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Integrazione definita: le somme di Riemann

Nota

Questo notebook di Mathematica riporta la traccia di una lezione introduttiva all'integrale definito proposta ad una classe quinta di liceo scientifico.

Area del trapezoide e dei plurirettangoli

Off[General :: "spell1"]

Definita la funzione

f[x_] := 1/3x^2 - 2x + 5 + Sin[3 x] ;

studiamone il grafico in un intervallo chiuso [a, b], per esempio [0, 5].

a = 0 ; b = 5 ; graficoFunzione = Plot[f[x], {x, a, b}, PlotRange {{a, b}, {0, 6}}] ;

[Graphics:HTMLFiles/index_6.gif]

Osserviamo che la funzione f (x) risulta in [0, 5]sempre positiva. Il nostro scopo è di determinare l'area della regione compresa tra le rette di equazione x = 0, x = 5, la curva grafico di f , e l'asse delle ascisse, regione ben evidenziata nel grafico sottostante e chiamata trapezoide.
Va subito notato che tale area dipende dalle scelte che abbiamo fatto ossia sostanzialmente dalla funzione f e dagli estremi dell'intervallo [a, b] cioè da 0 e da 5.

<<Graphics`FilledPlot` trapezoide = FilledPlot[{f[x], 0}, {x, a, b}] ;

[Graphics:HTMLFiles/index_16.gif]

Per determinare l'area del trapezoide suddividiamo l'intervallo [a, b] in n intervallini di ampiezza uguale e consideriamo la figura formata dall'unione di tutti i rettangoli aventi per basi gli intervalli di ampiezza (b - a)/ned altezze pari al valore della funzione f calcolata nel punto medio di ciascun intervallino. Figure di tal genere, analoghe ai tradizionali istogrammi, vengono indicate come plurirettangoli associati alla funzione.
Se identifichiamo l'estremo inferiore a con l'estremo inferiore del primo intervallino (cioè x_0 = a) e l'estremo superiore b di [a, b]con l'estremo superiore dell'n-esimo intervallino (x_n = b), ne segue che l'indice i potrà assumere i valori tra RowBox[{(, RowBox[{RowBox[{1., ..}], n}], )}] e l'i-esimo intervallino avrà estremi [x_ (i - 1), x_i]. In termini dell'ampiezza comune amp = (b - a)/nrisultano le seguenti espressioni:

ascissa degli estremi: x_i = a + i * amp, RowBox[{i, =, RowBox[{1., ., n}]}]

ascissa del punto medio di quest'ultimo risulta x_ (m, i) = (x_ (i - 1) + x_i)/2 = a + amp/2 (2i - 1)

Il codice sottostante costruisce il plurirettangolo e lo rappresenta assieme al grafico della funzione. Si noti che si è scelta una suddivisione dell'intervallo in 10 intervallini (n = 10) e che la funzione viene calcolata in x_ (m, i).

RowBox[{istogrammaMed[a_, b_, n_, funzione_], :=, RowBox[{Module, [, RowBox[{{i, amp, sep}, ,, ... - 1) + a + sep, 0}, {amp * i + a - sep, funzione[amp/2 * (2 i - 1) + a]}]}, {i, 1, n}]]}]}], ]}]}]

pluriRettangoloMed10 = istogrammaMed[a, b, 10, f] ; RowBox[{RowBox[{Show, [, RowBox[{pluriRett ...  medi)", ,, RowBox[{{, RowBox[{3.9, ,, 5}], }}]}], ]}], ]}], ,, AxesTrue}], ]}], ;}]

[Graphics:HTMLFiles/index_37.gif]

