla quale è immediato ottenere che la derivata di \(N\) dev'essere nulla

\begin{equation} 0=\frac{\textrm{d}S(t)}{\textrm{d}t}+\frac{\textrm{d}I(t)}{\textrm{d}t}+\frac{\textrm{d}R(t)}{\textrm{d}t}\qquad \forall\,t\geq 0 \end{equation}

per cui la seconda equazione delle \eqref{eq:44} è collegata alla prima e alla terza come

\begin{equation} \eqalign{ \frac{\textrm{d}I(t)}{\textrm{d}t}&=-\frac{\textrm{d}S(t)}{\textrm{d}t}-\frac{\textrm{d}R(t)}{\textrm{d}t}\\[3pt] &=\frac{\beta S(t) I(t)}{N}-\gamma I(t).\cr} \end{equation}

Quest'ultima è comunque facilmente comprensibile in quanto il termine \(\beta S(t) I(t)\) rappresenta il tasso di "entrata" tra gli infetti mentre \(\gamma I(t)\) il tasso di uscita dalla categoria degli infetti. Nella figura 19 riportiamo lo schema concettuale della dinamica generale tra le tre categorie del modello SIR.

sintesi del modello SIR
Figura 19.

Simulazione numerica

Il sistema delle tre equazioni differenziali \eqref{eq:44} non si può risolvere esplicitamente e quindi non si possono ottenere espressioni analitiche delle funzioni \(S(t)\) e \(I(t)\) che coinvolgano esplicitamente i parametri \(\beta\) e \(\gamma\). Pertanto presentiamo di seguito solo una simulazione numerica dalla quale trarre comunque alcune importanti conseguenze. Conviene a tal fine definire una popolazione unitaria e riscrivere le equazioni \eqref{eq:44} in termini di frazioni della popolazione: queste sono definite come

\begin{equation} s(t)={S(t)\over N},\qquad i(t)={I(t)\over N},\qquad r(t)={R(t)\over N}. \end{equation}

e dovremo trattare numericamente il sistema di solo due equazioni differenziali (omettiamo la dipendenza dal tempo)

\begin{equation}\label{eq:49} \eqalign{ \frac{\textrm{d}s}{\textrm{d}t} & = -{\beta\,s\,i} \\[3pt] \frac{\text{d}i}{\textrm{d}t} & = {\beta\,s\,i} - \gamma\,i \\[3pt] } \end{equation}

dato che la terza equazione deriva semplicemente dalla condizione \(1=s+i+r\) ottenuta dividendo per \(N\) la \eqref{eq:45}.
Supponendo che al tempo \(t=0\) nella popolazione di suscettibili pari a \(N=250000\) vi sia quindi un solo infetto cosicché \(i(0)=1/250000=4\times 10^{-6}\) e che l'intera popolazione sia suscettibile per cui \(s(0)=1\) (è in effetti il caso di Covid-19 non esistendo per tale patologia alcun vaccino), non ci rimane che assegnare dei valori ai due parametri \(\beta\) e \(\gamma\) del modello. Perché questi valori abbiano un qualche significato diamo l'interpretazione di ciascuno a partire da \(\gamma\).
Quest'ultimo, nell'equazione

\begin{equation} \frac{\textrm{d}r}{\textrm{d}t} = {\gamma\, i}, \end{equation}

rappresenta la frazione di infetti che diventa rimossa in quanto al crescere del suo valore il termine \(\gamma\, i\) aumenta così come la velocità di crescita dei rimossi. Esso si interpreta anche come il reciproco del numero di giorni \(\tau\) durante i quali un malato può infettare altre persone cioè il periodo di contagiosità di un individuo infetto: pertanto \(\gamma=1/\tau\), e di conseguenza \(\gamma\) potrà aumentare nel caso che l'intervallo \(\tau\) diminuisca o viceversa. Un tale periodo si può determinare con l'osservazione clinica ma noi lo fisseremo pari ai classici \(\tau=14\,\hbox{day}\) della quarantena per il Covid-19 cosicché \(\gamma=(1/14)\,\hbox{day}^{-1}\).

Il parametro \(\beta\) rappresenta sostanzialmente il numero di contatti "efficaci" che un infetto ha in un giorno e, ovviamente è una grandezza difficile da osservare sperimentalmente. D'altra parte osserviamo che il rapporto \(\beta/\gamma\) si può riscrivere in termini di \(\tau\) come

\begin{equation} {\beta\over\gamma}= \beta\cdot \tau \end{equation}

e lo possiamo interpretare come

(numero di contatti efficaci al giorno) ∙ (numero di giorni infetti di un individuo)
= numero di contatti efficaci per individuo infetto.

