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Formule goniometriche

Deduzione delle principali identità goniometriche

Lorenzo Roi

Premessa

Questo notebook presenta le deduzioni delle principali identità goniometriche a partire dalle definizioni delle funzioni sen(α), cos(α) e tan(α) introdotte invece nel notebook IntroduzioneFunzGonio e sostanzialmente indipendente da questo. A partire dall'identità fondamentale della Goniometria si trattano quindi i valori delle funzioni goniometriche di angoli associati per passare poi, con il supporto di un'animazione grafica, alle formule di addizione e sottrazione e relative conseguenze. Si ottengono infine le formule di Werner e prostaferesi.

Nota didattica

Poiché Mathematica procede in automatico ad elaborare argomenti numerici o simbolici di funzioni nonché valori delle stesse fornendo di norma i risultati del calcolo senza presentare i passaggi intermedi, tale caratteristica ovviamente utile in numerose occasioni diventa al contrario un condizionamento tutte le volte che si intende sviluppare un graduale processo deduttivo nel quale l'uso di manipolazioni algebriche di un'espressione conduca alla dimostrazione di un asserto. Se ad esempio si considera il semplice input seguente

Sin[π/2 - α] Cos[α]

True

Mathematica semplifica automaticamente il primo membro riducendolo a Cos[α] per cui, essendo uguale al secondo, fornisce in output l'esito del confronto con True. In ambiti opportuni può invece essere conveniente mantenere l'input, o parti di esso, inalterato nell'output. In sostanza, Mathematica sembra inadatto in quelle situazioni, peraltro attività comune per l'insegnante, dove all'importanza o all'utilità dei risultati si affianca pure l'obiettivo di una loro documentata deduzione.

Nota tecnica

Questo notebook rappresenta sostanzialmente una sperimentazione personale attorno ad alcune funzioni raramente usate in Mathematica allo scopo di poter, in qualche modo, aggirare l'ostacolo accennato nella nota precedente. Pur esistendo in Internet alcuni interventi su queste problematiche (non molti per la verità) sotto forma di notebook o package e certamente più ampi e approfonditi di questo tentativo, ho preferito non utilizzarli per provare soluzioni più limitate e controllabili anche se meno generali. Il processo di calcolo di Mathematica è pertanto stato aggirato creando gradualmente una base di regole per le "nuove" funzioni sen[], cos[] e tan[] evitando di utilizzare le funzioni predefinite Sin[], Cos[] e Tan[]. Quando opportuno, si è "congelato" momentaneamente l'automatismo di calcolo di Mathematica con la funzione HoldForm per poi riattivarlo con una funzione (rilascia) creata ad hoc. In ogni caso si è cercato di sviluppare un insieme di funzioni minimale allo scopo.
I comandi che vanno eseguiti prima di procedere alle varie deduzioni sono quelli contenuti nella sezione Funzioni di base e quelli inseriti all'inizio di ogni sezione e compresi in Identità dimostrate. Altre brevi informazioni sulle funzioni implementate si trovano sotto forma di commenti nella sezione che segue.

Funzioni di base

Le seguenti funzioni vanno elaborate per poterne disporre in seguito nel notebook.

RowBox[{    , RowBox[{Off[General :: spell, General :: spell1] ;,  ... p;      Power[sen[α_], 2]] Power[tan[α], 2]} ;}]}]

Identità fondamentale

Istruzioni grafiche

α = 50Degree ; pP = {Cos[α], Sin[α]} ; pQ = {Cos[α], 0} ; origine = {0, 0} ... 0, α}]}}, ,, AspectRatioAutomatic, ,, AxesTrue}], ]}], ;, Clear[α], ;}]

Grafico e definizioni relative all'angolo α

[Graphics:HTMLFiles/index01_9.gif]

Dimostrazione dell'identità fondamentale

Riportiamo le definizioni di carattere geometrico delle principali funzioni goniometriche discusse in un precedente notebook e, assieme, forniamo le  relazioni che le legano tra di loro al medesimo angolo α. I segmenti OQ e QP vanno considerati come segmenti orientati (o componenti del vettore OP). OP è invece la misura (positiva) del raggio della circonferenza associata al sistema cartesiano di figura (o anche il modulo di OP). È questo l'insieme di "regole" da cui iniziamo.

Join[{QP/OP == sen[α], OQ/OP == cos[α], QP/OQ == tan[α]}, toIdentita/@{id1, id2, id3}]//TableForm

QP/OPsen[α]
OQ/OPcos[α]
QP/OQtan[α]
tan[α] sen[α]/cos[α]
cot[α] cos[α]/sen[α]
1/tan[α] cot[α]

L'applicazione del teorema di Pitagora al triangolo FormBox[RowBox[{OQP, Cell[]}], TraditionalForm]permette di scrivere

OP^2OQ^2 + QP^2

OP^2OQ^2 + QP^2

per cui sostituendo le espressioni di OQ e QP dedotte dalle definizioni di seno e coseno si ha

%/.{OQOP sen[α], QPOP cos[α]}

OP^2OP^2 cos[α]^2 + OP^2 sen[α]^2

Eliminando ora il termine OP^2comune ai due membri si ottiene

%/OP^2//Simplify

cos[α]^2 + sen[α]^21

relazione che costituisce l'identità fondamentale della Goniometria.

(* la funzione, qui usata per la prima volta, aggiunge all ' insieme di regole iniziali quella ... rensive di tutti i nomi si veda la sezione riassuntiva finale *)idFondamentale = toRule[%]

cos[α]^2 + sen[α]^21

Funzioni goniometriche in termini di una di esse

Identita dimostrate

idFondamentale = cos[α_]^2 + sen[α_]^21 ;

Nota la funzione sen[α]

Per determinare il coseno e la tangente in termini del seno dello stesso angolo facciamo uso dell'identità appena dimostrata esplicitando dapprima il coseno ossia sottraendo sen[α]^2 ad entrambi i membri

toIdentita[idFondamentale] - sen[α]^2

cos[α]^21 - sen[α]^2

L'estrazione della radice quadrata fornisce

Sqrt/@%

cos[α]^2^(1/2)  (1 - sen[α]^2)^(1/2)

ma dato che cos[α]^2^(1/2) = | cos[α] | risulta

MapAt[Abs, %, {1}]

Abs[cos[α]]  (1 - sen[α]^2)^(1/2)

cosNotosen = toRule[%]

Abs[cos[α]]  (1 - sen[α]^2)^(1/2)

La funzione tangente invece si ottiene partendo dalla

toIdentita[id1]

tan[α] sen[α]/cos[α]

e considerandola in valore assoluto

Abs[tan[α]] Abs[sen[α]]/Abs[cos[α]]

Abs[tan[α]] Abs[sen[α]]/Abs[cos[α]]

Sostituendo il risultato precedente giungiamo alla relazione cercata

%/.cosNotosen

Abs[tan[α]] Abs[sen[α]]/(1 - sen[α]^2)^(1/2)

tanNotosen = toRule[%]

Abs[tan[α]] Abs[sen[α]]/(1 - sen[α]^2)^(1/2)

Nota la funzione cos[α]

In modo del tutto analogo si procede se si intende esprimere il seno e tangente in termini del coseno: riportiamo senza commento la procedura.

toIdentita[idFondamentale] - cos[α]^2

sen[α]^21 - cos[α]^2

Sqrt/@%

sen[α]^2^(1/2)  (1 - cos[α]^2)^(1/2)

MapAt[Abs, %, {1}]

Abs[sen[α]]  (1 - cos[α]^2)^(1/2)

senNotocos = toRule[%]

Abs[sen[α]]  (1 - cos[α]^2)^(1/2)

toIdentita[id1]

tan[α] sen[α]/cos[α]

Abs[tan[α]] Abs[sen[α]]/Abs[cos[α]]

Abs[tan[α]] Abs[sen[α]]/Abs[cos[α]]

%/.senNotocos

Abs[tan[α]]  (1 - cos[α]^2)^(1/2)/Abs[cos[α]]

tanNotocos = toRule[%]