L'area di questo plurirettangolo viene calcolata dalla funzione successiva ed è evidentemente data dalla somma delle aree dei singoli rettangoli componenti: è questa la prima somma di Riemann che presentiamo:

metodoRettangoliMed[a_, b_, n_, funzione_] := Module[{i, amp}, amp = Abs[(b - a)/n] ; amp * Underoverscript[∑, i = 1, arg3] funzione[a + amp/2 * (2i - 1)]]

fissato n = 10, l'area del plurirettangolo corrispondente è

areaPluriRettMed10 = metodoRettangoliMed[a, b, 10, f]//N

14.4996

Anziché calcolare le altezze dei singoli rettangoli nel punto medio dell'intervallo si potrebbe scegliere di calcolarle nell'estremo sinistro di ciascuno e cioè in x_ (i - 1) = a + amp * (i - 1). È quanto viene fatto dalle funzioni che seguono

RowBox[{istogrammaEstSx[a_, b_, n_, funzione_], :=, RowBox[{Module, [, RowBox[{{i, amp, sep},  ... , amp = Abs[(b - a)/n] ; amp * Underoverscript[∑, i = 1, arg3] funzione[a + amp * (i - 1)]]

pluriRettangoloEstSx10 = istogrammaEstSx[a, b, 10, f] ; Show[pluriRettangoloEstSx10, graficoFunzione, Graphics[Text["n = 10 (est. sx)", {4, 5}]], AxesTrue] ;

[Graphics:HTMLFiles/index_45.gif]

La funzione che fornisce l'area diviene in tal caso

metodoRettangoliEstSx[a_, b_, n_, funzione_] := Module[{i, amp}, amp = Abs[(b - a)/n] ; amp *  ... , arg3] funzione[a + amp * (i - 1)]] areaPluriRettEstSx10 = metodoRettangoliEstSx[a, b, 10, f]//N

14.6847

Come si può facilmente constatare disponiamo già di due valori approssimati dell'area del trapezoide, entrambi corrispondenti ad una suddivisione in 10 intervallini. Nello stesso modo, e solo con leggere modifiche al codice, costruiamo il plurirettangolo con le altezze calcolate nell'estremo destro x_i = a + amp * i di ciascun intervallino e

RowBox[{istogrammaEstDx[a_, b_, n_, funzione_], :=, RowBox[{Module, [, RowBox[{{i, amp, sep},  ... , amp}, amp = Abs[(b - a)/n] ; amp * Underoverscript[∑, i = 1, arg3] funzione[a + amp * i]]

pluriRettangoloEstDx10 = istogrammaEstDx[0, 5, 10, f] ; Show[pluriRettangoloEstDx10, graficoFunzione, Graphics[Text["n = 10 (est. dx)", {4, 5}]], AxesTrue] ;

[Graphics:HTMLFiles/index_51.gif]

calcoliamo poi il valore dell'area del nuovo plurirettangolo

metodoRettangoliEstDx[a_, b_, n_, funzione_] := Module[{i, amp}, amp = Abs[(b - a)/n] ; amp *  ...  i = 1, arg3] funzione[a + amp * i]] areaPluriRettEstDx10 = metodoRettangoliEstDx[a, b, 10, f]//N

14.1765

Diviene ora evidente come sia possibile costruire diversi plurirettangoli in corrispondenza di una medesima suddivisione dell'intervallo originario: per esempio potremmo considerare il minimo (o il massimo) assoluto assunti dalla funzione in ciascun intervallino e identificare questi valori come le altezze dei diversi rettangoli oppure, ed è quanto seguiremo, potremo calcolare le altezze in un punto scelto a caso all'interno di ciascun intervallino.
Difatti di seguito otteniamo sia l'istogramma rappresentativo

RowBox[{istogrammaRnd[a_, b_, n_, funzione_], :=, RowBox[{Module, [, RowBox[{{i, amp, sep}, ,, ... * i + a - sep, funzione[Random[Real, {a + amp * (i - 1), a + amp * i}]]}]}, {i, 1, n}]]}]}], ]}]}]

pluriRettangoloRnd10 = istogrammaRnd[a, b, 10, f] ; Show[pluriRettangoloRnd10, graficoFunzione, Graphics[Text["n = 10 (valori rnd)", {4, 5}]], AxesTrue] ;

[Graphics:HTMLFiles/index_56.gif]

sia l'area del plurirettangolo.

