Sezione 1

1.1 Dalla riflessione all'inversione circolare

Partiamo da una semplice definizione: data una retta \(a\) nel piano, la trasformazione del piano che associa ad un qualsiasi punto \(A\) un punto \(A'\) tale che la retta \(AA'\) sia perpendicolare ad \(a\) e il punto \(\{Q\}=a\cap AA'\) sia il punto medio del segmento \(AA'\), è nota come trasformazione di simmetria assiale di asse \(a\) o riflessione (Fig. 1.1).

Le sue equazioni rappresentative in un piano con riferimenti cartesiani sono molto semplici se si considerano rette \(a\) parallele agli assi coordinati, un po' più complicate se l'asse di simmetria è una retta obliqua. In ogni caso, se \(P\) è un qualsiasi punto dell'asse \(a\) e \(s\) la retta perpendicolare per \(P\) all'asse (Fig. 1.2), in aggiunta alla congruenza degli angoli \(\angle PAA'\cong\angle PA'A\) vale pure la congruenza \(\angle PA'A\cong\angle sPA'\) in quanto \(s\) è parallela alla retta \(AA'\).

Ne deriva quindi la congruenza \begin{equation} \angle PAA'\cong\angle sPA'\tag{1.1}\label{eq:1.01} \end{equation} valida per ogni punto \(P\in a\).
Volendo definire una trasformazione che mantenga quest'ultima congruenza ma sostituendo l'asse \(a\) con una circonferenza \(\Gamma\) di centro \(C\) e di raggio \(r\) e, nel contempo, mantenendo le perpendicolarità nei punti \(Q\) e \(P\), segue che la retta \(s\) dovrà passare per il centro \(C\) della circonferenza e il punto \(A'\), immagine di \(A\), dovrà appartenere al raggio \(CQ\) di \(\Gamma\) (Fig. 1.3).

D'altra parte, nel caso della riflessione, il punto \(A'\) è evidentemente indipendente dal punto \(P\) (Fig. 1.2) per cui potremmo sospettare che con il passaggio dalla retta \(a\) alla circonferenza \(\Gamma\) venga invece a cadere tale indipendenza. Per analizzare questa eventualità, consideriamo i triangoli di vertici \(CAP\) e \(CA'P\). Questi, per la costruzione scelta, hanno congruenti gli angoli \(\angle CAP=\angle CPA'\) mentre \(\angle PCA\) è in comune. Sono quindi triangoli simili cosicché vale la relazione tra i rapporti \[ {CA\over CP}\cong{CP\over CA'}\qquad\hbox{dalla quale discende la}\qquad CA\cdot CA'=CP^2 \] e quindi \begin{equation} CA\cdot CA'=r^2.\tag{1.2}\label{eq:1.02} \end{equation} Poiché il centro \(C\) e il raggio \(r\) di \(\Gamma\) sono dati, quest'ultima relazione permette di collegare il punto \(A\) con un unico punto \(A'\) del raggio \(CQ\). Inoltre l'estensione proposta mantiene l'indipendenza del punto immagine \(A'\) dalla posizione di \(P\) su \(\Gamma\) in quanto questo punto non è coinvolto nella relazione \eqref{eq:1.02}.
In base a tali osservazioni possiamo definire una nuova trasformazione \(I\) del piano \(\pi\) in sè con le seguenti caratteristiche: se \(\Gamma(C,r)\) è la circonferenza di centro \(C\) e raggio \(r\) e \(A\) un punto distinto da \(C\) (Fig. 1.4), allora

Definizione di inversione circolare

Il punto \(A'\) è detto l'inverso di \(A\) nella trasformazione \(I\colon\, A\to A'\) se esso soddisfa la relazione \begin{equation} \bbox[border:1px solid red,15px,#ffffaa]{ CA\cdot CA'=r^2\tag{1.3}\label{eq:1.03} } \end{equation} con \(A'\) appartenente alla semiretta \(CA\) di origine \(C\).

Evidentemente il punto \(C\) è il centro dell'inversione circolare e per la validità della \eqref{eq:1.03} dev'essere necessariamente \(A\not\equiv C\) così come \(A'\not\equiv C\). Il centro di inversione non appartiene quindi al dominio della trasformazione \(I\) in quanto \(r^2\not=0\) e, per lo stesso motivo, non può essere immagine di alcun punto del piano.

Pertanto, formalmente, l'inversione è la mappa che associa ai punti del piano \(\pi\) il punto \(A'\) tale che \[ I\colon\, A\in\pi- \{C\}\longmapsto A'\in\pi- \{C\}\quad\wedge\quad A'\in\, ]CA\quad\wedge\quad CA\cdot CA'=r^2, \] dove con \(]CA\) indichiamo la semiretta di origine \(C\) passante per \(A\). In quanto segue rappresentiamo questa inversione con la notazione \(I(C,r)\) che richiama il suo centro \(C\) e il raggio \(r\).

1.2 Costruzione dell'inverso di un punto

Sebbene nel seguito di questo lavoro utilizzeremo, dell'inversione, la sua rappresentazione cartesiana (con solo qualche cenno alla sua versione nel piano complesso), può essere utile presentare le costruzioni geometriche che legano il punto \(A\) con il suo inverso \(A'\).
Sia quindi assegnata la circonferenza \(\Gamma\,(C,r)\) (da non confondere con l'inversione \(I(C,r)\)) e un punto \(A\) del piano \(\pi\) esterno ad essa, tracciamo la circonferenza avente diametro \(CA\). Questa interseca \(\Gamma\) in due punti \(P\) e \(Q\) (Fig. 1.5 sx).

Le rette \(AP\) e \(AQ\) risultano tangenti a \(\Gamma\) in quanto \(\angle APC\) e \(\angle AQC\) sono retti. La proiezione \(A'\) sulla semiretta \(CA\) determina l'inverso di \(A\) in quanto, applicando il primo teorema di Euclide a \(\triangle CAP\) (oppure, in alternativa, osservata la similitudine tra \(\triangle APC\) e \(\triangle A'PC\)) risulta valere \[ CA\cdot CA'=CP^2=r^2, \] relazione che coincide con quella che definisce l'inversione \eqref{eq:1.03}. Poiché \(CA> r\) deduciamo pure che \(CA'< r\) per cui ogni punto esterno a \(\Gamma\) è trasformato in un punto interno.
Nel caso il punto \(A\) sia interno (Fig. 1.5 dx), tracciata la semiretta \(CA\), la perpendicolare ad essa per \(A\) individua su \(\Gamma\) i punti \(P\) e \(Q\). Tracciate quindi le tangenti in questi punti, entrambe intersecano la semiretta \(CA\) nel punto \(A'\). L'applicazione del primo teorema di Euclide al triangolo \(\triangle CA'P\) conduce quindi ancora alla relazione di inversione \(CA\cdot CA'=CP^2=r^2\) con \(CA'> r\): i punti interni sono quindi trasformati in punti esterni al cerchio di inversione.
Nel caso sia \(A\in\Gamma\), l'immagine \(A'\) coincide con \(A\) stesso (\(CA=CA'=r\)) per cui tutti i punti della circonferenza sono punti uniti e \(\Gamma\) stesso è un insieme unito nello stesso modo in cui lo è l'asse nella riflessione.

Entrambe le costruzioni di figura 1.5 mettono in evidenza una proprietà dell'inversione: se cioè \(A'\) è l'inverso di \(A\) a sua volta \(A\) è l'inverso di \(A'\) ossia, se vale \(CA\cdot CA'=r^2\) allora è pure \(CA'\cdot CA=r^2\) per cui \(A\) e \(A'\) sono l'uno inverso dell'altro nella circonferenza \(\Gamma\,(C,r)\). Sintetizziamo questa proprietà dell'inversione, la medesima della riflessione, notando che se \(I\) mappa \(A\) in \(A'\) \[ I\colon\, A\longmapsto A', \] è pure \[ I\colon\, A'\longmapsto A, \] cosicché la composizione di entrambe fornisce la funzione identica \(Id\) \[ I\circ I\colon\, A \longmapsto A \qquad\hbox{ossia}\qquad I^2 = Id. \] Poiché l'inversa \(I^{-1}\) soddisfa alla \[ I\circ I^{-1}=Id \] allora la trasformazione \(I\) coincide con la sua inversa \(I=I^{-1}\), proprietà quest'ultima che caratterizza le trasformazioni dette involutorie o involuzioni (Fig. 1.6).