Tale rapporto esprime il ben noto parametro \(R_0=\beta/\gamma\) così spesso citato in questo periodo: più precisamente

\(R_0\) è il numero di individui appartenenti ad una popolazione completamente suscettibile che vengono infettati da un singolo individuo infetto durante il periodo in cui questo può diffondere l'infezione.

In altre parole se l'\(R_0\) di una malattia infettiva è 2, significa che in media un singolo individuo infetto potrà infettare altre due persone: quanto maggiore è il valore di \(R_0\) tanto più elevato è quindi il rischio di diffusione dell’epidemia. Viene detto numero di riproduzione di base o anche indice di contagio e, come vedremo a breve, costituisce un parametro fondamentale. Riscriviamo in termini di tale parametro la seconda delle equazioni \eqref{eq:49}

\begin{equation} \eqalign{ \frac{\text{d}i}{\textrm{d}t} & = i(\beta\,s - \gamma) \\[3pt] &=\gamma\,i\biggl(\!{\beta\over\gamma} s-1\biggr)\\[3pt] &=\gamma\,i\,(R_0 s-1)\cr} \end{equation}

e osserviamo che, affinché la derivata degli infetti sia positiva ossia che l'infezione si diffonda, dev'essere \(R_0s-1>0\). Se quindi consideriamo quale condizione iniziale che tutta la popolazione sia suscettibile cioè sia \(s(0)=1\) allora perché l'infezione possa propagarsi dev'essere

\begin{equation}\label{eq:52} R_0>{1\over s(0)}\qquad\hbox{ossia}\qquad R_0> 1. \end{equation}

Assieme all'osservazione precedente, comprendiamo quindi l'importanza assegnata a tale parametro nell'ambito di qualsiasi modello epidemiologico in quanto il suo valore definisce la soglia tra diffusione ed estinzione dell'epidemia.
Dalla precedente relazione possiamo trarre un'ulteriore importante prospettiva: se si riesce a ridurre la frazione iniziale di suscettibili \(s(0)\) riportandola a valori significativamente minori di 1 magari tramite una campagna vaccinale che comprenda solo una sua frazione, allora perché l'epidemia si diffonda dovrà essere caratterizzata per la \eqref{eq:52} da valori più elevati di \(R_0\) alzando in tal modo la soglia per l'avvio dell'epidemia o per il suo contenimento. L'intera popolazione dei suscettibili potrebbe così essere protetta: è a tale prospettiva che ci si riferisce con il termine, in questi giorni spesso discusso, di immunità di gregge.

In conclusione, nella nostra simulazione assegniamo all'indice di contagio il valore \(R_0=4\) (un valore tipico, per es., nell'influenza mentre nelle prime fasi di diffusione di SARS-CoV-2 le sue stime variavano tra 1.4 e 3.8) e di conseguenza i valori di \(\beta\) e \(\gamma\) sono

\begin{equation} \tau=14\,\hbox{day},\quad R_0=4,\quad\Longrightarrow\quad \beta=0.286\,\hbox{day}^{-1},\qquad \gamma=0.0714\,\hbox{day}^{-1}. \end{equation}

Con tali valori la simulazione numerica delle equazioni \eqref{eq:49} fornisce i risultati rappresentati in figura 20.

andamento temporale SIR
Figura 20.

L'evoluzione temporale delle tre funzioni mostra come, a partire da una popolazione completamente suscettibile, a causa di un singolo individuo infetto evolve, inizialmente lentamente per poi crescere rapidamente nell'arco di circa 20 giorni raggiungendo un massimo di infetti pari al 40% della popolazione attorno al 60° giorno dall'inizio. Decresce poi più lentamente mentre, nel frattempo, aumenta sempre più la frazione dei rimossi. Infine il calcolo degli infetti e dei suscettibili circa 60 giorni dopo il massimo fornisce per entrambi i gruppi una percentuale del 2% ossia \(i(120)\approx s(120)\approx 0.02\).
Quale riscontro visivo finale riportiamo gli andamenti degli infetti e dei rimossi ricavati dai dati della regione Veneto ottenuti definendo le due categorie come

  • infetti = (il totale dei casi) - (dimessi e guariti) - (deceduti)
  • rimossi = (dimessi e guariti) + (deceduti).
infetti e rimossi
Figura 21.

Continua nella pagina successiva con alcuni argomenti di appendice, la bibliografia e materiali prodotti.