metodoRettangoliRnd[a_, b_, n_, funzione_] := Module[{i, amp}, amp = Abs[(b - a)/n] ; amp * Un ... eal, {a + amp * (i - 1), a + amp * i}]]] areaPluriRettRnd10 = metodoRettangoliRnd[a, b, 10, f]//N

14.4724

Con questa scelta risulta chiaro che, fissata una certa suddivisione dell'intervallo [a, b], abbiamo infinite possibilità per costruire un plurirettangolo e di conseguenza, infiniti valori per la sua area. Difatti è sufficiente ricalcolare l'area per ottenere un altro valore generalmente diverso per quest'ultima.

areaPluriRettRnd10 = metodoRettangoliRnd[a, b, 10, f]//N

14.4453

Per sottolineare ulteriormente la libertà esistente nel costruire i plurirettangoli intendiamo infine rimuovere pure l'unica restrizione che finora abbiamo sempre rispettato e che consiste nel suddividere l'intervallo [a, b]in intervallini di uguale ampiezza. Procederemo pertanto ad una suddivisione casuale di [a, b]cioè ad una sua partizione in intervallini di ampiezza generalmente diversa. A tal fine, facendo coincidere ancora l'estremo inferiore del primo con a e l'estremo superiore dell'n-esimo con b, è sufficiente scegliere in modo casuale n - 1punti interni di [a, b]. Il codice seguente, un po' più complesso dei precedenti, realizza ciò sfruttando uno dei più importanti strumenti di Mathematica ossia le liste. Al solito, si costruisce dapprima l'istogramma e poi la corrispondente somma di Riemann.

RowBox[{istogrammaPartRnd[a_, b_, n_, funzione_], :=, RowBox[{Module, [, RowBox[{{i, lista1, l ... andom[Real, {partizione[[i]], partizione[[i + 1]]}]]}]}], }}], ,, {i, 1, n}}], ]}], ]}]}]}], ]}]}]

pluriRettangoloPartRnd10 = istogrammaPartRnd[a, b, 10, f] ; Show[pluriRettangoloPartRnd10, graficoFunzione, Graphics[Text["n = 10 (partizione rnd)", {3, 5}]], AxesTrue] ;

[Graphics:HTMLFiles/index_71.gif]

Il codice per la corrispondente somma di Riemann è

metodoRettangoliPartRnd[a_, b_, n_, funzione_] := Module[{i, lista1, lista2, partizione, inter ... 1;, i = 1, arg3] funzione[Random[Real, {partizione[[i]], partizione[[i + 1]]}]] * intervalli[[i]]]

e fornisce, per n = 10

areaPluriRettPartRnd10 = metodoRettangoliPartRnd[a, b, 10, f]//N

14.5684

Riassumiamo infine in una tabella i valori finora ottenuti:

TableForm[Transpose[List[{areaPluriRettMed10, areaPluriRettEstSx10, areaPluriRettEstDx10, area ... uale"}, {StyleForm["area plurirettangoli n=10", FontWeight->"Bold"]}}]

area plurirettangoli n=10
con valore medio 14.4996
estr. sx 14.6847
estr. dx 14.1765
valore casuale 14.4453
partizione casuale 14.5684

Come si vede i valori sono tutti diversi (e ci mancherebbe!) pur non essendo, tra loro, sensibilmente diversi. Il metodo finora seguito, e quest'ultima osservazione, suggeriscono naturalmente di aumentare le suddivisioni dell'intervallo [a, b] in modo tale che i plurirettangoli approssimino in modo più fine il trapezoide. Nella prossima sezione intendiamo quindi studiare, al variare del numero n di intervallini, come vari l'area dei plurirettangoli e, particolarmente, il suo andamento quando n +∞.

Andamento dell'area dei plurirettangoli

Definiamo una funzione più flessibile delle precedenti e con la quale, tramite una semplice opzione (che può assumere i valori med, sx, dx, rnd, partRnd), si possa selezionare una delle cinque tecniche viste sopra per il calcolo dell'area. In mancanza di questa verrà attivato il calcolo nel punto medio degli intervallini.