Nella figura seguente riassumiamo l'azione dell'inversione circolare a seconda della distanza del punto \(A\in \pi-\{C\}\) dal centro dell'inversione (Fig. 1.7).

1.3 Dall'inversione circolare alla riflessione

Abbiamo introdotto l'inversione circolare estendendo alcune proprietà geometriche della simmetria assiale. Per sottolineare come queste due trasformazioni siano strettamente collegate, intendiamo qui percorrere il cammino inverso mostrando come, a partire dall'inversione si giunga alla riflessione.
Con riferimento alla figura 1.3 riscriviamo quindi la relazione \(CA\cdot CA'=r^2\) coinvolgendo il punto \(Q\) \[ CA\cdot CA'=r^2\quad\Longrightarrow\quad (r+QA)\cdot(r-QA')=r^2 \] e, da questa deduciamo \[ r\cdot QA=QA'(r+QA) \] dalla quale esplicitiamo in un membro \(QA'\) \[ QA'={r\,QA\over r+ QA}. \] Se ora dividiamo il numeratore e denominatore del secondo membro per \(r\) giungiamo alla \begin{equation} QA'={QA\over \biggl( 1+\displaystyle{{QA\over r}}\biggr)}.\tag{1.4}\label{eq:1.04} \end{equation} Considerando i punti \(A\) e \(Q\) fissi cosicché \(QA\) è una costante, facciamo invece variare il raggio \(r\) cosicché il centro \(C\) di \(\Gamma\) si allontana da \(Q\). Se quindi facciamo tendere il raggio di \(\Gamma\) all'infinito il limite di \(QA'\) risulta \[ QA'=\lim_{r\to\infty}{{QA\over \biggl( 1+\displaystyle{{QA\over r}}\biggr)}}=QA\qquad\hbox{in quanto}\qquad \lim_{r\to\infty} {QA\over r}=0. \] Il punto immagine \(A'\) è pertanto mappato ad una distanza da \(Q\) pari alla distanza del punto \(A\) come avviene effettivamente nella riflessione (Fig. 1.2) e ciò giustifica come la riflessione possa essere considerata un caso limite di inversione nel quale la circonferenza \(\Gamma\) abbia un raggio infinito.

1.4 Equazioni cartesiane dell'inversione circolare

Per determinare le equazioni cartesiane rappresentative dell'inversione circolare scegliamo, per semplicità, di far coincidere il centro \(O\) della circonferenza \(\Gamma\) di raggio \(r\) con l'origine degli assi del sistema \(Oxy\). Il cerchio di inversione è quindi \(\Gamma\,(O,r)\) (Fig. 1.8).

Poiché i punti \(A\) e \(A'\) di coordinate \[ A(x,y), \quad A'(x',y') \] appartengono entrambi alla medesima retta passante per l'origine di equazione \(y=mx\), allora valgono le due equazioni \[\cases{y=mx\cr y'=mx'\cr}\] dalle quali, dividendo membro a membro otteniamo \begin{equation} {y'\over y}={mx'\over mx}\quad\Longrightarrow\quad {y'\over y}={x'\over x}=f\tag{1.5}\label{eq:1.05} \end{equation} dove \(f\) rappresenta una espressione incognita delle coordinate di \(A(x,y)\). Essendo \[ OA=\sqrt{x^2+y^2}, \qquad OA'=\sqrt{\bigl(x'\bigr)^2+\bigl(y'\bigr)^2} \] riscriviamo la relazione \(OA\cdot OA'=r^2\) come \[ \sqrt{x^2+y^2}\cdot \sqrt{\bigl(x'\bigr)^2+\bigl(y'\bigr)^2}=r^2 \] cosicché, dedotte dalla \eqref{eq:1.05} le relazioni \(y'=f\,y\) e \(x'=f\,x\), la precedente diviene \[ \sqrt{x^2+y^2}\cdot \sqrt{\bigl(f\, x\bigr)^2+\bigl(f\, y\bigr)^2}=r^2\qquad\Longrightarrow \qquad\sqrt{x^2+y^2}\cdot f\cdot \sqrt{x^2+y^2}=r^2 \] dalla quale otteniamo \[ f={r^2\over x^2+y^2}. \] Sostituito questo risultato nella \eqref{eq:1.05}, esprimiamo le coordinate di \(A'(x',y')\), inverso di \(A(x,y)\) come \begin{equation} x'={r^2\,x\over x^2+y^2},\qquad y'={r^2\,y\over x^2+y^2}.\tag{1.6}\label{eq:1.06} \end{equation} L'inversione con centro l'origine \(O\) e raggio \(r\) è quindi la funzione \begin{equation} \bbox[border:1px solid red,15px,#ffffcc]{ I(O,r)\colon\, (x,y) \longmapsto \biggl({r^2\,x\over x^2+y^2},{r^2\,y\over x^2+y^2}\biggr)\quad\wedge\quad(x,y)\in \Bbb{R}^2-\{(0,0)\}\tag{1.7}\label{eq:1.07} } \end{equation} che, come già osservato, esclude \(O\) dal suo dominio.
Con calcoli solo un po' più elaborati, se il cerchio di inversione è \(\Gamma\,(C_0,r)\) con centro di coordinate \(C_0(x_0,y_0)\), le corrispondenti equazioni dell'inversione sono \begin{equation} x'=x_0+{r^2(x-x_0)\over (x-x_0)^2+(y-y_0)^2},\qquad y'=y_0+{r^2(y-y_0)\over (x-x_0)^2+(y-y_0)^2}.\tag{1.8}\label{eq:1.08} \end{equation} Le equazioni della trasformazione inversa \(I^{-1}\) si ottengono algebricamente risolvendo il sistema \eqref{eq:1.06} nelle incognite \(x\) e \(y\) ma per la proprietà involutoria \(I^{-1}=I\) queste sono le medesime di \eqref{eq:1.06} e \eqref{eq:1.07} a parte lo scambio degli indici ossia \begin{equation} x={r^2\,x'\over (x')^2+(y')^2},\qquad y={r^2\,y'\over (x')^2+(y')^2}.\tag{1.9}\label{eq:1.09} \end{equation} \begin{equation} \bbox[border:1px solid red,15px,#ffffcc]{ I^{-1}(O,r)\colon\, (x',y') \longmapsto \biggl({r^2\,x'\over (x')^2+(y')^2},{r^2\,y'\over (x')^2+(y')^2}\biggr)\quad\wedge\quad(x',y')\in \Bbb{R}^2-\{(0,0)\}.\tag{1.10}\label{eq:1.10} } \end{equation}

Sezione 2

2.1 Inversione di rette

Ottenute le equazioni rappresentative di \(I\) e dell'inversa \(I^{-1}\), e dopo aver analizzato l'azione di questa mappa su singoli punti (Fig. 1.7), siamo in grado di affrontare lo studio analitico delle immagini prodotte dall'inversione su rette e circonferenze.
Iniziamo con un esempio: data l'equazione della retta \(a\colon\,y=mx\), la sua immagine dovuta all'inversione \(I\,(O,r)\) si ottiene sostituendo ad \(x\) e \(y\) le equazioni \eqref{eq:1.09}. Pertanto abbiamo \[ y=mx\qquad\Longrightarrow\qquad {r^2\,y'\over (x')^2+(y')^2}=m\biggl[{r^2\,x'\over (x')^2+(y')^2}\biggr] \] dalla quale, semplificando, discende la \[ y'=mx' \] equazione che, a parte l'indice, rappresenta la medesima retta. Poiché comunque l'origine \(O\) è esclusa dal dominio della trasformazione, l'inversione \(I\) mappa la retta \(a\) privata del punto \(O\) in se stessa: possiamo quindi scrivere \[ I(O,r)\colon\, a-\{O\}\>\longmapsto\> a-\{O\} \] e affermare che una retta per l'origine è un insieme unito benché i suoi punti ad esclusione delle intersezioni con la circonferenza di inversione, non lo siano: si veda a tal proposito la figura 1.9.