Abs[tan[α]]  (1 - cos[α]^2)^(1/2)/Abs[cos[α]]

Nota la funzione tan[α]

Ritenendo conosciuto il valore di tan[α] iniziamo dalla evidente identità

HoldForm[sen[α]^2] sen[α]^2

sen[α]^2sen[α]^2

e riscriviamo il denominatore (= 1) del secondo membro sfruttando l'identità fondamentale

MapAt[#/(sen[α]^2 + cos[α]^2) &, %, 2]

sen[α]^2sen[α]^2/(cos[α]^2 + sen[α]^2)

Dividiamo ora il numeratore e denominatore del secondo membro per cos[α]^2≠0 supponendo quindi che α≠π/2 + k π

applicaND[%, HoldForm[#/cos[α]^2] &]

sen[α]^2sen[α]^2/cos[α]^2/(cos[α]^2 + sen[α]^2)/cos[α]^2

Applicando la proprietà distributiva e sapendo che tan[α] = sen[α]/cos[α] otteniamo

applicaND[%, Apart[rilascia[#]] &]//.id4

sen[α]^2tan[α]^2/(1 + tan[α]^2)

da cui l'estrazione della radice quadrata in entrambi i membri fornisce

rilascia[Sqrt/@%]

sen[α]^2^(1/2) tan[α]^2/(1 + tan[α]^2)^(1/2)

per cui risulta

MapAt[Abs, %, 1]

Abs[sen[α]] tan[α]^2/(1 + tan[α]^2)^(1/2)

senNototan = toRule[%]

Abs[sen[α]] tan[α]^2/(1 + tan[α]^2)^(1/2)

Con la stessa successione di passaggi si ottiene il valore assoluto del coseno in termini della tangente: sinteticamente

HoldForm[cos[α]^2] cos[α]^2

cos[α]^2cos[α]^2

MapAt[#/(sen[α]^2 + cos[α]^2) &, %, 2]

cos[α]^2cos[α]^2/(cos[α]^2 + sen[α]^2)

applicaND[%, HoldForm[#/cos[α]^2] &]

cos[α]^2cos[α]^2/cos[α]^2/(cos[α]^2 + sen[α]^2)/cos[α]^2

applicaND[%, Apart[rilascia[#]] &]//.id4

cos[α]^21/(1 + tan[α]^2)

rilascia[Sqrt/@%]

cos[α]^2^(1/2) 1/(1 + tan[α]^2)^(1/2)

MapAt[Abs, %, 1]

Abs[cos[α]] 1/(1 + tan[α]^2)^(1/2)

cosNototan = toRule[%]

Abs[cos[α]] 1/(1 + tan[α]^2)^(1/2)

Identità dimostrate

In definitiva abbiamo ottenuto le seguenti identità in termini dell'angolo α

{idFondamentale, cosNotosen, tanNotosen, senNotocos, tanNotocos, senNototan, cosNototan} = {co ... otosen, tanNotosen, senNotocos, tanNotocos, senNototan, cosNototan}}]//TableForm//TraditionalForm

idFondamentale cos(α)^2 + sen(α)^21
cosNotosen cos(α)  (1 - sen(α)^2)^(1/2)
tanNotosen tan(α) sen(α) /(1 - sen(α)^2)^(1/2)
senNotocos sen(α)  (1 - cos(α)^2)^(1/2)
tanNotocos tan(α)  (1 - cos(α)^2)^(1/2)/cos(α) 
senNototan sen(α) tan(α)^2/(tan(α)^2 + 1)^(1/2)
cosNototan cos(α) 1/(tan(α)^2 + 1)^(1/2)

Nel seguito riprenderemo, di queste, solo l'identità fondamentale in quanto solo questa si dimostrerà necessaria.

Angoli associati e relative identità

Angoli complementari

Istruzioni grafiche

α = 20Degree ; β = (π/2 - α) ; pP = {Cos[α], Sin[α]} ; pQ = {Cos ... ;}]}}, ,, AspectRatioAutomatic, ,, AxesTrue}], ]}], ;, Clear[α, β], ;}]

Grafico

[Graphics:HTMLFiles/index01_116.gif]

Identità dimostrate

{idFondamentale} = {cos[α_]^2 + sen[α_]^21} ;

Seno di un angolo complementare

Sia α l'ampiezza di un angolo orientato. Questo individua nella circonferenza γ con centro nell'origine O di un sistema cartesiano il triangolo OQP. In fig. 2 α, per comodità, appare un angolo compreso nel I quadrante (in rosso) ma le relazioni che dedurremo si dimostrano valide qualsiasi sia il suo valore. L'angolo complementare, di ampiezza π/2 - α che si associa ad α definisce a sua volta il triangolo OSR: siamo interessati ad esprimere le funzioni goniometriche di quest'ultimo in termini di quelle dell'angolo α. Dalla definizione discende quindi che

sen[π/2 - α] SR/OR

sen[π/2 - α] SR/OR

ma la congruenza tra i triangoli △OQP≅△OSR comporta che si abbia, anche in segno, SR = OQ e OR = OP. Pertanto sostituendo queste uguaglianze nella precedente

%/.{SROQ, OROP}

sen[π/2 - α] OQ/OP

Ma per la definizione delle funzioni goniometriche relative all'angolo α, in particolare quella del coseno, risulta che

%/.defs

sen[π/2 - α] cos[α]

senCompl = toRule[%]

sen[π/2 - α] cos[α]

Identità dimostrate

{idFondamentale, senCompl} = {cos[α_]^2 + sen[α_]^21, sen[π/2 - α_] cos[α]} ;

Coseno di un angolo complementare

Procediamo nello stesso modo per determinare cos[π/2 - α] in termini di funzioni dell'angolo α.

cos[π/2 - α] OS/OR

cos[π/2 - α] OS/OR

Osservata la validità di OS = QP (fig.2) discende

%/.{OSQP, OROP}

cos[π/2 - α] QP/OP

e utilizzando la definzione di sen[α]

%/.defs

cos[π/2 - α] sen[α]

cosCompl = toRule[%]

cos[π/2 - α] sen[α]

Identità dimostrate

{idFondamentale, senCompl, cosCompl} = {cos[α_]^2 + sen[α_]^21, sen[π/2 - α_] cos[α], cos[π/2 - α_] sen[α]} ;

Tangente di un angolo complementare

Infine, la definizione di tangente per l'angolo complementare comporta l'uguaglianza

tan[π/2 - α] == SR/OS

tan[π/2 - α] SR/OS

ma la congruenza dei triangoli già esposta assicura che SR = OQ e OS = QP (fig. 2) per cui

%/.{SROQ, OSQP}

tan[π/2 - α] OQ/QP

che è equivalente alla

% QP/OQ

(QP tan[π/2 - α])/OQ1

Per la definizione di tangente risulta anche

%/.defs

tan[π/2 - α] tan[α] 1

da cui, dividendo per tan[α]

%/tan[α]

tan[π/2 - α] 1/tan[α]

che si può riscrivere nei due modi seguenti

%/.id3

tan[π/2 - α] cot[α]

%/.id2

tan[π/2 - α] cos[α]/sen[α]

In alternativa

tan[π/2 - α] sen[π/2 - α]/cos[π/2 - α]

tan[π/2 - α] sen[π/2 - α]/cos[π/2 - α]

per cui sfruttando le identità già dimostrate per seno e coseno, riesce

%/.senCompl/.cosCompl

tan[π/2 - α] cos[α]/sen[α]

tanCompl = toRule[%]

tan[π/2 - α] cos[α]/sen[α]

Abbiamo pertanto dimostrato le identità:

Angoli complementari sen(π/2 - α) = cos(α) cos(π/2 - α) = sen(α) tan(π/2 - α) = cot(α) = 1/tan(α)

Angoli che differiscono per un angolo retto

Identità dimostrate

{idFondamentale, senCompl, cosCompl, tanCompl} = {cos[α_]^2 + sen[α_]^21, se ... 945;], cos[π/2 - α_] sen[α], tan[π/2 - α_] cot[α]} ;