Options[areaPluriRettangolo] = {metodomed} ; areaPluriRettangolo[a_, b_, n_, funzione_ ... p; tipopluriRettangolo === partRnd, N[metodoRettangoliPartRnd[a, b, n, funzione]] ]]

Per puro controllo ricalcoliamo l'area nei punti medi

areaPluriRettangolo[a, b, 10, f, metodomed]

14.4996

Come detto, appare naturale aumentare il numero di suddivisioni dell'intervallo originario in modo da migliorare la nostra approssimazione all'area del trapezoide. Un'animazione grafica, per RowBox[{n, =, RowBox[{1., .100}]}], mette bene in evidenza questo fatto geometrico.

Table[Show[istogrammaMed[a, b, n, f], graficoFunzione, Graphics[Text[StringJoin["n = ", ToString[n]], {4, 5}]], AxesTrue], {n, 1, 100}] ;

[Graphics:HTMLFiles/index_85.gif]

[Graphics:HTMLFiles/index_86.gif]

[Graphics:HTMLFiles/index_87.gif]

Formiamo quindi una tabella di valori che metta in corrispondenza il numero n di intervallini (a partire da 1 e fino a 50) con le aree dei rispettivi plurirettangoli.

TableForm[Table[{i, areaPluriRettangolo[a, b, i, f, metodomed]}, {i, 1, 50}], TableHea ... eight->"Bold"], StyleForm["area (med)", FontWeight->"Bold"]}}]

num. intervallini area (med)
1 15.1067
2 9.17241
3 15.9533
4 14.8246
5 14.6321
6 14.5651
7 14.5339
8 14.5168
9 14.5064
10 14.4996
11 14.4948
12 14.4913
13 14.4888
14 14.4868
15 14.4852
16 14.4839
17 14.4829
18 14.4821
19 14.4813
20 14.4807
21 14.4802
22 14.4798
23 14.4794
24 14.4791
25 14.4788
26 14.4785
27 14.4783
28 14.4781
29 14.4779
30 14.4777
31 14.4776
32 14.4775
33 14.4773
34 14.4772
35 14.4771
36 14.477
37 14.477
38 14.4769
39 14.4768
40 14.4767
41 14.4767
42 14.4766
43 14.4766
44 14.4765
45 14.4765
46 14.4764
47 14.4764
48 14.4763
49 14.4763
50 14.4763

Come si vede e come aspettato, l'approssimazione all'area del trapezoide, appare migliorare all'aumentare del numero di suddivisioni. Sottolineiamo inoltre che tale tabella può essere interpretata come l'elenco dei primi 50 termini di una successione, successione della quale intendiamo studiare (numericamente) il limite per n +∞. Per disporre comunque di una visione d'insieme di tali risultati è utile una rappresentazione grafica che ponga in ascissa in numero n e in ordinata la corrispondente area del plurirettangolo.

datiMed = Table[{i, areaPluriRettangolo[a, b, i, f, metodomed]}, {i, 1, 50}] ; RowBox[ ...  RowBox[{{, RowBox[{RGBColor[1, 0, 0], ,, RowBox[{PointSize, [, 0.015, ]}]}], }}]}]}], ]}]}], ;}]

[Graphics:HTMLFiles/index_93.gif]

Una seconda animazione permette di associare la situazione geometrica con l'andamento dell'area dei plurirettangoli all'aumentare di n.

RowBox[{RowBox[{Table, [, RowBox[{RowBox[{Show, [, RowBox[{RowBox[{GraphicsArray, [, RowBox[{{ ... tionIdentity}], ]}]}], }}], ]}], ,, ImageSize600}], ]}], ,, {n, 1, 50}}], ]}], ;}]

[Graphics:HTMLFiles/index_96.gif]

[Graphics:HTMLFiles/index_97.gif]

[Graphics:HTMLFiles/index_98.gif]

L'andamento riesce del tutto evidente: la successione appare convergere asintoticamente ad un certo valore. Generalizziamo ulteriormente tale approccio costruendo una tabella comprensiva di tutti e cinque i metodi di calcolo presentati nella sezione precedente, sempre per n che varia da 1 a 50.