Se la retta \(a\) non passa per l'origine \(a\colon\,y=mx+q\) e quindi \(q\not=0\), la sua immagine è \[ y=mx+q\qquad\Longrightarrow\qquad {r^2\,y'\over (x')^2+(y')^2}=m\biggl[{r^2\,x'\over (x')^2+(y')^2}\biggr]+q \] dalla quale discende l'equazione (per immediatezza, lasciamo cadere qui e nel seguito, l'indice) \[ \Gamma'\colon\, x^2+y^2+\biggl({mr^2\over q}\biggr)x-\biggl({r^2\over q}\biggr)y=0. \] Questa rappresenta, in generale, una circonferenza passante per l'origine mentre nel nostro caso, descrive una circonferenza \(\Gamma'\) privata dell'origine \(O\). Pertanto l'azione dell'inversione è ora \[ I(O,r)\colon\, a\>\longmapsto \Gamma'-\{O\}. \] Nella coppia di immagini della figura 10 riassumiamo questi ultimi risultati evidenziando nella prima (sx) la corrispondenza radiale tra due punti qualsiasi \(A\) e \(B\) della retta con le corrispondenti immagini \(A'\) e \(B'\) sulla circonferenza \(\Gamma'\).

Riassumiamo quanto esposto come

2.2 Inversione di circonferenze

Descritta l'azione dell'inversione sulle rette del piano passiamo ad analizzare le immagini di circonferenze. Abbiamo già detto come la circonferenza di inversione \(\Gamma\,(O,r)\) sia un insieme costituito da punti uniti per cui coincide con la sua immagine. Più in generale, se la circonferenza ha centro in \(O\) ma il suo raggio è \(R\not=r\) \begin{equation} \Gamma_1\colon\, x^2+y^2=R^2\tag{1.11}\label{eq:1.11} \end{equation} com'è facile pensare l'immagine è ancora una circonferenza centrata in quanto la coppia di punti collegati dall'inversione possiede sempre una direzione radiale uscente dal centro. Difatti sostituendo nella precedente le \eqref{eq:1.09} (e posto, come anche di seguito, \(x'=x\) e \(y'=y\)) otteniamo \[ {r^4x^2\over (x^2+y^2)^2}+{r^4y^2\over (x^2+y^2)^2}=R^2. \] Questa si semplifica in \[ {r^4\over (x^2+y^2)^2}\cdot (x^2+y^2)=R^2 \] e quindi \[ {r^4\over x^2+y^2}=R^2\tag{1.12}\label{eq:1.12} \] dalla quale \[ \Gamma_2\colon\, x^2+y^2={r^4\over R^2}. \] L'immagine è quindi una circonferenza centrata in \(O\) ma il suo raggio è ora \(r^2/R\) (Fig. 1.11).

Nel caso la circonferenza non abbia centro in \(O\) ossia la sua equazione sia del tipo \begin{equation} \Gamma_1\colon\, x^2+y^2+ax+by+c=0\quad\wedge\quad a, b\not=0,\tag{1.13}\label{eq:1.13} \end{equation} la sostituzione delle \eqref{eq:1.09} implica l'equazione \[ {r^4x^2\over (x^2+y^2)^2}+{r^4y^2\over (x^2+y^2)^2}+{ar^2x\over x^2+y^2}+{br^2y\over x^2+y^2}+c=0 \] che per la nota precedente diviene \begin{equation} {r^4\over x^2+y^2}+{ar^2x\over x^2+y^2}+{br^2y\over x^2+y^2}+c=0.\tag{1.14}\label{eq:1.14} \end{equation} Riportato a numeratore il termine comune \(x^2+y^2\), discende \begin{equation} r^4+ar^2x+br^2y+c(x^2+y^2)=0.\tag{1.15}\label{eq:1.15} \end{equation} espressione che, a seconda del valore di \(c\), descrive due diverse situazioni.
a) Nell'ipotesi che sia \(c\not=0\), riscriviamo quest'ultima come \begin{equation} \Gamma_2\colon\, x^2+y^2+\biggl({a\, r^2\over c}\biggr)x+\biggl({b\, r^2\over c}\biggr)y+{r^4\over c}=0,\tag{1.16}\label{eq:1.16} \end{equation} equazione che rappresenta ancora una circonferenza non passante per l'origine (Fig. 1.12).

Il centro \(C'\) di questa immagine è \[ C'\biggl(-{a\, r^2\over 2c},-{b\, r^2\over 2c}\biggr)\tag{1.16bis}\label{eq:1.16bis} \] mentre per quanto riguarda il legame tra i raggi sfruttiamo la nota formula valida per una generica circonferenza come la \eqref{eq:1.13} \begin{equation} R^2={1\over 4}(a^2+b^2)-c.\tag{1.17}\label{eq:1.17} \end{equation} Indicato con \(R'\) il raggio dell'immagine \eqref{eq:1.16}, la formula precedente diviene \[ (R')^2={1\over 4}\biggl[\biggl({ar^2\over c}\biggr)^2+\biggl({br^2\over c}\biggr)^2\biggl]-{r^4\over c} \] espressione che riscriviamo come \[ (R')^2={1\over 4}\biggl[{a^2r^4\over c^2}+{b^2r^4\over c^2}\biggl]-{r^4\over c}={r^4\over c^2}\biggl[{1\over 4}(a^2+b^2)-c\biggr] \] e quindi per la \eqref{eq:1.17} \begin{equation} (R')^2={r^4\over c^2}\cdot R^2\qquad\hbox{o anche}\qquad R'={r^2\over |c|}\cdot R.\tag{1.18}\label{eq:1.18} \end{equation} A prescindere dalle rispettive equazioni rappresentative \eqref{eq:1.13} e \eqref{eq:1.16}, nel seguito ci sarà utile collegare direttamente centro \(C'\) e raggio \(R'\) dell'immagine con il centro \(C(\alpha,\beta)\) e raggio \(R\) della circonferenza iniziale \eqref{eq:1.13}. Poiché valgono le relazioni \[ C(\alpha,\beta)\equiv C\biggl(-{a\over 2},-{b\over 2}\biggr), \qquad c={1\over 4}(a^2+b^2)-R^2=\alpha^2+\beta^2-R^2, \] riscriviamo quindi la \eqref{eq:1.16bis} e la \eqref{eq:1.18} come \[ C'\biggl({r^2\alpha \over \alpha^2+\beta^2-R^2},{r^2\beta\over \alpha^2+\beta^2-R^2}\biggr)\qquad R'={r^2 R\over |\alpha^2+\beta^2-R^2|}\tag{1.18bis}\label{eq:1.18bis} \]

b) Se invece nell'equazione \eqref{eq:1.15} è \(c=0\), allora questa si riduce alla \begin{equation} s\colon\, ax+by+r^2=0,\tag{1.19}\label{eq:1.19} \end{equation} che è l'equazione di una retta non passante per \(O\) (Fig. 1.13): manifestamente questa eventualità rappresenta l'inverso di quanto discusso precedentemente e riassunto nella figura 1.10.