Istruzioni grafiche

α = 20Degree ; β = π/2 + α ; pP = {Cos[α], Sin[α]} ; pQ = {Cos[& ... }}, ,, AspectRatioAutomatic, ,, AxesTrue}], ]}], ;, Clear[α, β], ;, ;}]

Grafico

[Graphics:HTMLFiles/index01_179.gif]

Seno di un angolo che differisce di π/2

Angoli che differiscono per un angolo retto danno origine alla configurazione geometrica di fig. 3. Ancora è soddisfatta la congruenza di tipo geometrico △OQP≅△OSR mentre, osservando i versi delle componenti, risulta SR = OQ e OS = -QP. Ne segue  

sen[π/2 + α] SR/OR

sen[π/2 + α] SR/OR

che si riscrive

%/.{SROQ, OROP}

sen[π/2 + α] OQ/OP

e, in base alla definizione, risulta

%/.defs

sen[π/2 + α] cos[α]

senDiffPi2 = toRule[%]

sen[π/2 + α] cos[α]

Identità dimostrate

{idFondamentale, senCompl, cosCompl, tanCompl, senDiffPi2} = {cos[α_]^2 + sen[α_]^2& ... 945;], tan[π/2 - α_] cot[α], sen[π/2 + α_] cos[α]} ;

Coseno di un angolo che differisce di π/2

Dalla definizione

cos[π/2 + α] OS/OR

cos[π/2 + α] OS/OR

ma per quanto osservato sopra nel caso del seno diviene

%/.{OS -QP, OROP}

cos[π/2 + α]  -QP/OP

per cui

%/.defs

cos[π/2 + α]  -sen[α]

cosDiffPi2 = toRule[%]

cos[π/2 + α]  -sen[α]

Identità dimostrate

{idFondamentale, senCompl, cosCompl, tanCompl, senDiffPi2, cosDiffPi2} = {cos[α_]^2 + sen ... 5;], sen[π/2 + α_] cos[α], cos[π/2 + α_]  -sen[α]} ;

Tangente di un angolo che differisce di π/2

Con le medesime osservazioni e iniziando dalla definizione

tan[π/2 + α] SR/OS

tan[π/2 + α] SR/OS

risulta che l'espressione precedente si modifica in

%/.{SROQ, OS -QP}

tan[π/2 + α]  -OQ/QP

da cui, moltiplicando per il reciproco del secondo membro

% (QP/OQ)

(QP tan[π/2 + α])/OQ -1

si ottiene un'espressione dove appare la definizione di tan[α]

%/.defs

tan[α] tan[π/2 + α]  -1

Dividendo per tale funzione si ha

%/tan[α]

tan[π/2 + α]  -1/tan[α]

che si può riscrivere anche come

%/.id3/.id2

tan[π/2 + α]  -cos[α]/sen[α]

tanDiffPi2 = toRule[%]

tan[π/2 + α]  -cos[α]/sen[α]

Riassumiamo in riquadro quanto ottenuto

Angoli che differiscono per un angolo retto sen(π/2 + α) = cos(α) cos(π/2 + α) = -sen(α) tan(π/2 + α) = -cot(α) = -1/tan(α)

Angoli supplementari

Istruzioni grafiche

α = 30Degree ; β = π - α ; pP = {Cos[α], Sin[α]} ; pQ = {Cos[	 ... ;}]}}, ,, AspectRatioAutomatic, ,, AxesTrue}], ]}], ;, Clear[α, β], ;}]

Grafico

[Graphics:HTMLFiles/index01_221.gif]

Identità dimostrate

{idFondamentale, senCompl, cosCompl, tanCompl, senDiffPi2, cosDiffPi2, tanDiffPi2} = {cos[^ ... ;/2 + α_]  -sen[α], tan[π/2 + α_]  -cos[α]/sen[α]} ;

Seno di un angolo supplementare

Ancora una volta l'espressione delle funzioni goniometriche di un angolo associato ad α, in tal caso l'angolo supplementare, si basa sull'osservazione della congruenza dei triangoli individuati dai lati terminali dei due angoli, nel caso in esame, △OSR e △OQP (fig. 4). Valgono pertanto le relazioni tra componenti OS = -OQ e SR = QP e di conseguenza discende

sen[π - α] SR/OR

sen[π - α] SR/OR

%/.{SRQP, OROP}

sen[π - α] QP/OP

%/.defs

sen[π - α] sen[α]

senSuppl = toRule[%]

sen[π - α] sen[α]

Identità dimostrate

{idFondamentale, senCompl, cosCompl, tanCompl, senDiffPi2, cosDiffPi2, tanDiffPi2, senSuppl} = ... #960;/2 + α_]  -cos[α]/sen[α], sen[π - α_] sen[α]} ;

Coseno di un angolo supplementare

Nello stesso modo

cos[π - α] OS/OR

cos[π - α] OS/OR

%/.{OS -OQ, OROP}

cos[π - α]  -OQ/OP

%/.defs

cos[π - α]  -cos[α]

cosSuppl = toRule[%]

cos[π - α]  -cos[α]

Identità dimostrate

{idFondamentale, senCompl, cosCompl, tanCompl, senDiffPi2, cosDiffPi2, tanDiffPi2, senSuppl, c ... α], sen[π - α_] sen[α], cos[π - α_]  -cos[α]} ;

Tangente di un angolo supplementare

Infine, la definizione di tangente implica

tan[π - α] SR/OS

tan[π - α] SR/OS

e le osservazioni fatte inizialmente permettono di riscriverla come

%/.{SRQP, OS -OQ}

tan[π - α]  -QP/OQ

da cui

%/.defs

tan[π - α]  -tan[α]

tanSuppl = toRule[%]

tan[π - α]  -tan[α]

Abbiamo dimostrato quindi le ulteriori tre relazioni

Angoli supplementari sen(π - α) = sen(α) cos(π - α) = -cos(α) tan(π - α) = -tan(α)

Angoli che differiscono di π

Istruzione grafiche

α = 30Degree ; β = π + α ; pP = {Cos[α], Sin[α]} ; pQ = {Cos[	 ... ;}]}}, ,, AspectRatioAutomatic, ,, AxesTrue}], ]}], ;, Clear[α, β], ;}]

Grafico

[Graphics:HTMLFiles/index01_256.gif]

Identità dimostrate

{idFondamentale, senCompl, cosCompl, tanCompl, senDiffPi2, cosDiffPi2, tanDiffPi2, senSuppl, c ... 945;], cos[π - α_]  -cos[α], tan[π - α_]  -tan[α]} ;

Seno di un angolo che differisce di π (angolo explementare)

Con riferimento alla fig. 5 osserviamo al solito modo che OS = -OQ così come SR = -QP. Poiché per definizione risulta

sen[π + α] SR/OR

sen[π + α] SR/OR

le precedenti danno luogo alla

%/.{SR -QP, OROP}

sen[π + α]  -QP/OP

e quindi, riprese le definizioni per l'angolo α, segue

%/.defs

sen[π + α]  -sen[α]

senExpl = toRule[%]

sen[π + α]  -sen[α]

Identità dimostrate

{idFondamentale, senCompl, cosCompl, tanCompl, senDiffPi2, cosDiffPi2, tanDiffPi2, senSuppl, c ... 945;], tan[π - α_]  -tan[α], sen[π + α_]  -sen[α]} ;

Coseno di un angolo che differisce di π (angolo explementare)

La definizione di coseno implica per l'angolo explementare α + π (fig. 5)

cos[π + α] OS/OR

cos[π + α] OS/OR

ma le relazioni tra componenti già discusse permettono di scrivere

%/.{OS -OQ, OROP}

cos[π + α]  -OQ/OP

da cui

%/.defs

cos[π + α]  -cos[α]

cosExpl = toRule[%]

cos[π + α]  -cos[α]