TableForm[Table[{i, areaPluriRettangolo[a, b, i, f, metodomed], areaPluriRettangolo[a, ...  (est.sx)", "area (est.dx)", "area (rnd)", "area (part.rnd)"}}]

num. intervallini area (medi) area (est.sx) area (est.dx) area (rnd) area (part.rnd)
1 15.1067 25. 19.9181 10.8495 22.4536
2 9.17241 20.0533 17.5124 17.0116 8.32165
3 15.9533 13.5445 11.8505 20.299 14.9215
4 14.8246 14.6129 13.3424 16.3922 20.631
5 14.6321 14.7373 13.7209 16.0454 15.0559
6 14.5651 14.7489 13.9019 13.4626 14.4495
7 14.5339 14.7364 14.0104 13.3497 14.2408
8 14.5168 14.7187 14.0835 15.6272 14.8518
9 14.5064 14.701 14.1363 14.8809 12.7905
10 14.4996 14.6847 14.1765 15.2728 14.7989
11 14.4948 14.67 14.208 15.0641 14.1416
12 14.4913 14.657 14.2335 14.4799 15.6189
13 14.4888 14.6454 14.2545 14.5835 14.0653
14 14.4868 14.6352 14.2722 14.382 14.9765
15 14.4852 14.626 14.2872 14.264 14.1032
16 14.4839 14.6178 14.3002 14.8598 13.82
17 14.4829 14.6104 14.3115 14.7431 15.3628
18 14.4821 14.6037 14.3214 13.9782 15.5875
19 14.4813 14.5976 14.3302 14.6209 14.5545
20 14.4807 14.5921 14.338 14.2634 14.2863
21 14.4802 14.587 14.345 14.1687 15.5164
22 14.4798 14.5824 14.3514 14.4669 15.2531
23 14.4794 14.5781 14.3572 14.2157 14.2897
24 14.4791 14.5742 14.3624 14.6056 14.1353
25 14.4788 14.5705 14.3672 14.3842 14.3322
26 14.4785 14.5671 14.3716 14.5575 13.978
27 14.4783 14.5639 14.3757 14.2363 14.1839
28 14.4781 14.561 14.3795 14.5069 14.2651
29 14.4779 14.5582 14.383 14.5278 14.0384
30 14.4777 14.5556 14.3862 14.2968 14.0975
31 14.4776 14.5532 14.3892 14.3805 14.2326
32 14.4775 14.5509 14.392 14.4995 14.4236
33 14.4773 14.5487 14.3947 14.4189 14.4988
34 14.4772 14.5466 14.3972 14.3174 14.3547
35 14.4771 14.5447 14.3995 14.3932 14.3468
36 14.477 14.5429 14.4017 14.5333 15.0834
37 14.477 14.5411 14.4038 14.5076 14.2633
38 14.4769 14.5395 14.4058 14.6069 14.2252
39 14.4768 14.5379 14.4076 14.4992 14.4413
40 14.4767 14.5364 14.4094 14.5359 14.3723
41 14.4767 14.535 14.4111 14.4004 14.1262
42 14.4766 14.5336 14.4126 14.5532 14.2734
43 14.4766 14.5323 14.4142 14.4984 14.6617
44 14.4765 14.5311 14.4156 14.4422 14.2311
45 14.4765 14.5299 14.417 14.5075 14.3571
46 14.4764 14.5288 14.4183 14.4306 14.2081
47 14.4764 14.5277 14.4195 14.5279 14.1334
48 14.4763 14.5266 14.4207 14.4681 14.5877
49 14.4763 14.5256 14.4219 14.5613 14.7032
50 14.4763 14.5246 14.423 14.4556 14.3722

Ancora, si nota la tendenza alla

convergenza di ciascuna successione e, cosa particolarmente importante,

le differenze tra le aree calcolate con ciascun metodo, tendono a diminuire.