In conclusione

2.3 Una proprietà importante

Le immagini nella figura 1.13 mostrano come le rette immagini di ciascuna delle due circonferenze \(\Gamma\) siano perpendicolari alla retta uscente dal centro di inversione \(O\) e passante per il centro \(C\) delle circonferenze stesse.
Intendiamo dimostrare questa proprietà generale per cui se supponiamo che le coordinate del centro della circonferenza \(\Gamma\) passante per \(O\) siano \(C(\alpha,\beta)\) e la retta \(OC\) abbia equazione \(y=mx\), allora dev'essere \(\beta=m\alpha\) per cui \(C(\alpha,m\alpha)\). L'equazione della circonferenza \(\Gamma\), dovendo passare per \(O\) è quindi \[ (x-\alpha)^2+(y-\beta)^2=\alpha^2+\beta^2\qquad\Longrightarrow\qquad (x-\alpha)^2+(y-m\alpha)^2=\alpha^2+(m\alpha)^2 \] che si semplifica nella \begin{equation} x^2+y^2-2\alpha\,x-2m\alpha\,y=0.\tag{1.20}\label{eq:1.20} \end{equation} Ricordando la nota 1, l'inversione di quest'ultima equazione fornisce \[ {r^4\over x^2+y^2}-{2\alpha r^2x\over x^2+y^2}-{2m\alpha r^2y\over x^2+y^2}=0 \] dalla quale otteniamo la retta \(s\) \[ r^2-2\alpha x-2m\alpha y=0\quad\Longrightarrow\quad s\colon\, y=-\biggl({1\over m}\biggr)x+{r^2\over 2m \alpha} \] che risulta perpendicolare alla \(y=mx\) in quanto il prodotto dei rispettivi coefficienti angolari è pari a \(-1\). Poiché inoltre la retta \(OC\) individua un diametro di \(\Gamma\), possiamo pure affermare che la retta tangente in \(O\) è parallela alla retta immagine \(s\) (Fig. 1.13 dx). Per esempio, se la circonferenza ha centro sull'asse \(y\) con equazione \[ x^2+(y-\beta)^2=\beta^2\qquad\Longrightarrow\qquad x^2+y^2-2\beta y=0 \] la sua immagine è \[ {r^4\over x^2+y^2}-{2\beta r^2y\over x^2+y^2}=0 \] dalla quale otteniamo facilmente la retta \[ y={r^2\over 2\beta}\tag{1.20bis}\label{eq:1.20bis} \] manifestamente perpendicolare all'asse \(y\).
In definitiva, possiamo affermare quest'altra proprietà dell'inversione:

Se quindi costruiamo una famiglia di circonferenze tutte passanti per \(O\) e aventi in tale punto la medesima tangente \(t\), l'inversione associa a questa famiglia una fascio di rette parallele a \(t\) come mostra la figura 1.14.

2.4 Angoli

Un'altra importante proprietà dell'inversione riguarda la sua azione sugli angoli. Per esplorarne le caratteristiche e senza entrare nel dominio della geometria differenziale nella quale solo si può dare una dimostrazione generale, ci limitiamo a considerare quale primo esempio due circonferenze \(\Gamma_1\) e \(\Gamma_2\) di centri \(C_1(a_1,b_1)\) e \(C_2(a_2,b_2)\), raggi \(R_1\) e \(R_2\) e che si intersecano in due punti \(A\) e \(B\). Con tali posizioni le rispettive equazioni sono \[ \Gamma_1\colon\, x^2+y^2-2a_1 x-2b_1y+c_1=0,\qquad \Gamma_2\colon\, x^2+y^2-2a_2 x-2b_2y+c_2=0 \] con \begin{equation} R_1^2=a_1^2+b_1^2-c_1,\qquad R_2^2=a_2^2+b_2^2-c_2.\tag{1.21}\label{eq:1.21} \end{equation} L'angolo con cui si intersecano due curve qualsiasi è definito come l'angolo formato dalle rispettive tangenti nel loro punto di intersezione per cui, nel caso delle circonferenze \(\Gamma_1\) e \(\Gamma_2\) con tangenti \(t_1\) e \(t_2\) (Fig. 1.15), l'angolo orientato in \(A\) è \[ \alpha=\angle t_1A\,t_2 \] e assegniamo a tale angolo un'ampiezza positiva coerentemente con il verso antiorario che porta il suo lato \(t_1\) su \(t_2\).

Dimostriamo innanzitutto come quest'angolo sia collegato all'angolo nel vertice \(A\) del triangolo \(\triangle C_1AC_2\) ( Fig. 1.15). Tracciata la retta per i centri \(C_1\) e \(C_2\), per la perpendicolarità delle tangenti con le ulteriori rette \(C_1A\) e \(C_2A\), è pure \[ \eqalign{\alpha=\angle DAE&=\angle C_2AC_1-\angle C_2AD-\angle EAC_1\cr &=\angle C_2AC_1-\bigl(\angle C_2AE-\angle DAE\bigr)-\bigl(\angle DAC_1-\angle DAE\bigr)\cr &=\angle C_2AC_1-\biggl({\pi\over 2}-\angle DAE\biggr)-\biggl({\pi\over 2}-\angle DAE\biggr)\cr} \] cosicché \[ \angle DAE=\angle C_2AC_1-\pi+2\angle DAE \] da cui, semplificando, l'angolo di intersezione \(\alpha\) \begin{equation} \alpha=\angle DAE = \pi - \angle C_2AC_1.\tag{1.22}\label{eq:1.22} \end{equation} L'angolo tra le due circonferenze è quindi il supplementare di \(\beta=\angle C_2AC_1\), angolo che coinvolgiamo applicando il teorema trigonometrico di Carnot a \(\triangle C_1AC_2\). Sapendo che \(C_1A=R_1\) e \(C_2A=R_2\) ne deriva \[ (C_1C_2)^2=(C_1A)^2+(C_2A)^2-2\,C_1A\cdot C_2A\cos\beta \] \[ (C_1C_2)^2=R_1^2+R_2^2-2R_1R_2\cos\beta. \] Poiché sono note le coordinate dei centri, la loro distanza è \[ (C_1C_2)^2=(a_2-a_1)^2+(b_2-b_1)^2 \] e quindi, dalla precedente, abbiamo \[ 2R_1R_2\cos\beta=R_1^2+R_2^2-(a_2-a_1)^2-(b_2-b_1)^2. \] Infine sostituendo a secondo membro le espressioni \eqref{eq:1.21} otteniamo \begin{equation} 2R_1R_2\cos\beta=(a_1^2+b_1^2-c_1)+(a_2^2+b_2^2-c_2)-(a_2-a_1)^2-(b_2-b_1)^2 \end{equation} da cui \begin{equation} 2R_1R_2\cos\beta=2a_1a_2+2b_1b_2-c_1-c_2. \tag{1.23}\label{eq:1.23} \end{equation} Se \(\Gamma_1'\) e \(\Gamma_2'\) sono le circonferenze ottenute applicando l'inversione \(I(O,r)\) a \(\Gamma_1\) e \(\Gamma_2\), le rispettive equazioni in base alla \eqref{eq:1.16} sono \[ \eqalign{ \Gamma_1'\colon\, &x^2+y^2-\biggl({2a_1\, r^2\over c_1}\biggr)x-\biggl({2b_1\, r^2\over c_1}\biggr)y+{r^4\over c_1}=0\cr \Gamma_2'\colon\, &x^2+y^2-\biggl({2a_2\, r^2\over c_2}\biggr)x-\biggl({2b_2\, r^2\over c_2}\biggr)y+{r^4\over c_2}=0,\cr} \] per cui possiamo riscrivere la relazione \eqref{eq:1.23} come \[ 2R_1'R_2'\cos\beta'=2\biggl({a_1r^2\over c_1}\cdot {a_2r^2\over c_2}\biggr)+2\biggl({b_1r^2\over c_1}\cdot {b_2r^2\over c_2}\biggr)-{r^4\over c_1}-{r^4\over c_2} \] essendo \(\beta'\) l'angolo immagine di \(\beta\). La precedente si semplifica in \[ 2R_1'R_2'\cos\beta'={r^4\over c_1c_2}\bigl(2a_1a_2+2b_1b_2-c_1-c_2\bigr) \] e riutilizzando la \eqref{eq:1.23}, assume la forma \[ 2R_1'R_2'\cos\beta'={r^4\over c_1c_2}(2R_1R_2\cos\beta). \] Ripresa la relazione \eqref{eq:1.18} che lega i raggi della circonferenza originaria e della sua inversa, quest'ultima diviene \[ 2\biggl({r^2R_1\over c_1}\biggr)\biggl({r^2R_2\over c_2}\biggr)\cos\beta'={r^4\over c_1c_2}(2R_1R_2\cos\beta)\qquad\Longrightarrow\qquad {r^4\over c_1c_2}(2R_1R_2\cos\beta')={r^4\over c_1c_2}(2R_1R_2\cos\beta) \] e, dopo le opportune semplificazioni giungiamo alla semplice equazione goniometrica \[ \cos\beta'=\cos\beta. \] Sapendo che \(\beta=\pi-\alpha\) e \(\beta'=\pi-\alpha'\), questa equivale alla \(\cos\alpha'=\cos\alpha\), equazione goniometrica che ha per soluzioni \(\alpha'=\pm\alpha+2k\pi\).
Le circonferenze immagini quindi si intersecano formando un angolo con ampiezza in valore assoluto uguale a quello iniziale cosicché l'inversione non altera l'angolo di intersezione tra due circonferenze.
Sebbene quanto esposto sia comunque solo un esempio, questa osservazione esprime una proprietà generale dell'inversione: pertanto

È per tale motivo che l'inversione viene identificata come una trasformazione conforme.
Per approfondire questo aspetto pure in termini essenzialmente geometrici, ricordiamo che ad una circonferenza per il centro \(O\) di inversione corrisponde una retta immagine parallela alla tangente in \(O\) e non passante per \(O\). Supponiamo quindi che entrambe le circonferenze \(\Gamma_1\) e \(\Gamma_2\) di figura 1.16 passino innanzitutto per \(O\) e pure abbiano in comune il punto \(A\). Siano \(t_1\) e \(t_2\) le rispettive tangenti in \(A\): queste formano l'angolo \[ \alpha=\angle t_1At_2\tag{1.24}\label{eq:1.24} \] caratterizzato, nel nostro esempio, dal verso orario che porta \(t_1\) su \(t_2\).