Identità dimostrate

{idFondamentale, senCompl, cosCompl, tanCompl, senDiffPi2, cosDiffPi2, tanDiffPi2, senSuppl, c ... 945;], sen[π + α_]  -sen[α], cos[π + α_]  -cos[α]} ;

Tangente di un angolo che differisce di π (angolo explementare)

Infine sfruttando ancora la definizione di tangente

tan[π + α] SR/OS

tan[π + α] SR/OS

e le relazioni tra componenti

%/.{SR -QP, OS -OQ}

tan[π + α] QP/OQ

risulta

%/.defs

tan[π + α] tan[α]

Questa identità conferma e dimostra la periodicità della funzione tangente: il suo periodo pari a .

tanExpl = toRule[%]

tan[π + α] tan[α]

In definitiva abbiamo che le funzioni goniometriche di angoli esplementari sono collegate a quelle dell'angolo originario dalle seguenti identità

Angoli che differiscono di π sen(π + α) = -sen(α) cos(π + α) = -cos(α) tan(π + α) = tan(α)

Angoli opposti

Grafico

α = 30Degree ; β = -α ; pP = {Cos[α], Sin[α]} ; pQ = {Cos[α], 0} ... ;}]}}, ,, AspectRatioAutomatic, ,, AxesTrue}], ]}], ;, Clear[α, β], ;}]

Grafico

[Graphics:HTMLFiles/index01_290.gif]

Identità dimostrate

{idFondamentale, senCompl, cosCompl, tanCompl, senDiffPi2, cosDiffPi2, tanDiffPi2, senSuppl, c ... α], cos[π + α_]  -cos[α], tan[π + α_] tan[α]} ;

Seno di un angolo opposto

Dalla congruenza più volte notata △OSR≅△OQP discende ora SR = -QP e OS = OQ (fig. 6). Ne deriva che

sen[-α] SR/OR

sen[-α] SR/OR

%/.{SR -QP, OROP}

sen[-α]  -QP/OP

%/.defs

sen[-α]  -sen[α]

Questo risultato, valido per ∀ α∈  stabilisce che la funzione seno è una funzione dispari: il suo grafico risulta pertanto simmetrico rispetto all'origine di un sistema cartesiano che abbia in ascissa la variabile angolare α e in ordinata il valore sen[α].

senOpp = toRule[%]

sen[-α]  -sen[α]

Identità dimostrate

{idFondamentale, senCompl, cosCompl, tanCompl, senDiffPi2, cosDiffPi2, tanDiffPi2, senSuppl, c ... 1; -cos[α], tan[π + α_] tan[α], sen[-α_]  -sen[α]} ;

Coseno di un angolo opposto

Analogamente a quanto finora visto e in base alla configurazione di fig. 6

cos[-α] OS/OR

cos[-α] OS/OR

%/.{OSOQ, OROP}

cos[-α] OQ/OP

%/.defs

cos[-α] cos[α]

Anche questa identità, valida per ∀ α∈  codifica una proprietà importante della funzione coseno: questa è una funzione pari con grafico simmetrico rispetto all'asse delle ordinate del sistema cartesiano associato all'equazione y = cos[α].

cosOpp = toRule[%]

cos[-α] cos[α]

Identità dimostrate

{idFondamentale, senCompl, cosCompl, tanCompl, senDiffPi2, cosDiffPi2, tanDiffPi2, senSuppl, c ... ;_] tan[α], sen[-α_]  -sen[α], cos[-α_] cos[α]} ;

Tangente di un angolo opposto

Per la definizione di tangente e in base a quanto osservato precedentemente

tan[-α] SR/OS

tan[-α] SR/OS

%/.{SR -QP, OSOQ}

tan[-α]  -QP/OQ

%/.defs

tan[-α]  -tan[α]

Come già visto per la funzione seno, poiché l'identità precedente vale per ∀ α∈ Dom(tan) =  - {π/2 + k π} stabilisce che pure la funzione tangente è una funzione dispari con grafico quindi simmetrico rispetto all'origine di un sistema cartesiano con in ascissa la variabile angolare e in ordinata il valore di cos[α].

tanOpp = toRule[%]

tan[-α]  -tan[α]

Abbiamo ottenuto quindi

Angoli opposti sen(-α) = -sen(α) cos(-α) = cos(α) tan(-α) = -tan(α)

Introduzione grafica e prima identità

Analisi grafica

Affrontiamo in questa sezione la dimostrazione dell'identità che lega il coseno di una differenza di angoli alle funzioni goniometriche degli angoli stessi. In base a questa relazione sarà possibile dedurre una (lunga) serie di identità che specificano di volta in volta nuove proprietà delle funzioni goniometriche.
Definiamo nella circonferenza goniometrica γ i due angoli α = 170 e β = 115 , il primo indicato in giallo nella figura sottostante e tale da ricoprire un intero settore circolare di γ e il secondo in verde.

α = 170Degree ; β = 115Degree ;

I lati non coincidenti con il semiasse positivo delle x di questi angoli intersecano la circonferenza nei due punti, P(cos(α), sen(α)) e Q(cos(β), sen(β)).

pP = {Cos[α], Sin[α]} ; pQ = {Cos[β], Sin[β]} ;

Istruzioni grafiche

RowBox[{RowBox[{Show, [, RowBox[{Graphics[{{colGiallo, Disk[{0, 0}, 1, {0, α}]}, {colVerd ... estileTesto]}], }}], ]}], ,, AspectRatioAutomatic, ,, AxesTrue}], ]}], ;}]

Grafico

[Graphics:HTMLFiles/index01_339.gif]

Dal punto di vista geometrico, la differenza α - β appare come l'angolo evidenziato in color rosso. Poiché le convenzioni sugli angoli in goniometria impongono di trattare questi con un lato coincidente con il semiasse positivo delle ascisse, eseguiamo una rotazione attorno all'origine pari all'angolo β in modo da riportare quest'angolo nell'ambito convenzionale corretto.

Istruzioni grafiche

nPassi = 50 ; suddivisioneAngolo = Range[0, β, β/nPassi] ; estremiAngoli = {β - ... }, ,, AspectRatioAutomatic, ,, AxesTrue}], ]}], &}], /@, estremiAngoli}], ;}]

Animazione

Appare evidente come in tale rotazione il punto Q, alla fine, vada a coincidere con il punto A(1, 0) di fig. 8 mentre il punto P a sua volta ha per immagine finale il punto D(cos(α - β), sen(α - β)).

pA = {1, 0} ; pD = {Cos[α - β], Sin[α - β]} ;

In particolare, essendo le rotazioni delle isometrie, la lunghezza della corda PQ rimane invariata cosicché possiamo porre in relazione la lunghezza del segmento originario PQ con quella della sua immagine DA: queste lunghezze sono uguali per cui vale PQ = DA oppure, elevando al quadrato

PQ^2 = DA^2 .

Istruzioni grafiche

RowBox[{RowBox[{Show, [, RowBox[{RowBox[{Graphics, [, RowBox[{{, RowBox[{Circle[{0, 0}, 1], ,, ...  }}]}], ,, AspectRatioAutomatic, ,, AxesTrue}], ]}], ;, Clear[α, β], ;}]

Grafico

[Graphics:HTMLFiles/index01_355.gif]

Formula di sottrazione per il coseno

Identità dimostrate

Clear[α, β, "p*"] ; {idFondamentale, senCompl, cosCompl, tanCompl, senDiff ...   -sen[α], cos[-α_] cos[α], tan[-α_]  -tan[α]} ;

Dimostrazione

Poiché i punti P, Q, A e D sono descritti dalle coppie ordinate

pP = {cos[α], sen[α]} ; pQ = {cos[β], sen[β]} ; pA = {1, 0} ; pD = {cos[α - β], sen[α - β]} ;

ne segue che i quadrati dei segmenti dPQquadro e dDAquadro in termini degli angoli α e β risultano

{{"PQquadrato =", PQquadrato = Plus @@ (pP - pQ)^2}, {"DAquadrato =", DAquadrato = Plus @@ (pD - pA)^2}}//TableForm