La rappresentazione grafica permette di cogliere tutte queste proprietà in modo sintetico ed immediato,

datiSx = Table[{i, areaPluriRettangolo[a, b, i, f, metodosx]}, {i, 1, 50}] ; datiDx =  ... , [, RowBox[{0, ,, 0.7, ,, 0.5}], ]}], ,, RowBox[{PointSize, [, 0.015, ]}]}], }}]}]}], ]}]}], ;}]

[Graphics:HTMLFiles/index_102.gif]

[Graphics:HTMLFiles/index_103.gif]

[Graphics:HTMLFiles/index_104.gif]

[Graphics:HTMLFiles/index_105.gif]

in particolare, quando tutti gli andamenti vengono riportati sul medesimo piano.

Show[medListPlot, sxListPlot, dxListPlot, rndListPlot, partRndListPlot] ;

[Graphics:HTMLFiles/index_107.gif]

Riportiamo ancora in un'animazione sia i plurirettangoli che il grafico dell'andamento della successione delle somme di Riemann nei rimanenti quattro casi.

RowBox[{RowBox[{Table, [, RowBox[{RowBox[{Show, [, RowBox[{RowBox[{GraphicsArray, [, RowBox[{{ ... ionIdentity}], ]}]}], }}], ]}], ,, ImageSize600}], ]}], ,, {n, 1, 100}}], ]}], ;}]

[Graphics:HTMLFiles/index_109.gif]

[Graphics:HTMLFiles/index_110.gif]

[Graphics:HTMLFiles/index_111.gif]

RowBox[{RowBox[{Table, [, RowBox[{RowBox[{Show, [, RowBox[{RowBox[{GraphicsArray, [, RowBox[{{ ... ionIdentity}], ]}]}], }}], ]}], ,, ImageSize600}], ]}], ,, {n, 1, 100}}], ]}], ;}]

[Graphics:HTMLFiles/index_113.gif]

[Graphics:HTMLFiles/index_114.gif]

[Graphics:HTMLFiles/index_115.gif]

RowBox[{RowBox[{Table, [, RowBox[{RowBox[{Show, [, RowBox[{RowBox[{GraphicsArray, [, RowBox[{{ ... ionIdentity}], ]}]}], }}], ]}], ,, ImageSize600}], ]}], ,, {n, 1, 100}}], ]}], ;}]

[Graphics:HTMLFiles/index_117.gif]

[Graphics:HTMLFiles/index_118.gif]

[Graphics:HTMLFiles/index_119.gif]

RowBox[{RowBox[{Table, [, RowBox[{RowBox[{Show, [, RowBox[{RowBox[{GraphicsArray, [, RowBox[{{ ... ionIdentity}], ]}]}], }}], ]}], ,, ImageSize600}], ]}], ,, {n, 1, 100}}], ]}], ;}]

[Graphics:HTMLFiles/index_121.gif]

[Graphics:HTMLFiles/index_122.gif]

[Graphics:HTMLFiles/index_123.gif]

Infine studiamo il limite di tali somme quando n assume valori ancora maggiori (tra 100 e 2500 con incrementi di 100).

TableForm[Table[{i, areaPluriRettangolo[a, b, i, f, metodomed], areaPluriRettangolo[a, ...  (est.sx)", "area (est.dx)", "area (rnd)", "area (part.rnd)"}}]