Applicando l'inversione \(I(O,r)\) (nella figura 1.16 di color rosso), le immagini di \(\Gamma_1\) e \(\Gamma_2\), queste ultime prive dell'origine \(O\), sono le rette \(r_1\) e \(r_2\) e queste ordinatamente formano l'angolo \[ \alpha'=\angle r_1A'r_2 \tag{1.25}\label{eq:1.25} \] di figura 1.16 con \(A'\) immagine di \(A\). Per il parallelismo di queste con le rette \(s_1\) e \(s_2\) per \(O\), l'angolo \(\alpha'\) è uguale in modulo e verso all'angolo che porta \(s_1\) su \(s_2\) ossia \[\alpha'=\angle s_1Os_2.\tag{1.26}\label{eq:1.26}\] D'altra parte a causa della simmetria assiale rispetto alla retta per i centri delle due circonferenze (Fig. 1.16), l'angolo \(\angle s_1Os_2\) è opposto a quello definito dalle tangenti \(t_1\) e \(t_2\) ossia \[\alpha'=-\angle t_1At_2\tag{1.27}\label{eq:1.27}\] per cui dalla \eqref{eq:1.24} segue che \begin{equation} \alpha'=-\alpha.\tag{1.28}\label{eq:1.28} \end{equation} Questo risultato, pur ottenuto sulla base di un esempio, chiarisce la proprietà conforme dell'inversione che ora specifichiamo come:

Quale ulteriore esempio mostriamo nella figura seguente (1.17) la circonferenza \(\Gamma\) passante per il centro \(O\) di inversione e la sua retta \(r\) immagine. Considerando che l'asse \(x\) ha per immagine se stesso (è una retta per \(O\)), osserviamo come l'angolo formato dalla retta tangente alla circonferenza nel punto \(A(2,0)\) sia congruente ma di verso opposto con l'angolo formato dalla retta immagine con il medesimo asse nel punto \(A'\).

Nella figura successiva (1.18) generalizziamo la precedente osservazione riportando alcune circonferenze della famiglia avente come punti fissi \(O\) e \(A\). L'immagine suggerisce come, al crescere dell'ordinata positiva dei rispettivi centri (freccia verticale), l'angolo (positivo) formato dalle tangenti in \(A\) stia diminuendo mentre aumenta, essendo negativo, quello formato con l'asse \(x\) delle corrispondenti rette immagini.

Sezione 3

3.1 Spunti storici: Apollonio di Perga e il problema della tangenza

Esposte le principali proprietà dell'inversione circolare presentiamo qualche cenno su alcuni problemi storici che, in aggiunta agli strumenti classici della geometria euclidea, trovano una sintetica soluzione con l'applicazione dell'inversione circolare.

Apollonio di Perga, nato a Perga, città dell'Asia Minore, attorno al 262 a.C. e morto ad Alessandria d’Egitto nel 190 a.C. è l’ultimo dei grandi geometri greci. Il suo lavoro più importante, Coniche, è un trattato suddiviso in otto libri contenente 387 proposizioni sulle sezioni coniche. Queste curve venivano tradizionalmente ottenute come sezioni piane di tre differenti tipi di coni mentre Apollonio nel suo trattato ridefinisce il cono come una superficie ottenuta ruotando una linea nello spazio attorno ad un suo punto. In tal modo, egli ottiene un doppio cono che intersecato con un piano ad un dato angolo, forma tutte le possibili configurazioni coniche che, sempre Apollonio e per la prima volta, individua con i termini che usiamo ancor oggi cioè i termini di ellisse, parabola e iperbole.
Per quanto riguarda le tangenze tra circonferenze ad Apollonio si associa il problema che richiede di costruire con riga e compasso il cerchio contemporaneamente tangente ad altri tre cerchi dati: con terminologia moderna, possiamo enunciarlo come

Problema di Apollonio sulla tangenza. Data una terna di oggetti geometrici, quali punti (P), rette (R) o circonferenze (C), determinare le circonferenze tangenti alla terna data.

Tra le 10 possibili combinazioni alcune sono ben note: inteso che la tangenza per un punto equivale al passaggio del cerchio per lo stesso punto, il caso PPP (ovviamente non allineati) è immediato ed equivale a determinare quell'unico cerchio passante per i tre punti e che sappiamo essere il cerchio circoscritto al triangolo avente questi punti come vertici. Un ulteriore caso è dato dalla terna RRR e la sua risoluzione conduce al cerchio inscritto o ad uno dei tre cerchi exinscritti cosicché sono quattro le possibili soluzioni.
Tra le rimanenti otto combinazioni, la combinazione CCC ossia quella di determinare un cerchio tangente a tre cerchi dati costituisce, appunto, lo storico problema di Apollonio discusso nel suo trattato Tangenti, opera a noi conosciuta attraverso il commento di Pappo di Alessandria nella sua opera “Collectiones mathematicae” e tradotta in latino nel 1589 da Federico Commandino. In quest'ultimo caso le soluzioni possono essere al massimo otto.
La soluzione di questo problema con mezzi analitici consiste nell’applicare l'inversione circolare che, come visto, tra le sue numerose proprietà permette di trasformare circonferenze in rette e viceversa nonché di conservare, nelle curve trasformate, le tangenze e gli angoli. In questo lavoro non affrontiamo esplicitamente questo problema in quanto la trattazione obbliga ad uno studio puntuale di diversi casi particolari mentre utilizzeremo l’inversione circolare per approfondire gli storici problemi delle catene di Pappo e del porisma di Steiner. Nella seconda parte intendiamo poi estendere il problema della tangenza tra cerchi affrontando situazioni geometriche decisamente più attuali che comportano particolari impacchettamenti di cerchi quali sono le spirali di Doyle.

3.2 Le catene di Pappo

La nascita di Pappo si colloca attorno il 290 d.C, trascorse l’intera sua vita ad Alessandria e morì attorno al 350. L’età d’oro della geometria greca era terminata con Apollonio di Perga alcuni secoli prima ma ciò nonostante matematici quali Erone di Alessandria, Menelao, Claudio Tolomeo contribuirono con le loro trattazioni a mantenere viva la geometria greca. In particolare Pappo, nella sua opera principale costituita da otto libri e intitolata Synagoge o “Collectiones mathematicae”, affronta l’intero campo della geometria classica dimostrando, se non originalità, certamente una grande padronanza delle tecniche geometriche e sicura versatilità in una esposizione chiara e elegante.
Un problema menzionato nel suo Libro IV (Prop. 15, 16, 18) coinvolge la tangenza di cerchi e consiste nell’inserire nella regione delimitata da tre semicirconferenze, \(\Gamma_A\), \(\Gamma_B\) e \(\Gamma_C\) disposte come nella figura 1.19, regione comunemente detta arbelo, una catena di cerchi ciascuno tangente ai due cerchi adiacenti della catena e alle due semicirconferenze iniziali, \(\Gamma_A\) e \(\Gamma_B\), e il primo dei quali è tangente pure a \(\Gamma_C\).