PQquadrato = (cos[α] - cos[β])^2 + (sen[α] - sen[β])^2
DAquadrato = (-1 + cos[α - β])^2 + sen[α - β]^2

Posti, per quanto visto, uguali ne discende l'equazione

PQquadrato == DAquadrato

(cos[α] - cos[β])^2 + (sen[α] - sen[β])^2 (-1 + cos[α - β])^2 + sen[α - β]^2

Possiamo ora eseguire i quadrati coinvolti nei due membri

Expand/@%

cos[α]^2 - 2 cos[α] cos[β] + cos[β]^2 + sen[α]^2 - 2 sen[α] sen[ ...  sen[β]^21 - 2 cos[α - β] + cos[α - β]^2 + sen[α - β]^2

e quindi utilizzando l'identità goniometrica fondamentale sen^2α + cos^2α = 1, ridurre l'equazione alla forma equivalente più semplice

%//.idFondamentale

2 - 2 cos[α] cos[β] - 2 sen[α] sen[β] 2 - 2 cos[α - β]

Sottraendo 2 ad entrambi i membri

% - 2

-2 cos[α] cos[β] - 2 sen[α] sen[β]  -2 cos[α - β]

e, dopo aver diviso per -2, scambiamo i due membri e semplifichiamo

scambia[%/-2]//Simplify

cos[α - β] cos[α] cos[β] + sen[α] sen[β]

In definitiva siamo giunti a dimostrare la validità dell'espressione

cos(α - β) = cos(α) cos(β) + sen(α) sen(β)

Il coseno di una differenza è pertanto, ben diverso dall'aspettativa ingenua che lo "vorrebbe" pari alla differenza dei coseni! In termini più formali questa identità (e le analoghe seguenti) dimostrano che le funzioni goniometriche non sono delle funzioni lineari dei propri argomenti.

cosDiff = toRule[%]

cos[α - β] cos[α] cos[β] + sen[α] sen[β]

Formule di addizione e sottrazione

Identità dimostrate

{idFondamentale, senCompl, cosCompl, tanCompl, senDiffPi2, cosDiffPi2, tanDiffPi2, senSuppl, c ...  -tan[α], cos[α_ - β_] cos[α] cos[β] + sen[α] sen[β]} ;

Formula di addizione per il coseno

La precedente identità collega il coseno della differenza di due angoli α e β con le funzioni goniometriche di questi e costituisce la formula di sottrazione per il coseno. Questo risultato si può facilmente estendere e in questa sezione otterremo, per prima, la corrispondente formula di addizione e successivamente le formule di addizione e sottrazione per seno e tangente. A tal fine sostituiamo nell'identità appena dimostrata

toIdentita[cosDiff]

cos[α - β] cos[α] cos[β] + sen[α] sen[β]

all'angolo β l'angolo -β

%/.β -β

cos[α + β] cos[α] cos[-β] + sen[α] sen[-β]

Tenendo presente quanto già dimostrato ossia che il seno è una funzione dispari valendo sen(-β) = -sen(β) mentre il coseno è pari dato che cos(-β) = cos(β), ∀ β ∈ , l'espressione precedente diviene   

%/.senOpp/.cosOpp

cos[α + β] cos[α] cos[β] - sen[α] sen[β]

Il coseno della somma in termini delle funzioni di α e β risulta quindi

cos(α + β) = cos(α) cos(β) - sen(α) sen(β)

cosAdd = toRule[%]

cos[α + β] cos[α] cos[β] - sen[α] sen[β]

Formule di addizione e sottrazione per il seno

Identità dimostrate

{idFondamentale, senCompl, cosCompl, tanCompl, senDiffPi2, cosDiffPi2, tanDiffPi2, senSuppl, c ... ] sen[β], cos[α_ + β_] cos[α] cos[β] - sen[α] sen[β]} ;

Seno della differenza

Sfruttiamo l'identità FormBox[RowBox[{sen(α), =, RowBox[{cos(π/2 - α), Cell[]}]}], TraditionalForm]per dedurre la formula di sottrazione per la funzione seno.

sen[α - β] cos[π/2 - (α - β)]

sen[α - β] cos[π/2 - α + β]

e, in base alla proprietà associativa, riscriviamo il secondo membro sostituendo a π/2 - α = γ

%/.π/2 - αγ

sen[α - β] cos[β + γ]

Possiamo ora applicare la formula di addizione per il coseno appena ottenuta

%/.cosAdd

sen[α - β] cos[β] cos[γ] - sen[β] sen[γ]

e ritornando ad esprimere γ in termini di α

%/.γ->π/2 - α

sen[α - β] cos[π/2 - α] cos[β] - sen[π/2 - α] sen[β]

Per l'identità già ricordata e per quella analoga riguardante il seno di angoli complementari sen(π/2 - α) = cos(α), la precedente fornisce

%/.senCompl/.cosCompl

sen[α - β] cos[β] sen[α] - cos[α] sen[β]

che è quanto si voleva ottenere.

senDiff = toRule[%]

sen[α - β] cos[β] sen[α] - cos[α] sen[β]

Identità dimostrate

senDiffEq = sen[α - β] cos[β] sen[α] - cos[α] sen[β] ; { ...  sen[β], sen[α_ - β_] cos[β] sen[α] - cos[α] sen[β]} ;

Seno della somma

Nello stesso modo seguito per il coseno, sostituiamo a β l'angolo -β

toIdentita[senDiff]/.β -β

sen[α + β] cos[-β] sen[α] - cos[α] sen[-β]

Per le proprietà di simmetria del seno sen(-β) = -sen(β) e del coseno, cos(-β) = cos(β) ∀β ∈ , otteniamo

%/.senOpp/.cosOpp

sen[α + β] cos[β] sen[α] + cos[α] sen[β]

Riassumiamo in un'unica espressione le due identità dimostrate

sen(α  β) = sen(α) cos(β)  cos(α) sen(β)

intendendo che i segni vanno considerati nell'ordine indicato ossia il segno superiore a primo membro va associato al segno superiore a secondo e così per quello inferiore.

senAdd = toRule[%]

sen[α + β] cos[β] sen[α] + cos[α] sen[β]

Formule di addizione e sottrazione per la tangente

Identità dimostrate

{idFondamentale, senCompl, cosCompl, tanCompl, senDiffPi2, cosDiffPi2, tanDiffPi2, senSuppl, c ... ] sen[β], sen[α_ + β_] cos[β] sen[α] + cos[α] sen[β]} ;

Tangente della somma

Sfruttiamo le identità appena trovate per dimostrare quelle coinvolgenti la tangente di una somma o di una differenza. Poiché la tangente di un angolo si può esprimere come il rapporto tra il seno e il coseno, abbiamo

tan[α + β] sen[α + β]/cos[α + β]

tan[α + β] sen[α + β]/cos[α + β]

Sviluppiamo il numeratore e denominatore della precedente utilizzando le formule di addizione per il seno e coseno

%/.senAdd/.cosAdd

tan[α + β]  (cos[β] sen[α] + cos[α] sen[β])/(cos[α] cos[β] - sen[α] sen[β])

Supponendo cos(α) cos(β) ≠0 cioè α, β≠π/2 + kπ, dividiamo numeratore e denominatore del secondo membro per tale termine

applicaND[%, HoldForm[#/(cos[α] cos[β])] &]

tan[α + β]  (cos[β] sen[α] + cos[α] sen[β])/(cos[α] cos[β])/(cos[α] cos[β] - sen[α] sen[β])/(cos[α] cos[β])

e quindi semplificando e tenendo conto della definizione di tangente in termini del seno e coseno, gli elementi coinvolti a secondo membro divengono rispettivamente

applicaND[%, Apart[rilascia[#]] &]

tan[α + β]  (sen[α]/cos[α] + sen[β]/cos[β])/(1 - (sen[α] sen[β])/(cos[α] cos[β]))

%//.id4

tan[α + β]  (tan[α] + tan[β])/(1 - tan[α] tan[β])

che è la formula cercata.