num. intervallini area (medi) area (est.sx) area (est.dx) area (rnd) area (part.rnd)
100 14.4757 14.5005 14.4496 14.4739 14.4082
200 14.4755 14.4881 14.4626 14.4825 14.41
300 14.4755 14.4839 14.4669 14.4718 14.448
400 14.4755 14.4818 14.4691 14.4754 14.4753
500 14.4755 14.4805 14.4704 14.4769 14.4727
600 14.4755 14.4797 14.4712 14.4742 14.4755
700 14.4755 14.4791 14.4718 14.4746 14.4824
800 14.4755 14.4786 14.4723 14.4759 14.4782
900 14.4755 14.4783 14.4726 14.4772 14.4748
1000 14.4755 14.478 14.4729 14.4751 14.478
1100 14.4755 14.4778 14.4731 14.4759 14.4757
1200 14.4755 14.4776 14.4733 14.4753 14.4766
1300 14.4755 14.4774 14.4735 14.4761 14.4772
1400 14.4755 14.4773 14.4736 14.4752 14.4755
1500 14.4755 14.4771 14.4738 14.4759 14.477
1600 14.4755 14.477 14.4739 14.4754 14.4771
1700 14.4755 14.4769 14.474 14.4752 14.4733
1800 14.4755 14.4769 14.474 14.4757 14.477
1900 14.4755 14.4768 14.4741 14.4754 14.4773
2000 14.4755 14.4767 14.4742 14.4756 14.4769
2100 14.4755 14.4767 14.4742 14.4754 14.4761
2200 14.4755 14.4766 14.4743 14.4755 14.4761
2300 14.4755 14.4766 14.4743 14.4755 14.4746
2400 14.4755 14.4765 14.4744 14.4754 14.4747
2500 14.4755 14.4765 14.4744 14.4754 14.4764

Quanto osservato circa la convergenza di ciascuna successione appare confermato così come la diminuzione delle differenze esistenti tra una successione e l'altra. Graficamente tutto ciò appare evidente se si osserva la diversa scala dell'asse delle ordinate del grafico seguente.

datiMed = Table[{i, areaPluriRettangolo[a, b, i, f, metodomed]}, {i, 100, 2500, 100}]  ...  sxListPlot, dxListPlot, rndListPlot, partRndListPlot, DisplayFunction$DisplayFunction] ;

[Graphics:HTMLFiles/index_127.gif]

Definizione di integrale definito

In definitiva possiamo proporre una stima dell'area del trapezoide: essa, a meno di 1  10^(-3)(pari alla semidispersione dei risultati relativi a n = 2500), risulta essere

RowBox[{A_stima, =, 14.475}]

Ben più importante appare invece la definizione che emerge per l'area A del trapezoide: detta A_n l'area del plurirettangolo corrispondente ad una suddivisione dell'intervallo iniziale in n intervallini e termine generale della successione delle somme di Riemann,  l'area del trapezoide sarà data dal limite della successione A_n al tendere di n +∞ ossia

A = lim_ (n +∞) A_n

qualsiasi sia il modo in cui il plurirettangolo venga costruito. Come affermato inizialmente basandoci sull'intuizione geometrica, è ora immediato verificare la dipendenza dell'area del trapezoide dagli estremi a e/o b. Difatti, supponendo una partizione in 2500 intervallini, con la tecnica dei valori medi si ottengono i risultati

a = 1 ; b = 5 ; areaPluriRettangolo[a, b, 2500, f, metodomed]

9.70101

a = 0 ; b = 4 ; areaPluriRettangolo[a, b, 2500, f, metodomed]

11.1632

ben diversi dal valore finora ottenuto con gli estremi scelti all'inizio. Quindi  l'area del trapezoide dipende dai valori degli estremi a, b, oltreché dalla funzione f. Pertanto, volendo generalizzare e a prescindere dal significato geometrico di area del trapezoide finora discusso, va considerato che tale limite è

funzione di a,

funzione di b

e dipende dalla particolare funzione scelta f.

Verrà pertanto indicato con il simbolo

lim_ (n +∞) A_n = ∫_a^bf (x) x

che intende mettere in evidenza tutto ciò. Esso si legge: integrale definito della funzione f (x) esteso all'intervallo [a, b].
Come curiosità, il metodo di calcolo che ha origine da tale definizione, fornisce per l'area del trapezoide discusso finora

areaTrapezoide = ∫_0^5f[x] x//N

14.4755

valore peraltro ben evidenziato dall'andamento delle somme ottenute con i valori medi (punti rossi nell'ultimo grafico), somme che mostrano una sostanziale convergenza già a partire da n = 200.


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