Pappo dimostra che

In quanto segue daremo ragione di una tale affermazione e, allo stesso tempo, scopriremo ulteriori proprietà dell’inversione circolare.
Consideriamo una generica circonferenza nella regione dell'arbelo tangente sia alla semicirconferenza di centro \(C_A\) e raggio \(r_A\) che ad una seconda di centro \(C_B\) e raggio \(r_B\) (Fig. 1.20).

Sia \(r\) il raggio di questa circonferenza che, evidentemente, è tangente internamente alla prima ed esternamente alla seconda. Se \(\alpha\) è l'angolo evidenziato nella figura 1.20, l'applicazione del teorema trigonometrico di Carnot permette di scrivere la relazione tra i lati di \(\triangle C_ACC_B\) \[ (C_AC_B)^2+(r_A-r)^2-2(C_AC_B)(r_A-r)\cos(\pi -\alpha)=(r_B+r)^2 \] dalla quale, essendo nota la distanza tra i centri \(C_AC_B\) deduciamo innanzitutto il raggio incognito \(r\) e di conseguenza, la lunghezza del segmento \(C_AC=r_A-r\). La conoscenza di quest'ultima lunghezza assieme all'angolo \(\alpha\) ci permette di ottenere le coordinate del centro \(C\).
Con questi risultati possiamo tracciare alcune circonferenze nell'arbelo e applicare ad esse l'inversione \(I(O,1)\) con centro l'origine \(O\) e raggio unitario rappresentata in figura 1.21 come un quadrante di cerchio: otteniamo in tal modo l'immagine di sinistra che mostra come le circonferenze immagini e dello stesso colore di quelle iniziali abbiano un ugual raggio e i rispettivi centri possiedano la medesima ascissa.

A seguito di ciò determiniamo pure le immagini delle circonferenze \(\Gamma_A\) e \(\Gamma_B\) iniziali: poiché entrambe passano per il centro \(O\) di inversione e ivi possiedono come tangente comune l'asse \(y\), le loro immagini sono due rette parallele a \(y\) che così delimitano la striscia di piano entro la quale sono confinate le precedenti due circonferenze (Fig. 1.21 dx). Reinterpretato il risultato \eqref{eq:1.20bis} sull'asse \(x\), le equazioni delle due rette immagini sono \[ x_A={1\over 2 r_A}, \qquad x_B={1\over 2 r_B}.\tag{1.29}\label{eq:1.29} \] Osservando la parte destra della figura 1.21 notiamo pure che le tangenze tra le circonferenze di origine si sono trasformate in tangenze tra le circonferenze immagini con le due rette parallele e ciò conferma visivamente come l'inversione mantenga le tangenze. Con le due equazioni precedenti è immediato dedurre il raggio comune \(r_n\) delle circonferenze immagini \[ r_n={1\over 4}\biggl({r_A-r_B\over r_Ar_B}\biggr)\tag{1.30}\label{eq:1.30} \] così come l'ascissa dei centri \[ x_n={1\over 4}\biggl({r_A+r_B\over r_Ar_B}\biggr).\tag{1.31}\label{eq:1.31} \] Per ottenere la catena richiesta dal problema di Pappo (Fig. 1.19) potremo quindi procedere a ritroso e con i passi seguenti:

1. costruiamo innanzitutto una pila di \(n\) circonferenze a partire dalla semicirconferenza di centro \(C_0\) e immagine di \(\Gamma_C\), in modo che ciascuna sia tangente alle due adiacenti e compresa nella striscia definita dalle due rette. A tal fine, fissato l'indice massimo \(n\), nella figura 1.22 si è posto \(n=3\), la circonferenza finale di centro \(C_n\) risulterà appartenere sia alla pila ma pure alla catena: imponendo la condizione \eqref{eq:1.28bis}, il suo centro avrà coordinate \(C_n(x_n,n(2r_n))\).
2. Considerato che \(C_0(x_n,0)\) è la proiezione di \(C_n\) sul diametro comune delle semicirconferenze iniziali e che le coordinate di \(C_A\) sono \(C_A(r_A,0)\), l'applicazione a \(\triangle C_AC_nC_0\) del teorema di Pitagora fornisce la relazione \[ (C_nC_A)^2=(C_nC_0)^2+(C_AC_0)^2\qquad\Longrightarrow\qquad(r_A-r_n)^2=(2n r_n)^2+(r_A-x_n)^2.\tag{1.32}\label{eq:1.32} \] Eliminando \(r_n\) e \(x_n\) con le precedenti \eqref{eq:1.30} e \eqref{eq:1.31}, otteniamo una equazione di secondo grado che lega i raggi \(r_A\) e \(r_B\) con \(n\). Supposti quindi noti \(r_A\) e, come detto, \(n\), ne discende il raggio \(r_B\) che assicura l'esistenza delle \(n\) circonferenze nella striscia.

   

3. È ora possibile applicare a queste ultime l’inversione \(I(O,1)\) e ricostruire la catena cercata: nella figura 1.23 abbiamo posto \(n=4\) a sinistra e \(n=6\) a destra.

Poiché la circonferenza di indice \(n\) appartiene sia alla corona che alla pila dev’essere l’immagine di se stessa cioè deve rappresentare, nell’inversione, un insieme unito.
Per approfondire questa osservazione tracciamo la circonferenza di inversione (tratteggiata nella figura 1.24) e determiniamo i suoi due punti di intersezione con la circonferenza di centro \(C_n\). Se ora tracciamo la retta tangente, per es. nel punto \(T\) (Fig. 1.24) questa non solo, e ovviamente, forma un angolo retto con il raggio \(C_nT\) ma, com’è facile verificare, passa per il centro \(O\) di inversione (Fig. 1.24 sx).

Questa osservazione ci induce a pensare che, se una generica circonferenza interseca la circonferenza di inversione in due punti nei quali le rette ad essa tangenti convergono nel centro di inversione, allora questa circonferenza dovrebbe essere invariante per inversione.
La dimostrazione di questa osservazione è immediata in quanto è sufficiente ricordare il noto teorema geometrico della secante e della tangente. Siano quindi \(O\) il centro di inversione e \(r=OT\) il raggio della corrispondente circonferenza, \(\Gamma\) una circonferenza che interseca in \(T\) la circonferenza di inversione e tale che la tangente in \(T\) passi per \(O\) (Fig. 1.25).

Se \(P\) e \(P_1\) sono gli estremi di una corda determinati da una generica retta secante la circonferenza \(\Gamma\) e passante per \(O\), il teorema ricordato assicura la validità della relazione \[ OP\times OP_1=OT^2=r^2 \]

per cui i due punti sono uno l’inverso dell’altro. Poiché di tale teorema vale l’inverso ossia se una circonferenza \(\Gamma\) passa per due punti uno inverso dell’altro nella trasformazione \(I\), allora \(\Gamma\) forma un angolo retto con la circonferenza di inversione, possiamo pure concludere che questa circonferenza risulta unita nell’inversione \(I\) e, ricordando quanto esposto sugli angoli tra curve, in tal caso le due circonferenze si dicono ortogonali.

Un’ultima osservazione: se riprendiamo la figura 1.20 e consideriamo la somma dei segmenti \(C_AC\) e \(C_BC\) in termini dei raggi risulta \[ C_AC+C_BC=(r_A-r)+(r_B+r)=r_A+r_B \] per cui, al variare del centro \(C\) questa somma è costante. Essendo \(C_A\) e \(C_B\) punti fissi mentre \(C\) è variabile, questa proprietà definisce il luogo dei centri della catena di circonferenze, luogo che risulta essere una ellisse con i fuochi nei centri delle due circonferenze iniziali, tangente in \(O\), con semiasse maggiore di lunghezza \((r_A+r_B)/2\) e asse minore \(\sqrt{r_Ar_B}\) (Fig. 1.26).

Sezione 4

4.1 Una particolare famiglia di circonferenze

Le posizioni relative che possono assumere due circonferenze sono ben note e, a seconda della distanza tra i centri, queste possono essere tangenti sia esternamente che internamente, secanti oppure non avere punti in comune ed essere quindi una interna all’altra o, viceversa, una esterna all’altra.
In questa sezione e a partire da due circonferenze prive di punti comuni e una interna all’altra (Fig. 1.27), intendiamo costruire innanzitutto un particolare insieme di circonferenze ciascuna delle quali è priva di intersezioni con qualsiasi altro elemento dello stesso insieme.