tanAdd = toRule[%]

tan[α + β]  (tan[α] + tan[β])/(1 - tan[α] tan[β])

Identità dimostrate

{idFondamentale, senCompl, cosCompl, tanCompl, senDiffPi2, cosDiffPi2, tanDiffPi2, senSuppl, c ... 46;], tan[α_ + β_]  (tan[α] + tan[β])/(1 - tan[α] tan[β])} ;

Tangente della differenza

Per ottenere la formula corrispondente e relativa alla differenza degli angoli, procediamo alla sostituzione β→ -β

toIdentita[tanAdd]/.β -β

tan[α - β]  (tan[α] + tan[-β])/(1 - tan[α] tan[-β])

Ricordando che la tangente è una funzione dispari che soddisfa quindi alla identità tan(-β) = -tan(β) giungiamo infine alla

%/.tanOpp

tan[α - β]  (tan[α] - tan[β])/(1 + tan[α] tan[β])

In definitiva le formule di addizione e sottrazione per la tangente sono

                                                             tan(α)  tan(β)         ... ;) tan(β)                                                                                   2

tanDiff = toRule[%]

tan[α - β]  (tan[α] - tan[β])/(1 + tan[α] tan[β])

Formule di duplicazione

Identità dimostrate

{idFondamentale, senCompl, cosCompl, tanCompl, senDiffPi2, cosDiffPi2, tanDiffPi2, senSuppl, c ... 6;]), tan[α_ - β_]  (tan[α] - tan[β])/(1 + tan[α] tan[β])} ;

Formule di duplicazione per seno coseno e tangente

Dall'insieme delle formule discusse finora possiamo derivare facilmente un altro gruppo di importanti identità goniometriche. Iniziamo da quelle di duplicazione, formule che collegano le funzioni goniometriche dell'angolo 2α con quelle dell'angolo α.
Partendo dalla

toIdentita[senAdd]

sen[α + β] cos[β] sen[α] + cos[α] sen[β]

basta porre β = α per ottenere quanto si voleva

%/.βα

sen[2 α] 2 cos[α] sen[α]

senDupl = toRule[%]

sen[2 α] 2 cos[α] sen[α]

Analogamente per il coseno si ottiene immediatamente

toIdentita[cosAdd]

cos[α + β] cos[α] cos[β] - sen[α] sen[β]

cosDuplEq = %/.βα

cos[2 α] cos[α]^2 - sen[α]^2

cosDupl = toRule[%]

cos[2 α] cos[α]^2 - sen[α]^2

Tenendo conto dell'identità goniometrica fondamentale quest'ultima si può riscrivere anche in termini alternativi appena si sostituisca cos^2(α) = 1 - sen^2(α)

toIdentita[cosDupl]/.cos[a_]^21 - sen[a]^2

cos[2 α] 1 - 2 sen[α]^2

cosDuplSen = toRule[%]

cos[2 α] 1 - 2 sen[α]^2

oppure ancora, in base alla sen^2(α) = 1 - cos^2(α), si ottiene una terza forma

toIdentita[cosDupl]/.sen[a_]^21 - cos[a]^2

cos[2 α]  -1 + 2 cos[α]^2

cosDuplCos = toRule[%]

cos[2 α]  -1 + 2 cos[α]^2

Infine la formula di addizione per la tangente

toIdentita[tanAdd]

tan[α + β]  (tan[α] + tan[β])/(1 - tan[α] tan[β])

fornisce con la sostituzione βα l'espressione cercata

%/.βα

tan[2 α]  (2 tan[α])/(1 - tan[α]^2)

tanDupl = toRule[%]

tan[2 α]  (2 tan[α])/(1 - tan[α]^2)

Le formule di duplicazione sono pertanto

sen(2α) = 2sen(α) cos(α)  cos(2α) = cos^2(α) - sen^2(α)  ...  - 2sen^2(α) = 2cos^2(α) - 1  tan(2α) = (2tan(α))/(1 - tan^2(α))

Formule di bisezione

Identità dimostrate

{idFondamentale, senCompl, cosCompl, tanCompl, senDiffPi2, cosDiffPi2, tanDiffPi2, senSuppl, c ... 5;_]  -1 + 2 cos[α]^2, tan[2 α_]  (2 tan[α])/(1 - tan[α]^2)} ;

Formule di bisezione per seno, coseno, tangente

In modo inverso rispetto alle formule di duplicazione, quelle di bisezione esprimono le funzioni goniometriche di un angolo in termini dell'angolo doppio. Iniziamo sfruttando una delle tre forme della formula di duplicazione per il cos(2α)

toIdentita[cosDuplSen]

cos[2 α] 1 - 2 sen[α]^2

ed esplicitiamo il FormBox[RowBox[{sen(α), Cell[]}], TraditionalForm]in funzione del cos(2α)

% - 1

-1 + cos[2 α]  -2 sen[α]^2

scambia[-%/2]

sen[α]^21/2 (1 - cos[2 α])

L'estrazione della radice quadrata comporta

Sqrt/@%

sen[α]^2^(1/2)  (1 - cos[2 α])^(1/2)/2^(1/2)

e quindi ricordando che il primo membro rappresenta un valore assoluto, l'espressione diventa

MapAt[Abs, %, 1]

Abs[sen[α]]  (1 - cos[2 α])^(1/2)/2^(1/2)

Sostituendo ad α l'angolo α/2 otteniamo quanto richiesto

%/.αα/2

Abs[sen[α/2]]  (1 - cos[α])^(1/2)/2^(1/2)

Si tenga presente che per utilizzare proficuamente formule di questo tipo, contenenti il valore assoluto di una funzione goniometrica, sarà necessario conoscere il quadrante dell'angolo α/2 così da riconoscere il segno della funzione ad argomento e "aprire" il valore assoluto.

senBis = toRule[%]

Abs[sen[α/2]]  (1 - cos[α])^(1/2)/2^(1/2)

Abbiamo in sostanza dimostrato

| sen α/2 | = (1 - cos(α))/2^(1/2)

Partendo invece dalla forma

toIdentita[cosDuplCos]

cos[2 α]  -1 + 2 cos[α]^2

esplicitiamo il cos(α)

scambia[(% + 1) 1/2]

cos[α]^21/2 (1 + cos[2 α])

e quindi l'estrazione della radice quadrata conduce alla

Sqrt/@%

cos[α]^2^(1/2)  (1 + cos[2 α])^(1/2)/2^(1/2)

ossia

MapAt[Abs, %, 1]

Abs[cos[α]]  (1 + cos[2 α])^(1/2)/2^(1/2)

Eseguiamo infine la sostituzione αα/2per ottenere la scrittura canonica per tale identità

%/.αα/2

Abs[cos[α/2]]  (1 + cos[α])^(1/2)/2^(1/2)

cosBis = toRule[%]

Abs[cos[α/2]]  (1 + cos[α])^(1/2)/2^(1/2)

Volendo giungere anche alla formula di bisezione per la tangente è sufficiente eseguire il rapporto, membro a membro, delle due identità appena trovate: ovviamente quanto si deduce vale nell'ipotesi che il denominatore sia diverso dallo zero (α≠π + 2k π). Difatti

toIdentita[senBis]/toIdentita[cosBis]

Abs[sen[α/2]]/Abs[cos[α/2]]  (1 - cos[α])^(1/2)/(1 + cos[α])^(1/2)

Possiamo quindi porre

Abs[Tan[α/2]] %[[2]]

Abs[Tan[α/2]]  (1 - cos[α])^(1/2)/(1 + cos[α])^(1/2)

tanBis = toRule[%]

Abs[Tan[α/2]]  (1 - cos[α])^(1/2)/(1 + cos[α])^(1/2)

Le tre identità ottenute sono in conclusione

| sen α/2 | = (1 - cos(α))/2^(1/2)

| cos α/2 | = (1 + cos(α))/2^(1/2)

| tan α/2 | = (1 - cos(α))/(1 + cos(α))^(1/2)

Formule parametriche razionali

Identità dimostrate

{idFondamentale, senCompl, cosCompl, tanCompl, senDiffPi2, cosDiffPi2, tanDiffPi2, senSuppl, c ... ;])^(1/2)/2^(1/2), Abs[Tan[α_/2]]  (1 - cos[α])^(1/2)/(1 + cos[α])^(1/2)} ;

Formule parametriche razionali di seno, coseno e tangente

Le formule che dimostreremo in questa sezione si mostrano utili in diverse occasioni, in particolare quando non si dispone di sufficienti informazioni sul quadrante di appartenenza dell'angolo α. Difatti nelle seguenti relazioni non compaiono termini entro valori assoluti per i quali è necessario disporre di tale informazione.  
Partiamo dalla formula di duplicazione del seno

toIdentita[senDupl]

sen[2 α] 2 cos[α] sen[α]

e scriviamo il denominatore del secondo membro (che vale evidentemente 1) come sen^2(α) + cos^2(α) = 1.