Con gli elementi riportati in figura 1.27, le equazioni rappresentative nel sistema cartesiano sono, rispettivamente \[ \Gamma_1\colon\, (x-a)^2+y^2=(r_1)^2,\qquad \Gamma_2\colon\, (x-b)^2+y^2=(r_2)^2\tag{1.33}\label{eq:1.33} \] dove \(r_1\) e \(r_2\) sono i raggi e \(a\) e \(b\) le ascisse dei rispettivi centri. Sviluppando i quadrati otteniamo le forme alternative \[ x^2+y^2-2ax+(a^2-r_1^2)=0,\qquad x^2+y^2-2bx+(b^2-r_2^2)=0\tag{1.34}\label{eq:1.34} \] in base alle quali riconosciamo che entrambe le circonferenze rientrano nella forma più generale \[ x^2+y^2-2kx+p^2=0\tag{1.35}\label{eq:1.35} \] che, per evidenziare centro e raggio, riscriviamo come \[ (x-k)^2+y^2=k^2-p^2.\tag{1.36}\label{eq:1.36} \] Considerando il parametro \(k\) come variabile, l’ultima equazione descrive una qualsiasi circonferenza con centro e raggio dati dalle espressioni \[ \hbox{centro}\colon\, C(k,0)\qquad\hbox{e}\qquad \hbox{raggio}\colon\, r=\sqrt{k^2-p^2}.\tag{1.37}\label{eq:1.37} \] La condizione di esistenza del raggio, \(k^2-p^2≥0\), impone che l'ascissa dei centri soddisfi le disuguaglianze \[ k≤-p\quad\hbox{oppure}\quad k≥p\tag{1.38}\label{eq:1.38} \] per cui queste circonferenze non potranno avere il centro compreso tra i punti di ascissa \(\pm p\), punti che indichiamo come \[ L_1(p,0),\qquad L_2(-p,0).\tag{1.38bis}\label{eq:1.38bis} \] Nella figura 1.28 riportiamo alcune circonferenze di questo insieme dove abbiamo scelto \(p^2=1\) con \(k\) che assume i valori \(\pm2,\,\pm3,\,\pm4,\,\pm5\).

Appare ora con maggiore evidenza il fatto che nessun centro possa essere interno al segmento di estremi \(L_1\) e \(L_2\) e, inoltre, come un tale insieme, o famiglia, di circonferenze possieda un asse di simmetria comune che, nell’esempio, coincide con l’asse \(y\), retta che rappresenta pure l’asse radicale della famiglia. Per questi motivi diremo che la famiglia descritta dalla \eqref{eq:1.36} forma un sistema coassiale di circonferenze disgiunte. In corrispondenza di \(k=\pm p\) la medesima equazione si riduce ai due punti \(L_1\) e \(L_2\) (Fig. 1.28) che quindi corrispondono alle due uniche “circonferenze” degeneri della famiglia aventi cioè raggio nullo: nel seguito indicheremo questa coppia come punti limite del sistema.
Con riferimento alla figura 1.29, una circonferenza del sistema (e quindi con centro \(C(k,0)\)), interseca l’asse \(x\) nei punti \(A_1\) e \(A_2\) le cui ascisse \(x_1\) e \(x_2\) sono le soluzioni dell’equazione \eqref{eq:1.35} dove si sia posto \(y=0\), \[ x^2+2kx+p^2=0.\tag{1.39}\label{eq:1.39} \]

Il prodotto di queste soluzioni è quindi \[ x_1x_2=p^2\tag{1.40}\label{eq:1.40} \] e poiché l'asse radicale passa per \(O\), possiamo sostituirle con le lunghezze dei segmenti \[ OA_1\cdot OA_2=p^2\tag{1.41}\label{eq:1.41} \] o anche, noto il significato di \(p\) come ascissa di \(L_1\) \eqref{eq:1.38bis} \[ OA_1\cdot OA_2=OL_1^2\quad\hbox{oppure}\quad OA_1\cdot OA_2=OL_2^2.\tag{1.42}\label{eq:1.42} \] Poiché \(p\) è una costante, le due ultime relazioni mostrano una proprietà importante per gli estremi di un diametro di una qualsiasi circonferenza del sistema: questi due punti sono uno il coniugato dell’altro nell’inversione di centro \(O\) e raggio \(OL_1=OL_2=p\) (Fig. 1.29). Ricordando quanto osservato sulle circonferenze passanti per punti coniugati, possiamo affermare l'ortogonalità tra queste circonferenze.
Questa ortogonalità si può comunque estendere a qualsiasi circonferenza che abbia centro sull'asse radicale e passante per \(L_1\) e \(L_2\) (nell'esempio di figura 1.30 poniamo \(D(0,y)\)).

Difatti sia \(T\) uno dei due punti di intersezione di questa generica circonferenza con quella di centro \(C\) e \(DT\) e \(CT\) siano i rispettivi raggi. D'altra parte per l'ipotenusa \(DL_1\) di \(\triangle ODL_1\) rettangolo in \(O\) vale il teorema di Pitagora \[ (DL_1)^2=(OD)^2+(OL_1)^2 \] ma essendo \(L_1(p,0)\) e \(DL_1=DT\) in quanto raggi della medesima circonferenza, abbiamo \[ DL_1=\sqrt{y^2+p^2}=DT.\tag{1.43}\label{eq:1.43} \] Per la \eqref{eq:1.36} il raggio dell'altra è \(CT=r=\sqrt{k^2-p^2}\). Questi segmenti sono perpendicolari in \(T\) se e solo se vale il teorema di Pitagora (Fig. 1.30) ossia \[ (DT)^2+(CT)^2=(DC)^2.\tag{1.44}\label{eq:1.44} \] Poiché \((DC)^2=(OD)^2+(OC)^2=y^2+k^2\) la sostituzione dei tre termini conduce all'identità \[ (y^2+p^2)+(k^2-p^2)=y^2+k^2\quad\hbox{ossia}\quad y^2+k^2=y^2=k^2 \] che conferma la perpendicolarità dei raggi.
Una terza e interessante proprietà discende dalla interpretazione geometrica della relazione che lega il raggio \(r\) con le ascisse \(k\) e \(p\) cioè \[ r^2=k^2-p^2.\tag{1.45}\label{eq:1.45} \] Riscritta come \[ (k-p)(k+p)=r^2 \] interpretiamo i due fattori a primo membro come le lunghezze dei segmenti \[ CL_1=k-p\qquad\hbox{e}\qquad CL_2=k-(-p)=k+p \] per cui diviene \[ CL_1\cdot CL_2=r^2\tag{1.46}\label{eq:1.46} \] Questa forma mostra come i punti limite siano l’uno immagine dell’altro nell’inversione circolare che ha per centro e raggio una qualsiasi circonferenza del sistema coassiale.
In definitiva, ad una famiglia di circonferenze coassiali disgiunte siamo in grado di

• associare due punti fissi deducibili indifferentemente da una delle due inversioni circolari rappresentate dalle relazioni \eqref{eq:1.42} o \eqref{eq:1.46}.

Inoltre alla famiglia di circonferenze coassiali possiamo

• collegare un secondo insieme di circonferenze con centro sull’asse radicale e ortogonali al sistema coassiale iniziale.

La figura 1.31 riassume visivamente questi aspetti evidenziando le due famiglie di circonferenze e i punti limite. Non può sfuggire comunque la somiglianza di queste famiglie di circonferenze con la ben nota rappresentazione del campo elettrico generato da due cariche puntiformi di segno opposto tramite le linee di campo e le curve equipotenziali (fig. 1.31bis): benché questi due insiemi non siano costituiti da circonferenze, sussiste ancora la ortogonalità tra linee di campo e curve equipotenziali.

4.2 Il porisma di Steiner

Nello sviluppo di un argomento matematico numerosi sono i termini che incontriamo e che intendono caratterizzare i passaggi più significativi del discorso che si intende fare. Termini quali assioma, postulato, teorema, corollario, lemma si incontrano con una certa frequenza mentre decisamente più raro è l'incontro con il termine porisma. In questa sezione forniamo una prima definizione di questo termine per poi svilupparla gradualmente trattando dello storico porisma di Steiner.
Con il termine greco porisma intendiamo quindi un’affermazione, storicamente di carattere geometrico, per la quale non vengono fornite indicazioni sufficienti per la sua effettiva costruzione ma che può presentare infinite soluzioni o, al contrario, non presentarne alcuna. Uno dei porismi più famosi è quello proposto da Jakob Steiner (1796-1863), matematico svizzero che per i suoi numerosi lavori di geometria sintetica viene considerato il più grande geometra dopo Apollonio di Perga. Il porisma associato al suo nome riguarda una catena di circonferenze tangenti comprese tra due altre circonferenze disgiunte. In figura 1.32 riportiamo la loro classica disposizione evidenziando, assieme alle due circonferenze disgiunte \(\Gamma_A\) e \(\Gamma_B\) con \(\Gamma_B\) interna a \(\Gamma_A\), alcune circonferenze della catena di \(n\) circonferenze tangenti caratterizzate dai centri \(C_1,C_2,\dots,C_n\).

Ciascuna di queste circonferenze è tangente a \(\Gamma_A\) e a \(\Gamma_B\) nonché, nella catena, alla precedente e alla successiva per cui l’\(i\)-esima circonferenza di centro \(C_i\) dev’essere tangente alle circonferenza di centri \(C_{i-1}\) e alla \(C_{i+1}\). Se l’ultima della catena con centro \(C_n\), è tangente alla prima (centro \(C_1\)) o, in modo equivalente \(C_{n+1}\equiv C_1\), diremo che la catena di \(n\) circonferenze è chiusa (Fig. 1.32 sx).
Ci si chiede se sia possibile chiudere la catena e, se la risposta fosse affermativa, quante catene esistono. Nel caso contrario le catene potranno essere solo aperte (Fig. 1.32 dx).
Dopo numerosi tentativi nel 1826 Steiner risolve il problema in termini geometrico/sintetici mentre quella che qui riportiamo è la soluzione attuale che sfrutta le proprietà dell’inversione circolare.
Le circonferenze \(\Gamma_A\) e \(\Gamma_B\) appartengono ad una famiglia di circonferenze coassiali cosicché, come mostrato nella sezione precedente, possiamo associare ad esse i due punti limite \(L_1 (p,0)\) e \(L_2 (-p,0)\) simmetricamente disposti rispetto al punto \(O\) definito come intersezione dell’asse radicale con l’asse delle ascisse. Poiché nel caso generale l’asse radicale ha equazione \(x_a=t\), riscriviamo il parametro \(p\) come \(p=x-t\) con \(x\) ascissa di \(L_1\) (Fig. 1.33).

Per lo stesso motivo, le lunghezze \(OA_1\) e \(OA_2\) (figg. 29, 30, 33) diventano \[ OA_1=(a-r_A)-t\qquad\hbox{e}\qquad OA_2=(a+r_A)-t\tag{1.47}\label{eq:1.47} \] per cui, sapendo in base alla \eqref{eq:1.42} che \(A_1\) e \(A_2\) sono collegati da un’inversione circolare di centro \(O\) e raggio \(p\) segue che \[ \bigl[{(a-r_A)-t}\bigr]\cdot \bigl[{(a+r_A)-t}\bigr]=(x-t)^2\tag{1.48}\label{eq:1.48} \] dalla quale deduciamo facilmente \(x\) e quindi le coordinate dei due punti limite.
Se ora eseguiamo un’inversione circolare di entrambe le circonferenze \(\Gamma_A\) e \(\Gamma_B\) con centro uno dei punti limite e raggio unitario \(I(L_1,1)\), ma può essere un raggio qualsiasi, troviamo sorprendentemente che le immagini di \(\Gamma_A\) e \(\Gamma_B\) sono due circonferenze concentriche (Fig. 1.34).

Poiché come abbiamo visto nel caso delle catene di Pappo una inversione mantiene le tangenze, il problema iniziale si semplifica enormemente in quanto si può riportare a quello, decisamente più semplice, delle tangenze tra circonferenze comprese in una corona circolare (Fig. 1.35).

Determiniamo di conseguenza le relazioni che intercorrono tra una catena di circonferenze comprese in una corona circolare di raggi \(R_1\) e \(R_2\) con \(R_2>R_1\) (Fig. 1.36).

Una prima relazione è immediata e lega i due raggi della corona \(R_1\), \(R_2\) con quello delle circonferenze interne ad essa \(r=CT\) e tangenti: \[ R_2-R_1=2r.\tag{1.49}\label{eq:1.49} \] L'altra relazione deriva dalla perpendicolarità della semiretta \(OT\) uscente da \(O\) e tangente in \(T\) a due circonferenze della catena con il raggio \(CT\). Se \(\alpha\) è l’angolo \(COT\) e \(OC=r+R_1\), risulta \[ OC\sin(\alpha)=CT\qquad\hbox{cioè}\qquad (r+R_1)\sin(\alpha)=r.\tag{1.50}\label{eq:1.50} \] Da queste due condizioni, eliminando \(r\), deriva la relazione tra i raggi della corona e l’angolo \(\alpha\) \[ \sin(\alpha)={R_2-R_1\over R_1+R_2},\tag{1.51}\label{eq:1.51} \] per cui se intendiamo chiudere una catena di \(n\) circonferenze comprese nella corona allora dev’essere \((2\alpha) n=2\pi\) cosicché la precedente diviene \[ \sin\Bigl({\pi\over n}\Bigr)={R_2-R_1\over R_1+R_2}.\tag{1.52}\label{eq:1.52} \] Quest’ultima ci permette di derivare il raggio della circonferenza interna della corona che assicura la chiusura della catena \[ R_1={R_2\bigl[1-\sin(\alpha)\bigr]\over 1+\sin(\alpha)}\qquad\hbox{con}\qquad \alpha={\pi\over n}.\tag{1.53}\label{eq:1.53} \] La successiva applicazione della medesima inversione circolare \(I(L_1,1)\) fornisce infine la soluzione al porisma permettendoci di costruire la catena di Steiner associata a \(n\) e alle circonferenze iniziali \(\Gamma_A\) e \(\Gamma_B\) (Fig. 1.37).

A questo punto si potrebbe pensare che, trovata una soluzione questa sia l’unica possibile, per esempio quella riportata in figura 1.37 dove si sono evidenziate la prima circonferenza della catena (sx) e la sua immagine (dx). D’altra parte osservando la catena di sinistra è del tutto indifferente scegliere la circonferenza da cui iniziare la catena e, soprattutto, se eseguiamo una qualsiasi rotazione della catena di sinistra questa per inversione genererà una distinta catena alla destra che comunque rappresenta un’altra, benché diversa, soluzione (Fig. 1.38).

La risposta quindi al quesito iniziale cioè se esista o meno una catena di circonferenze con le proprietà richieste deve necessariamente distinguere due situazioni estreme:

• nel caso non sia rispettata la condizione \eqref{eq:1.52} tra i raggi delle circonferenze immagini, non esiste alcuna catena chiusa,
• nel caso invece sia rispettata, esistono infinite catene di circonferenze.

Sono queste due caratteristiche che giustificano e spiegano il termine di porisma.
In modo analogo a quanto esposto sulle catene di Pappo, è immediato dimostrare che il luogo dei centri delle catene di Steiner è un’ellisse avente fuochi nei centri delle circonferenze \(\Gamma_A\) e \(\Gamma_B\). Difatti, se \(r_i\) è il raggio della circonferenza \(C_i\), in base alla figura 1.39 sussiste la relazione \[ C_AC_i+C_BC_i=(r_A-r_i)+(r_B+r_i)=r_A+r_B\tag{1.54}\label{eq:1.54} \]

e quindi, coerentemente con la definizione di ellisse, la somma delle distanze da due punti fissi è la costante rappresentata dalla somma dei raggi delle due circonferenze di origine.
Concludiamo questa prima parte con una osservazione: tracciate le rette determinate da tutte le possibili coppie di centri delle circonferenze della catena, emerge una interessante proprietà: i loro punti di intersezione appartengono all'asse radicale delle due circonferenze di origine (fig. 1.40).

Seconda parte