MapAt[#  1/(sen[α]^2 + cos[α]^2) &, %, {2}]

sen[2 α]  (2 cos[α] sen[α])/(cos[α]^2 + sen[α]^2)

Dividiamo ora il numeratore e il denominatore per cos^2(α) ≠0 supponendo quindi che α≠π/2 + k π

applicaND[%, HoldForm[#/cos[α]^2] &]

sen[2 α]  (2 cos[α] sen[α])/cos[α]^2/(cos[α]^2 + sen[α]^2)/cos[α]^2

Ricordando che tan(α) = sen(α)/cos(α) il secondo membro si riscrive

applicaND[%, Apart[rilascia[#]] &]//.id4

sen[2 α]  (2 tan[α])/(1 + tan[α]^2)

Infine per riportare l'identità appena trovata alla forma canonica eseguiamo la sostituzione αα/2

%/.αα/2

sen[α]  (2 tan[α/2])/(1 + tan[α/2]^2)

senRaz = toRule[%]

sen[α]  (2 tan[α/2])/(1 + tan[α/2]^2)

Procedendo allo stesso modo possiamo giungere all'identità collegata al coseno: difatti, riscritta

toIdentita[cosDupl]

cos[2 α] cos[α]^2 - sen[α]^2

come

MapAt[#  1/(sen[α]^2 + cos[α]^2) &, %, {2}]

cos[2 α]  (cos[α]^2 - sen[α]^2)/(cos[α]^2 + sen[α]^2)

dividiamo ancora il numeratore e il denominatore per cos^2(α) ≠0 supponendo quindi che α≠π/2 + k π

applicaND[%, HoldForm[(#) (1/cos[α]^2)] &]

cos[2 α]  (cos[α]^2 - sen[α]^2)/cos[α]^2/(cos[α]^2 + sen[α]^2)/cos[α]^2

Per la proprietà distributiva e la definizione della tangente, questa diviene

applicaND[%, Apart[rilascia[#]] &]//.id4

cos[2 α]  (1 - tan[α]^2)/(1 + tan[α]^2)

L'applicazione della sostituzione αα/2 implica

%/.αα/2

cos[α]  (1 - tan[α/2]^2)/(1 + tan[α/2]^2)

cosRaz = toRule[%]

cos[α]  (1 - tan[α/2]^2)/(1 + tan[α/2]^2)

La terza ed ultima formula di bisezione si ottiene immediatamente con la sostituzione αα/2a partire da quella di duplicazione per la tangente

toIdentita[tanDupl]

tan[2 α]  (2 tan[α])/(1 - tan[α]^2)

Difatti si ha

%/.αα/2

tan[α]  (2 tan[α/2])/(1 - tan[α/2]^2)

tanRaz = toRule[%]

tan[α]  (2 tan[α/2])/(1 - tan[α/2]^2)

In conclusione, le formule di bisezione ottenute sono

sen(α) = (2tan(α/2))/(1 + tan^2(α/2))    con α/2≠π/2 + kπ

cos(α) = (1 - tan^2(α/2))/(1 + tan^2(α/2))    con α/2≠π/2 + kπ

tan(α)=(2tan(α/2))/(1 - tan^2(α/2))    con α/2≠π/2 + kπ

Formule di Werner e prostaferesi

Identità dimostrate

{idFondamentale, senCompl, cosCompl, tanCompl, senDiffPi2, cosDiffPi2, tanDiffPi2, senSuppl, c ... 945;/2]^2)/(1 + tan[α/2]^2), tan[α_]  (2 tan[α/2])/(1 - tan[α/2]^2)} ;

Formule di Werner

Riportate di seguito le formule di addizione e sottrazione per il seno e coseno, deduciamo da queste delle ulteriori identità con le quali potremo collegare prodotti di funzioni goniometriche con somme.

Transpose[{{"(1) senAdd", "(2) senDiff", "(3) cosAdd", "(4) cosDiff"}, toIdentita/@{senAdd, senDiff, cosAdd, cosDiff}}]//TableForm

(1) senAdd sen[α + β] == cos[β] sen[α] + cos[α] sen[β]
(2) senDiff sen[α - β] == cos[β] sen[α] - cos[α] sen[β]
(3) cosAdd cos[α + β] == cos[α] cos[β] - sen[α] sen[β]
(4) cosDiff cos[α - β] == cos[α] cos[β] + sen[α] sen[β]

Sommando quindi in colonna le prime due, otteniamo

Plus @@ toIdentita/@{senAdd, senDiff}

sen[α - β] + sen[α + β] 2 cos[β] sen[α]

che evidentemente associa il prodotto del seno e coseno con una somma. Dividendo per 2 e scrivendo il secondo membro come primo abbiamo

% /2//scambia

cos[β] sen[α] 1/2 (sen[α - β] + sen[α + β])

wernerCosSen = toRule[%]

cos[β] sen[α] 1/2 (sen[α - β] + sen[α + β])

espressione che costituisce la prima formula di Werner. Se, al contrario, eseguiamo la differenza delle prime due identità e procediamo allo stesso modo otteniamo

Subtract @@ toIdentita/@{senAdd, senDiff}//scambia

2 cos[α] sen[β]  -sen[α - β] + sen[α + β]

%/2

cos[α] sen[β] 1/2 (-sen[α - β] + sen[α + β])

che sostanzialmente mostra il medesimo risultato a parte lo scambio dell'angolo α con β. Eseguendo invece la somma della terza e quarta identità

Plus @@ toIdentita/@{cosAdd, cosDiff}

cos[α - β] + cos[α + β] 2 cos[α] cos[β]

giungiamo, dopo aver scambiato i membri e diviso per 2

%/2//scambia

cos[α] cos[β] 1/2 (cos[α - β] + cos[α + β])

wernerCosCos = toRule[%]

cos[α] cos[β] 1/2 (cos[α - β] + cos[α + β])

alla seconda formula di Werner: questa collega il prodotto di due coseni con una somma. Infine sottraendo la quarta dalla terza

Subtract @@ toIdentita/@{cosAdd, cosDiff}

-cos[α - β] + cos[α + β]  -2 sen[α] sen[β]

e semplificata dividendola per -2 e quindi scambiati i membri, ricaviamo la terza formula di Werner che riporta un prodotto di seni in una somma.

%/-2//scambia

sen[α] sen[β] 1/2 (cos[α - β] - cos[α + β])

wernerSenSen = toRule[%]

sen[α] sen[β] 1/2 (cos[α - β] - cos[α + β])

Formule di prostaferesi

Infine, le quattro formule di prostaferesi si deducono dalle espressioni intermedie servite per giungere alle relazioni di Werner. A tal fine si sostituiscono, in luogo degli angoli α e β, le nuove variabili

{p = α + β   q = α - β

Esplicitati α e β in termini di p e q

 sol = Flatten[Solve[{α + βp, α - βq}, {α, β}]]//Simplify

{α (p + q)/2, β (p - q)/2}

e, dopo aver sommato la formula di addizione per il seno con quella della sottrazione,

Plus @@ toIdentita/@{senAdd, senDiff}

sen[α - β] + sen[α + β] 2 cos[β] sen[α]

è sufficiente sostituire le nuove variabili

%/.sol

sen[(p - q)/2 + (p + q)/2] + sen[1/2 (-p + q) + (p + q)/2] 2 cos[(p - q)/2] sen[(p + q)/2]

e semplificare

%//Simplify

sen[p] + sen[q] 2 cos[(p - q)/2] sen[(p + q)/2]

proSenAddSen = toRule[%, {p, q}]

sen[p_] + sen[q_] 2 cos[(p - q)/2] sen[(p + q)/2]

È questa la prima formula di prostaferesi che, come appare evidente, riduce una somma di seni ad un prodotto. Le altre si ottengono in maniera analoga: per ottenere la seconda identità di prostaferesi, riferendoci sempre alle identità di inizio sezione va sottratta la seconda dalla prima

Subtract @@ toIdentita/@{senAdd, senDiff}

-sen[α - β] + sen[α + β] 2 cos[α] sen[β]

per cui, scambiati i membri

%//scambia

2 cos[α] sen[β]  -sen[α - β] + sen[α + β]

e sostituite le nuove variabili angolari si ottiene

%/.sol//Simplify

sen[p] 2 cos[(p + q)/2] sen[(p - q)/2] + sen[q]

% - sen[q]

sen[p] - sen[q] 2 cos[(p + q)/2] sen[(p - q)/2]

proSenDiffSen = toRule[%, {p, q}]

sen[p_] - sen[q_] 2 cos[(p + q)/2] sen[(p - q)/2]

Per la terza di prostaferesi, si parte invece dalla somma della terza identità iniziale con la quarta

Plus @@ toIdentita/@{cosAdd, cosDiff}

cos[α - β] + cos[α + β] 2 cos[α] cos[β]

e con il medesimo processo si trova

%/.sol//Simplify

cos[p] + cos[q] 2 cos[(p - q)/2] cos[(p + q)/2]

proCosAddCos = toRule[%, {p, q}]

cos[p_] + cos[q_] 2 cos[(p - q)/2] cos[(p + q)/2]

Per ultimo, sottraendo la quarta dalla terza

Subtract @@ toIdentita/@{cosAdd, cosDiff}

-cos[α - β] + cos[α + β]  -2 sen[α] sen[β]

e, inserite le varibili p e q

%/.sol//Simplify

cos[p] + 2 sen[(p - q)/2] sen[(p + q)/2] cos[q]

% - cos[p]//scambia

-cos[p] + cos[q] 2 sen[(p - q)/2] sen[(p + q)/2]

la moltiplicazione per -1 conduce al risultato cercato

% (-1)

cos[p] - cos[q]  -2 sen[(p - q)/2] sen[(p + q)/2]

proCosDiffCos = toRule[%, {p, q}]

cos[p_] - cos[q_]  -2 sen[(p - q)/2] sen[(p + q)/2]

In conclusione le 3 formule distinte di Werner sono

cos (α) sen (β) 1/2 [sen (α + β) - sen (α - β)] cos (	 ...  - β)] sen (α) sen (β) 1/2 [cos (α - β) - cos (α + β)]

e collegano dei prodotti di funzioni con delle somme, mentre le quattro di prostaferesi

sen (p) + sen (q) 2 cos ((p - q)/2) sen ((p + q)/2) sen (p) - sen (q) 2 cos (( ... 3;2 cos ((p - q)/2) cos ((p + q)/2) cos (p) - cos (q)  -2 sen ((p - q)/2) sen ((p + q)/2)

associano a somme delle medesime funzioni, dei prodotti.

Riassunto di tutte le identità dimostrate

Identità dimostrate

{idFondamentale, cosNotosen, tanNotosen, senNotocos, tanNotocos, senNototan, cosNototan} = {co ... otosen, tanNotosen, senNotocos, tanNotocos, senNototan, cosNototan}}]//TableForm//TraditionalForm

{idFondamentale, senCompl, cosCompl, tanCompl, senDiffPi2, cosDiffPi2, tanDiffPi2, senSuppl, c ... erSenSen, proSenAddSen, proSenDiffSen, proCosAddCos, proCosDiffCos}}]//TableForm//TraditionalForm

Tabelle

Presentiamo infine due tabelle riassuntive di tutte le identità dimostrate in questo notebook con associati i rispettivi nomi simbolici usati.

Identità goniometriche dello stesso angolo

idFondamentale cos(α)^2 + sen(α)^21
cosNotosen cos(α)  (1 - sen(α)^2)^(1/2)
tanNotosen tan(α) sen(α) /(1 - sen(α)^2)^(1/2)
senNotocos sen(α)  (1 - cos(α)^2)^(1/2)
tanNotocos tan(α)  (1 - cos(α)^2)^(1/2)/cos(α) 
senNototan sen(α) tan(α)^2/(tan(α)^2 + 1)^(1/2)
cosNototan cos(α) 1/(tan(α)^2 + 1)^(1/2)

Identità goniometriche di angoli diversi

senCompl sen(π/2 - α) cos(α)
cosCompl cos(π/2 - α) sen(α)
tanCompl tan(π/2 - α) cot(α)
senDiffPi2 sen(α + π/2) cos(α)
cosDiffPi2 cos(α + π/2)  -sen(α)
tanDiffPi2 tan(α + π/2)  -cos(α)/sen(α)
senSuppl sen(π - α) == sen(α)
cosSuppl cos(π - α) == -cos(α)
tanSuppl tan(π - α) == -tan(α)
senExpl sen(α + π) == -sen(α)
cosExpl cos(α + π) == -cos(α)
tanExpl tan(α + π) == tan(α)
senOpp sen(-α) == -sen(α)
cosOpp cos(-α) == cos(α)
tanOpp tan(-α) == -tan(α)
cosDiff cos(α - β) == cos(α) cos(β) + sen(α) sen(β)
cosAdd cos(α + β) == cos(α) cos(β) - sen(α) sen(β)
senDiff sen(α - β) == cos(β) sen(α) - cos(α) sen(β)
senAdd sen(α + β) == cos(β) sen(α) + cos(α) sen(β)
tanAdd tan(α + β)  (tan(α) + tan(β))/(1 - tan(α) tan(β))
tanDiff tan(α - β)  (tan(α) - tan(β))/(tan(α) tan(β) + 1)
senDupl sen(2 α) == 2 cos(α) sen(α)
cosDupl cos(2 α) cos(α)^2 - sen(α)^2
cosDuplSen cos(2 α) 1 - 2 sen(α)^2
cosDuplCos cos(2 α) 2 cos(α)^2 - 1
tanDupl tan(2 α)  (2 tan(α))/(1 - tan(α)^2)
senBis sen(α/2)  (1 - cos(α))^(1/2)/2^(1/2)
cosBis cos(α/2)  (cos(α) + 1)^(1/2)/2^(1/2)
tanBis tan(α/2)  (1 - cos(α))^(1/2)/(cos(α) + 1)^(1/2)
senRaz sen(α)  (2 tan(α/2))/(tan(α/2)^2 + 1)
cosRaz cos(α)  (1 - tan(α/2)^2)/(tan(α/2)^2 + 1)
tanRaz tan(α)  (2 tan(α/2))/(1 - tan(α/2)^2)
wernerCosSen cos(β) sen(α) 1/2 (sen(α - β) + sen(α + β))
wernerCosCos cos(α) cos(β) 1/2 (cos(α - β) + cos(α + β))
wernerSenSen sen(α) sen(β) 1/2 (cos(α - β) - cos(α + β))
proSenAddSen sen(p) + sen(q) 2 cos((p - q)/2) sen((p + q)/2)
proSenDiffSen sen(p) - sen(q) 2 cos((p + q)/2) sen((p - q)/2)
proCosAddCos cos(p) + cos(q) 2 cos((p - q)/2) cos((p + q)/2)
proCosDiffCos cos(p) - cos(q)  -2 sen((p - q)/2) sen((p + q)/2)

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